3つのコップ(右中左)があり、中に一つ玉がある。
最初左に玉があると予想した。(これが当たる確率は1/3ですね)
そして、右のコップを空けてみると、玉はなかった。
この場合、最初の予想=左にある、が当たる確率は1/2ですか?それとも1/3ですか?

答えとともに簡単に理由をお願いします。
私としては、右にないという条件の場合は1/2で当たりそうな気がするのですが。

A 回答 (11件中1~10件)

横から失礼します。

既に詳しい回答があるので、私が特に説明することはないのですが、補足の部分について回答します。質問の答えは1/2で合っています。

#2さんの回答に対する補足について。
確率(A|B)とは、「Bという条件のもとで、Aである確率」です。
P(A|B)はP(A)/P(B)ではなく、P(A|B)=P(AかつB)/P(B)です。
#4さんの回答とはAとBが逆になっていますが、言っていることは同じです。

#7さんの回答に対する補足について、1/3になる理由を説明します。
前者と後者では「玉の入っているコップを開けてしまうことがあるのか、ないのか」という部分が違います。前者は玉の入っているコップを開けてしまうことはありませんが、後者は「右に玉が入っていて、右を開けてしまう」ということがあります。

なお、前者の例は、より正確に書くなら、「玉の入っている場所を知っている人が、真ん中か右のコップのうち、玉の入っていない方を開ける。左のコップが当たりの場合は、1/2の確率で玉の入っていない方を開ける。」ですね。この条件で計算します。

前者の条件では、以下の4つの場合が考えられます。
(1)左が当たりで、真ん中を開ける……確率は(1/3)×(1/2)=1/6
(2)左が当たりで、右を開ける……確率は(1/3)×(1/2)=1/6
(3)真ん中が当たりで、右を開ける……確率は1/3
(4)右が当たりで、真ん中を開ける……確率は1/3

ここで、
A:右のコップが開けられる
B:左のコップが当たりである
として、条件付確率の定義通りに計算してみます。

P(AかつB)=1/6……(2)より
P(A)=1/2……(2)+(3)より
したがって、#7さんの前者の例では、求める確率は(1/6)/(1/2)=1/3です。これは、もともとの質問の確率1/2とは異なります。条件が違うためです。

#8さんの回答について。
割り算が出てくる理由ですが、条件付確率の式は、単に積の法則の式を変形しただけです。
P(AかつB)=P(A)×P(B|A)
P(B|A)=P(AかつB)/P(A)
この質問で聞かれているのは下の式の答えです。#8さんが計算されたのは上の式ですから、答えは違います。既に#6さんが指摘されている通りだと思います。

余談ですが、参考URLにも条件付確率の問題があるので、よろしければ参考にしてください。

参考URL:http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1245258
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この回答へのお礼

よくわかりました。
知っている人が、右をあけて、ないのを確認させた場合に1/3というのは、わかりにくかったですが、わかりました。
昔、どこかのサイトで、知っている人が右にないのを確認させた後に、中に選び直すと、当たる確率が上がる、それは、最初は3つから1つを選ぶが、この時は2つから1つを選ぶからだ、みたいなことを書いていたので、混乱していました。それなら選び直して左にしたと考えれば左も1/2だろ、と思っていました。事実、中は2/3ですし。

お礼日時:2005/04/19 22:17

NO5,8ですが


NO10さんわかった。わかった。
人騒がせな質問で、それなら結論は、わかりきってますね
ここで聞くほどのこともない質問でしたね
最近は、数学より日本語が分かりにくい質問、説明が多いから困ります
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NO.8さんNo.4&6です。



まず、

>>質問者の条件を吟味しますとこういうことになる思いますが
>>(1)左にあると予想して(実際には中にあるかもしれない)まず、はずれを引きたい
>>(2)次は、当てにいきたい

