おしえて

電子の運動

解決済

質問者：godhaya
質問日時：2023/01/31 22:51
回答数：2件

磁束密度 B の磁場内に, 質量 m, 電荷 −e の電子が B となす角 θ の方向へ初速度 v0 で入射した. このとき, 電子はこの磁場内でどのような運動をするか教えてください

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： endlessriver
回答日時：2023/01/31 23:32

記号がダブルが。

　B=<0,0,B>
とする。

電子の初速度を
　<v₀sinθ, 0, v₀cosθ>・・・・・①
としても一般性は失わない。

運動方程式は
　mv'=-e(v×B)
　<vx',vy',vz'>=-(eB/m)<vy, -vx, 0>
つまり、
　w=(eB/m)
とおくと
　vx'=-wvy , vy'=wvx , vz'=0・・・・②
を解けばよい。

vx,vyの式は
　vx''=-w²vx , vy''=-w²vy
となり、この解はよく知られ
　vx=Acoswt+Csinwt, vy=Dcoswt+Esinwt
となる。①から

　v₀sinθ=vx(0)=A , 0=vy(0)=D
なので
　vx=v₀sinθcoswt+Csinwt , vy=Esinwt・・・・　③
となる。②に入れると
　-wv₀sinθsinwt+wCcoswt=-w(Esinwt)
sin, cosは一次独立なので、
　-wv₀sinθ=-wE , wC=0 → E=v₀sinθ, C=0
すると③は
　vx=v₀sinθcoswt , vy=v₀sinθsinwt

積分して
　x=(v₀sinθ/w)sinwt+F , y=-(v₀sinθ/w)coswt+G・・・・④
簡単のため x(0)=y(0)=0 と座標を選べば
　0=x(0)=F , 0=y(0)=-(v₀sinθ/w)+G → F=0 , G=v₀sinθ/w

すると④は
　x=(v₀sinθ/w)sinwt , y=(v₀sinθ/w)(1-coswt)
となる。
　x²+(y-v₀sinθ/w)²=(v₀sinθ/w)²
は自明。

なお、②の vzの解は積分して簡単に
　vz=v₀cosθ → z=(v₀cosθ)t (z(0)=0 なので)
とわかる。

以上から、軌跡はx-y平面の射影は円で、z方向に一定速度で運動
するスパイラルとなる。