nCr=n-1Cr+n-1Cr-1
わかりずらいですかね・・・・・
これを二項定理で証明せよという問題なのですが、
(a+b)^n=(a+b)(a+b)^n-1
の係数を利用してとくのはわかるんですが、
右辺の係数をどうもとめるかがわかりません、教えてください。よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

二項定理でa=x、b=1と置いた方がいいと思います。



(x+1)^n=(x+1)(x+1)^n-1=x(x+1)^(n-1)+(x+1)^(n-1)
ですから

方針としては
(1)
右辺のx*(x+1)^(n-1)のr次の係数を求める。
求め方は(x+1)^(n-1)を2項定理で展開してr-1次の係数を求める(xをかけるので、これがx*(x+1)^(n-1)のr次の係数になる)。
(2)
右辺の(x+1)^(n-1)を二項定理で展開して、r次の係数を見る。
(3)
(1)で出したx*(x+1)^(n-1)のr次の係数と(x+1)^(n-1)のr次の係数を足す(これがx(x+1)^(n-1)+(x+1)^(n-1)のr次の係数となります)。
(4)
左辺の(x+1)^nを二項定理で展開して、r次の係数を見る。

問題の式は
(3)で出したx(x+1)^(n-1)+(x+1)^(n-1)のr次の係数と(4)で出した(x+1)^nのr次の係数が等しいことから証明されます。
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次の方針で証明を組み立ててはいかがでしょうか。



二項定理により、
(a+b)^n = Σ[r=0→n](nCr)(a^n-r)(b^r) [ア]
(a+b)^(n-1) = Σ[r=0→n-1]{(n-1)Cr}{a^(n-r-1)}(b^r) [イ]

[イ]は次のようにも書けます。
(a+b)^(n-1) = Σ[r=1→n]{(n-1)C(r-1)}{a^(n-r)}{b^(r-1)} [ウ]

[イ]の両辺にa, [ウ]の両辺にbをかけて加えると、
(a+b)^n = Σ[r=0→n-1]{(n-1)Cr}{a^(n-r)}(b^r) + Σ[r=1→n]{(n-1)C(r-1)}{a^(n-r)}(b^r)

2つあるΣの範囲が異なるので、その分を除けて合わせます。
(a+b)^n = a^n + b^n + Σ[r=1→n-1]{(n-1)Cr + (n-1)C(r-1)}{a^(n-r)}(b^r)

これと[ア]の係数を比較すればよいでしょう。r=0とr=nのときは、
nCr=n-1Cr+n-1Cr-1
の式が使えませんので、証明する範囲から除かれることに注意が必要です。
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(a+b)(a+b)^n-1


=a(a+b)^(n-1)+b(a+b)^(n-1)

のように変形して、二項定理を使ってください。

※a=1とした方が、文字が少ない分楽かも。
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