↑ここが間違っています。
(1)は、「はずれを引きたい」のではなく、既に「左を引いてみた」のです。つまり、(1)はすでに過去の話であり、求めたいのは、そういう過去があったという前提で、(2)を考えると言うことなのです。
繰り返しになりますが、No.8さんが求めているのは、
 「左を引く前」における確率
であり、質問者が求めている回答は、
 「左を引いた後」における確率
です。

なお、条件付確率の公式に割り算が出てくるのは当然で、例えば、
 p×q=r
という式があったときに、欲しいのがqだった場合に、
 q=r÷p
になるというだけのことです。No.4における公式の導出をご覧いただければ一目瞭然だと思いますが。
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NO5ですがNO4さんの条件付確率に割り算がでてくる理由がもうひとつ理解できません。

掛け算と足し算なら分かりますが。質問者の条件を吟味しますとこういうことになると思いますが
(1)左にあると予想して(実際には中にあるかもしれな   い)まず、はずれを引きたい
(2)次は、当てにいきたい
   こういう条件付き確率ですから、掛け算です
   右がはずれる確率 2/3
   次に左があたる確率 1/2
   
したがって 2/3x1/2=1/3
     になるはずです
  
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>そして、右のコップを空けてみると、玉はなかった。



この部分の解釈によります。

玉の入っている場所を知っている人が、中と右のコップのうち、玉の入っていない方を開けた
のであれば、1/3

玉の入っている場所を知らない人が、中と右のコップのうち、どちらかを適当に開けてみて、偶然、玉が入っていなかった
のであれば、1/2

となります。まぁ、
>そして、右のコップを空けてみると、玉はなかった。
の書き方からすると、後者という感じがするので、#4さんの通りですかね。

この回答への補足

どちらかというと後者です。
しかし、前者が1/3になる理由がわかりません。

補足日時:2005/04/16 15:22
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No.4です。



No.5さんの回答ですが、No.5さんが求めているのは、

 コップを全く空けていない状態おいて、「最初に右を開けたら空で、かつ、次に左を開けたら玉が入っている」確率

ですが、求めたいのは、

 右のコップを空けたら空だったという状態の下で、「左を開けたら玉が入っている」確率

です。

この2つは、「右が空である」という事象が判明している(発生している)か否かという点で、全く別のものです。
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条件付確率だと思うのですが、こういう風に考えるのはどうでしょう、間違っていますかね


 問題は、右をあけて、次に左か中を開けるのでしょう
 2回試技をしますね
 1回目 右が空である確率は 2/3です
 2回目 左があたる確率は 1/2
 すると
  (2/3)x(1/2)=1/3 
         と考えるのではないですか
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これは条件付確率の問題ですが、以下のように考えればいいです。



まず、公式を導いておきます。

2つの事象AとBがあるとします。また、Pを確率とします。
P(AかつB)は「AとBが両方とも発生する確率」ということです。

さて、「AかつB」というのは、「Aが発生」かつ「Aが発生という条件の下でBも発生」ということなので(※)、
 P(AかつB)=P(A)×P(Aが発生という条件の下でBも発生)
となります。
この式を変形すると、、
 P(Aが発生という条件の下でBも発生)=P(AかつB)÷P(A)・・・(1)
ということになります。
(※:AとBが独立であれば、単純に「Aが発生」かつ「Bが発生」となりますが、今、独立かどうかはわからないので、独立の場合と独立でない場合の両方を含めたものにしています。)

質問の問題に戻りますが、

A:右のコップに玉がない
B:左のコップに玉がある

としたときに、P(Aが発生という条件の下でBも発生)を求めればよい、ということになります。
すると、

 P(AかつB)=1/3 (←要するに左のコップに玉がある確率です)
 P(A)=2/3 (←左のコップか真ん中のコップに玉がある確率です)

ですから、求める確率は、(1)により、

 (1/3)÷(2/3)=1/2

となります。

ちょっとわかりにくいかも知れませんが、(1)の公式を理解しておくと、この手の問題は(見かけがややこしいものでも)機械的に解けるようになります。
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この問題のように


