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純虚数の関数、例えばf(x)=ix(x:任意の実数)としたとき、これを複素平面における虚軸上の点を表す式と捉えると、原点(0,0)で連続となっていると考えてよいのでしょうか?
また、例えば、f(1/2)=i/2といった点でも連続とできるのでしょうか?

A 回答 (4件)

複素数


z=x+iy
は複素平面上の点(x,y)を表します
複素数
w=a+ib
は複素平面上の点(a,b)を表します

その差の絶対値
|z-w|=|(x+iy)-(a+ib)|=√{(x-a)^2+(y-b)^2}

点(x,y)

点(a,b)

の距離になります

だから

ix が 0 に近づくというのは

点(0,x)

点(0,0)

距離
|ix-0|=√{(0-0)^2+(x-0)^2}=|x|

0に近づくという意味なのです
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f(x)=ix


f(0)=0
xを0に近づけると
f(x)=ix も f(0)=0 に近づく

lim_{x→0}f(x)
=lim_{x→0}ix
=0
=f(0)

が成り立つから

f(x)はx=0で連続
-----------------------------
連続の定義)

lim_{x→a}f(x)=f(a)

成り立つとき

f(x)はx=aで連続という
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この回答へのお礼

再度のご意見、ありがとうございます。絶対値をつけない、素のixについて、
xを0に近づけるなら、ixも0に近づくとしているところが問題なのです。例えば、2iより1iの方が0に近いとすると、
2i-0>1i-0で2i>iとなりますが、このようにできないことは御承知のことと思います。この点は大小関係を逆にしても同様のことです。
要するに、0に近づくかどうかを評価するためには、絶対値をとらねばならないことになりましょう。
でも、f(x)が実数値をとる関数で、f(x)が0以上の場合なら
|f(x)|=f(x)とできますが、ixの場合、xが0以外だと|ix|=ixとはできない。つまり、細かいことを言うなら、連続性を評価できるのは、ixでなく|ix|であることになってしまう。
しかし、現行の数学では「絶対値をもって、ixの連続性を定義する」と定められているのかも知れませんね。だとしても「そうなんですか。まあ、あまり感心しませんけど…」というところでしょうか。あくまで、個人的感想というやつですが。

お礼日時:2023/02/03 20:33

f(x)=ix ならば、複素平面では 虚軸 そのものでしょ。


当然 複素平面では 連続と考えるのでは。
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この回答へのお礼

コメント、ありがとうございます。しかし、貴方の考えでは実数と虚数が連続していることになってしまい、それでいいのか、疑問が残ります。確かに、図で見るといかにも連続っぽく見えるのですが…。

お礼日時:2023/02/02 20:10

f(z)=iz



任意の複素数 aに対して
任意のε>0に対して
|z-a|<εとなる任意のzに対して
|f(z)-f(a)|=|iz-ia|=|z-a|<ε
だから
f(z)はz=aで連続
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この回答へのお礼

御意見、ありがとうございます。
ただ、本質問の場合、|ixー0|として考えると、|ixー0|=|ix|=|x|となり、虚数ixについての連続性なのか、任意の実数xについての連続性を評価しているのか、どちらなのかが疑問です。これを考えていて、お礼が遅くなってしまいました。今でもすっきりとしていませんが。

お礼日時:2023/02/02 20:08

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