右のコップをあけたのがあなた、というか玉がどこにあるか知らない人なら、
当たる確率は1/2に上がります。
当初、全体事象は玉左・玉中・玉右の3通り、当たりとなるのは玉左の1通りなので、確率1/3。
ところが右コップが空だとわかったので、
全体事象が玉左・玉中の2通りに減り、当たりとなるのは玉左の1通りのままなので、1/2となります。

ここからは余談です。
もしも、あけたのが玉のありかを知っている人だった場合、
当たる確率は1/3のままなのです。
なぜでしょう。
(もしも右に玉がある場合は、彼または彼女は中のコップをあけるものとします)
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最初の状態では、たしかに、


確率(左に玉がある)=1/3
です。

しかし、右のコップを開けたと言う事実を知った時点で、条件付き確率になり、二つのもののどちらかに玉があるという問題におきかわります。

式で書くと、

確率(左に玉がある|右に玉がなかった)=1/2

となります


これは、右のコップを開ける前において、
右のコップには玉がないという事実を知っていた場合と同じ確率として計算されます。

すべての場合は以下のABCの3通り。

A:○××
B:×○×
C:××○

右に玉がないとわかった時点で、
ABのいずれかになりますから、1/2。

この回答への補足

だいたいわかりました。

>確率(左に玉がある|右に玉がなかった)=1/2
この部分は、計算式で表すと
確率(左に玉がある|右に玉がなかった)=確率(左に玉がある)/確率(右に玉がない)=(1/3)/(2/3)=1/2ということでしょうか。
そもそも確率(A|B)とは、Bであるとき、Aである確率でしょうか。
するとそれは確率A/確率Bでよろしいでしょうか。

補足日時:2005/04/16 15:14
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難しく考えることはりません。「あたりまえ」のことなので。

1回目に赤が出る確率は
 4/6 = 2/3
です。

1回目に引いた赤を戻すので、2回目に白が出る確率は
 2/6 = 1/3
です。

これを組み合わせた「1回目に赤、2回目に白が出る確率」は
 2/3 * 1/3 = 2/9
ということです。

Qa+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
が成立するとき、a,b,cのいずれかは1に等しいことを証明する問題です。
上記の式から、abc=1, a+b+c=ab+bc+caがいえると思うので
(x-a)(x-b)(x-c)=0を考えて、
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
すなわち x^3-(a+b+c)x^2+( a+b+c)x-1=0
この式はx=1で成立するので、(x-a)(x-b)(x-c)=0に
x=1を代入して
(1-a)(1-b)(1-c)=0
この式が成立するためには、a,b,cのいずれかが1に等しくなければならない、と解きました。この解きかたでよろしいでしょうか。

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blackleonさん、こんにちは。

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
>上記の式から、abc=1, a+b+c=ab+bc+caがいえると思うので

ということですが、ちょっと変形してみると

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
a+b+c=(bc+ca+ab)/abc=(a+b+c)/abc・・・(★)

というところから、
a+b+c=(a+b+c)/abc
(a+b+c){1-(1/abc)}=0
ゆえに、
a+b+c=0または1-(1/abc)=0すなわちabc=1
と出てくるんじゃないでしょうか。

a+b+c=0またはabc=1のいずれかがいえるので、場合わけしないといけないのではないでしょうか。

さて、1,/a,1/b,1/cなどが実数として存在するので
a≠0,b≠0,c≠0はいえるのかなと思います。
そうすると

(1)a+b+c=0のとき(★)は

(ab+bc+ca)/abc=0
ab+bc+ca=0

ところで、a+b+c=0より、c=-(a+b)ですのでこれを代入すると
ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)^2=0
a^2+ab+b^2=0
となりますが、これをaについての2次方程式だとみて判別式をとると
D=b^2-4b^2=-3b^2
これが0以上であるためには、b=0でなければならないが
1/bが存在するためにはb≠0であったから、(1)の場合は不適。

よって
(2)abc=1
の場合だけを考えればいいことになると思います。

blackleonさんの解き方いいと思いますが、文字を消去して
式変形で無理やり持っていってもいいかも。

a+b+c=ab+bc+caを変形。
abc=1より、c=1/abを代入(a≠0,b≠0)

1/a+1/b+1/c=1/ab+1/bc+1/caに代入

1/a+1/b+ab=1/ab+(a+b)/abc
{b+a+(ab)^2}/ab={1+ab(a+b)}/ab
両辺ab倍して
(a+b)+(ab)^2=1+ab(a+b)
(a+b){1-ab}+(ab-1)(ab+1)
=(1-ab){(a+b)-(ab+1)}=0
ゆえに、ab=1またはa+b-ab-1=0

ab=1のとき、abc=1とあわせて、c=1となって
少なくとも一つ1であるを満たす。

a+b-ab-1=0のとき、
(a-1)(b-1)=0と同じであるから、a=1またはb=1

となって、a,b,cいずれかは1である。
・・・と無理やり持っていきましたが、いつも素晴らしい解法が見つかるわけではないので
文字を消去していくのは確実ですよ。

blackleonさん、こんにちは。

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
>上記の式から、abc=1, a+b+c=ab+bc+caがいえると思うので

ということですが、ちょっと変形してみると

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
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というところから、
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20本中5本が「当り」ですから、15本が「はずれ」です。
始めにAが「はずれ」を引く確率は 15/20=3/4 です。
次にBも「はずれ」を引く確率は 14/19 です。
(残りは19本になりますし、「はずれ」は14本になりましたから。)
この時Bが「当り」」を引く確率は 5/19 です。
(残りは19本になりますし、「当り」は5本のままですから。)

>Aが外れて、Bが当たり、さらにBが当たる確率です

この文章が良く分らないのですが、
「さらに」と云う事は2回目の試行ですね。
2回目のAの結果で答えは変わります。
「当り」の確率を求めるには、全部のくじの本数を分母にして、
残りの「当り」の本数を分子にすれば、求められます。

反対に、「はずれ」の確率を求めるには、全部のくじの本数を分母にして、
残りの「はずれ」の本数を分子にすれば、求められます。

処で、あなたは何年生ですか。
「Aが外れて、Bが当る事を一セットとして確立を求める。」と云う問題ならば
夫々の確率を掛け合わせたものになります。

>さらに当たる確率の方のやり方がわかりません。

この確率と云う言葉は単独でBが「当り」又は「はずれ」を引く確率と考えて良いですか。

20本中5本が「当り」ですから、15本が「はずれ」です。
始めにAが「はずれ」を引く確率は 15/20=3/4 です。
次にBも「はずれ」を引く確率は 14/19 です。
(残りは19本になりますし、「はずれ」は14本になりましたから。)
この時Bが「当り」」を引く確率は 5/19 です。
(残りは19本になりますし、「当り」は5本のままですから。)

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(No.9の続きです)
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S"=1/11+1/12+…+1/999+1/1000 とおき、この3項ずつの置き換えによる近似を4回行えば
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求める第1000項までの和の近似値は
5S-(1475393/205744)≒5*2.929-7.171=7.474…  

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これから条件付き確率PA(B)は

PA(B) = n(A∩B)/n(A) = n(A∩B)/n(U) / n(A)/n(U)  より

公式 : PA(B)=P(A∩B)/P(A) が導かれるんだね。」

と書いてあるのですが
【事象Aは既に起こっている】という前提条件があるので、分母は全事象の場合の数n(U)の代わりにn(A)になり、分子は、事象Aが起こっている条件の下でBが起こるわけだからAとBの積事象の場合の数、つまりn(A∩B)になる。
という所が全く理解が出来ません。
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正直なところ「どこが理解できないのか」が分からんのだけど.... だって, 「事象 A が起きている」ことを前提にするんだから, 「事象 A が起きている」場合のみを考え, そうでないときは捨てちゃって構わないでしょ?

まぁ, 「なぜそうなるのでしょうか」の「そう」が「どう」なのかわかれば説明できるかもしれんけど....

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k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d <1
を満たしている.
k の最大値と,そのときの a,b,c,d の値を求めたいのですが、、、。

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Aベストアンサー

この問題、面白いなと思ってもう少し考えてみたのですが、
k=1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n)
としてkが最大になるように数列a(n)を決めていくと、
a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43,a(5)=1807,a(6)=3263443,…
となって、
a(n)=a(1)a(2)…a(n-1)+1
という漸化式を満たすようです。
積の形になっているので、a(n)は爆発的に増えていきます。

a(2)を決めるときは1/2に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/3。よって、a(2)=3。これは漸化式を満たす。
そして、1/2+1/3=5/6
a(3)を決めるときは5/6に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/7。よって、a(3)=7。これは漸化式を満たす。7=2×3+1。
そして、1/2+1/3+1/7=41/42
このように、ある項までの1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(k)は、
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そして、次に足すのは1/{a(1)a(2)…a(k)+1}である。
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Q条件付き確率の問題です。

件付き確率の問題です。答えは5/8です。
解き方を教えて下さい。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>Xの箱から2個取り出す取り出し方は(赤赤)(赤白)(白白)の3通り
それぞれの確率Pは
P(赤赤)=1/(5C2)=1/10
このときYからXの箱の白玉を取り出す確率P(X白|赤赤)=0
このときYからもともとYの箱に入っていた白玉を取り出す確率P(Y白|赤赤)=2/7
P(赤白)=6/(5C2)=3/5
このときYからXの箱の白玉を取り出す確率P(X白|赤白)=1/7
このときYからもともとYの箱に入っていた白玉を取り出す確率P(Y白|赤白)=2/7
P(白白)=3/(5C2)=3/10
このときYからXの箱の白玉を取り出す確率P(X白|白白)=2/7
このときYからもともとYの箱に入っていた白玉を取り出す確率P(Y白|白白)=2/7
以上から
Yの箱から1個取り出すときに白玉を取り出す確率P(白)は
P(白)=(1/10)*(2/7)+(3/5)*(3/7)+(3/10)*(4/7)=16/35
Yの箱から1個取り出すときにもともとYの箱に入っていた白玉を取り出す確率P(Y白)は
P(Y白)=(1/10)*(2/7)+(3/5)*(2/7)+(3/10)*(2/7)=2/7
よって求める確率は(2/7)/(16/35)=5/8・・・答

>Xの箱から2個取り出す取り出し方は(赤赤)(赤白)(白白)の3通り
それぞれの確率Pは
P(赤赤)=1/(5C2)=1/10
このときYからXの箱の白玉を取り出す確率P(X白|赤赤)=0
このときYからもともとYの箱に入っていた白玉を取り出す確率P(Y白|赤赤)=2/7
P(赤白)=6/(5C2)=3/5
このときYからXの箱の白玉を取り出す確率P(X白|赤白)=1/7
このときYからもともとYの箱に入っていた白玉を取り出す確率P(Y白|赤白)=2/7
P(白白)=3/(5C2)=3/10
このときYからXの箱の白玉を取り出す確率P(X白|白白)=2/7
このときYからもともとYの箱に入っ...続きを読む

Q99%の確率で白,1%の確率で赤の玉の出る箱がある.

1:99%の確率で白,1%の確率で赤の玉の出る箱がある.
  (箱の中の玉は無制限で,色の確率に変化はない.)
2:1人は,100回その箱から玉を取って持ち玉とする.
3:それを100人が行う.

<問い>
その100人の中から無作為に1人を選んだとき,
その人の持ち玉が,100人の平均的な赤玉の個数になる確率は?
数値ではなく,多数派であるか,少数派であるか,のみで良い.
-----
上記のような問題を聞きました.
実は遺伝子に関する問題のようです.
遺伝子なので数珠繋ぎですが,場所の情報は今回考えないとして,
組み合わせで考えるようにしました.

次の考え方はいかがなものでしょうか?
イ:1と2から,1人の持ち玉は,1個が赤,99個が白である,と期待される.
ロ:更に3から,100人の平均的な持ち玉は,1個が赤,99個が白である,と期待される.
ハ:従って,1人について,100個の内1つだけが赤である確率を求めれば良い.
  (0.99^99×0.01^1)×100=0.36972963764972677265718790562881

→答え:少数派(約37%)

でも何だか納得出来ないような気がするのですが...
そもそも,100人の平均,と言うのは上記のように,期待値であると
考えて良いのでしょうか?
おかしな点ありましたら,御指摘下さいませ..

1:99%の確率で白,1%の確率で赤の玉の出る箱がある.
  (箱の中の玉は無制限で,色の確率に変化はない.)
2:1人は,100回その箱から玉を取って持ち玉とする.
3:それを100人が行う.

<問い>
その100人の中から無作為に1人を選んだとき,
その人の持ち玉が,100人の平均的な赤玉の個数になる確率は?
数値ではなく,多数派であるか,少数派であるか,のみで良い.
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上記のような問題を聞きました.
実は遺伝子に関する問題のようです.
遺伝子なので数珠繋...続きを読む

Aベストアンサー

期待値で平均とするのは自然なことで
確率の話をするときは普通のことです。

テストをやったときに平均点のところに山が来るとしても
平均点を取ったものと、それ以外、
という比べ方をすればそれ以外のほうが圧倒的に多い

ですよ。

Q条件付き確率の乗法定理

条件付き確率のことがわからなくなってしまいました。

ここでは、事象Aが起こる確率をP(A)、事象Aが起こったときに事象Bが起こる条件付き確率をP(A,B)と表します。

「確率の乗法定理」 P(A∩B)=P(A)P(A,B)

S君(私のことですが)は、次のような条件付き確率の問題(教科書の章末問題ですが)を表を作って解こうと思いました。

【問題】2つの箱A,Bがある。箱Aに赤玉1個を入れ、箱Bには赤玉49個、白玉50個(合計99個)を入れた。今、硬貨をを投げて、表が出たら箱Aから、裏が出たら箱Bから、1個の玉を取り出すとする。赤玉を取り出す確率を求めよ。
(問題をこの質問用に改変してあります)

正解は、(1/2)×(1/1)+(1/2)×(49/99)=74/99、ですが、
S君は、次のように、表を作って解こうとしました。
赤玉 白玉 計
表 1 0 1
裏 49 50 99
計 50 50 100

※配列がちょっと崩れてしまいますが、赤玉、白玉、計の順番に左から1、0,1;49、50,99;50、50,100、です。

これより、(50/100)×(1/50)+(50/100)×(49/50)=1/2

S君の解答はどこがおかしいのでしょう?

思うに、S君の作った表の1、49、・・・などは、その根元事象は「同様に確からしい」とは言えないのではないかということです。すると、このような表そのものが無意味ではないかこということになります。だとすればどのような表なり樹形図を作ればいいのか、困ってしまいました。

また、根元事象が「同様に確からしい」とは言えないときも上の条件付きの確率に関する乗法定理は成り立つのでしょうか。ここのところもご教授いただければ幸いです。
重ねて、よろしくお願いいたします。

条件付き確率のことがわからなくなってしまいました。

ここでは、事象Aが起こる確率をP(A)、事象Aが起こったときに事象Bが起こる条件付き確率をP(A,B)と表します。

「確率の乗法定理」 P(A∩B)=P(A)P(A,B)

S君(私のことですが)は、次のような条件付き確率の問題(教科書の章末問題ですが)を表を作って解こうと思いました。

【問題】2つの箱A,Bがある。箱Aに赤玉1個を入れ、箱Bには赤玉49個、白玉50個(合計99個)を入れた。今、硬貨をを投げて、表が出たら箱Aから、裏が出たら箱Bから、1個の...続きを読む

Aベストアンサー

#1です。

表や樹形図により、場合の数を列挙して問題を解くためには、列挙される各事象の起こる確率が「同様に確からしい」必要があります。

この問題において「同様に確からしい」のは、コインの表、裏の出る確率と、箱Aもしくは箱Bの中の1つの玉を引く確率であり、同じ赤玉でも、箱Aの赤玉と箱Bの赤球を引く確率の間には、同様に確からしいという仮定が存在しません。

すなわち、すべての赤玉を引く場合において、「同様に確からしい」という仮定が存在しないため、この問題を、通常の場合の数を列挙した表や樹形図で解くことはできません。

Q1+1/16+1/81+1/256+・・・・の和がπ^2/90??

先日ネットサーフィンをしていたところ、とあるページに「1+1/16+1/81+1/256+・・・・の和はπ^2/90」と書いてありました。
そこで質問です。ここではsinをマクローリン展開したものを使ったらしいのですが、なぜこうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

明らかに誤りです。というのは、π^2がおよそ9、それを90で割って、およそ0.1これは第一項の1にも満たないからです。


一般に、べき関数
f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+…+a_nx^n
の導関数は
f[1](x)=a_1x^0+2a_2x^1+…+na_nx^(n-1)
f[2](x)=2a_2x^0+3a_2x^1+…+n(n-1)a_nx^(n-2)

f[n](x)=n!a_n
ただし、f[k](x)はf(x)のk次導関数。

これらの式に、x=0を代入して、
f(0)=a_0
f[1](0)=a_1
f[2](0)=2a_2
f[3](0)=3・2a_3

f[n-1](0)=(n-1)!a_(n-1)
f[n](0)=n!a_n

これらを使って、最初に与えられたべき関数の係数を、それ自身の導関数で表示することができる。すなわち、

f(x)=f(0)x^0+f[1](0)x^1+f[2](0)x^2/2+f[3](0)x^3/(3・2)+…+f[n](0)x^n/n!・・・(A)


いま、f(x)=sinxを考えると、
f[1](x)=cosx,f[2](x)=-sinx,f[3](x)=-cosx,f[4](x)=sinx=f(x)…
なので、
f(0)=0,f[1](0)=1,f[2](0)=0,f[3](0)=-1,f[4](0)=0…
このように、循環する。
(A)の形式で、sinxを展開すると、奇数次の項のみになり、

sinx=x^1-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+…+x^(4m+1)/(4m+1)!-x^(4m+3)/(4m+3)!

ただし、mは自然数で、大きな値をつかうほど、sinxに近づく。といっても、べき奇関数のグラフと、正弦波のグラフは明らかに異なっていて、この近似は、-π/2≦x≦π/2の範囲あたりで有効なのだと思う。

これをマクローリン展開というのかどうかは知りません。なにしろ独学なので、理科年表の公式集に級数展開の一つとしてあげてあるのを確認したのみです。

もしそうなら、

x=1(ラジアン)のときの、
1/1!-1/3!+1/5!-1/7!…≒0.841
である。なぜなら、sin1≒0.841だからである。

や、

x=π/2のときの、
(π/2)/1!-(π/2)^3/3!+(π/2)^5/5!-(π/2)^7/7!…≒0
である。なぜなら、sin(π/2)=0だからである。

というような形ならありうると思うのです。

明らかに誤りです。というのは、π^2がおよそ9、それを90で割って、およそ0.1これは第一項の1にも満たないからです。


一般に、べき関数
f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+…+a_nx^n
の導関数は
f[1](x)=a_1x^0+2a_2x^1+…+na_nx^(n-1)
f[2](x)=2a_2x^0+3a_2x^1+…+n(n-1)a_nx^(n-2)

f[n](x)=n!a_n
ただし、f[k](x)はf(x)のk次導関数。

これらの式に、x=0を代入して、
f(0)=a_0
f[1](0)=a_1
f[2](0)=2a_2
f[3](0)=3・2a_3

f[n-1](0)=(n-1)!a_(n-1)
f[n](0)=n!a_n

これらを使って、最初に与えら...続きを読む


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