アキレスは亀を追い越せることの証明。

思いつきですが、無限に分割するとかの話を使わないで考えます。
↓

「アキレスと亀」を簡単にいうと、

「アキレスが亀のいたところにたどり着くと亀はいつもそれより少し進んでいる。(中略)。よって、アキレスは亀を追い越すことはできない」という話だと思います。

これの対偶を書きます。

「アキレスが亀を追い越すことができたならば、アキレスが亀のいたところにたどり着いたとき亀はそこより少しも前に進んでいなかった」

これは、明らかに偽だと思います。なぜなら、アキレスが亀を追い越せたからといって、アキレスが亀のいたところにたどり着くと亀はそこより少しも前に進んでいなかったとは言いきれないからです。いや、普通に考えると必ず少し進んでいました。

対偶が偽であれば、もとの命題も偽です。

よって、アキレスは亀を追い越せる。

このやり方は、変ですか。

質問者からの補足コメント

• 「アキレスが亀のいたところにたどり着くと亀はいつもそれより少し進んでいる」物語はこれを真であることを要請しています。で、誰もが考察しても真です。だから「アキレスが亀のいたところにたどり着くと亀はいつもそれより少し進んでいる」は絶対的に真です。そして「アキレスは亀を追い越すことはできない」は偽くさいですが、とりあえず真偽不明だとします。だから、
  真→真偽不明
  の真偽は分かりません。
  そこで、対偶にしてみます。
  「アキレスが亀を追い越すことができたならば、アキレスが亀のいたところにたどり着いたとき亀はそこより少しも前に進んでいなかった」
  まず「アキレスが亀を追い越すことができた」というのは万人が経験的に真だと認めます。
  そして、
  「アキレスが亀のいたところにたどり着いたとき亀はそこより少しも前に進んでいなかった」
  
  これは要請に反しているので偽です。
  
  つまり、真→偽なので偽だと思います。

    補足日時：2023/02/07 19:17

• これに関するパラドックスの解消は知っているつもりです。質問の冒頭にも触れています。
  
  質問のような反論はダメか？という質問です。

    補足日時：2023/02/09 20:55

No.11 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/14 07:26

ゼノンの(簡単な)論理にそんな難しい理屈は含まれいない。

むしろ簡単すぎて論旨が不明確になっているところが問題
です。

繰り返すと、追い抜くことは自明なので、ゼノンの論理を
調べることです。解決方法は

1つはゼノンの論理は P → Q は正しい、とするもの。もう
1つは、Pは正しく、Qは間違いとするもの。

私は前者が正しいと思っていたが(#8以前の回答は頓珍漢
でした)、ゼノンの論理の不明確さから、ラッセルの方法、
つまり後者でもよいと思えてきました。

要はゼノンの意図はどうだったかですが、今となっては確
かめようもない。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/02/16 16:42

No.10 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/02/08 08:49

追い抜けないのが間違いだといくら言ったところで、なぜパラドックスが発生したのかの説明にはなりません。

アキレスが歩き始めた時点で亀のいた場所にたどり着く時間+その場所にたどり着いたときに亀のいる場所にたどり着く時間+・・・
を足していくと、その値は収束するのでこの論理においては収束する時間以降のことは何も言えていない（しかしこの世において時間は一定のペースで進み続けるため、その後の時間も普通に存在する）。

というだけの話です。

No.9 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/08 01:03

>「アキレスが亀のいたところにたどり着くと亀はいつもそれより少し進んでいる」は絶対的に真です<

●これに気が付いたら、あと少しです。全体を俯瞰すれば
はっきりする。あと一歩。

ちなみに、50数年前、私は解答のある書籍を見て納得しま
した。

この回答へのお礼

空間を無限に分割することはできません。空間をフランク長さよりも細かく分割することはできません。時間もプランク時間よりも短い時間は存在しません。アキレスと亀の距離の差が空間の最小長さの最後の1個になったとき、最後はその1個を切上げます。その瞬間にアキレスは亀に追い付きます。

というのは、ダメですか。

お礼日時：2023/02/13 20:45

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/07 21:24

だから

「偽→偽
偽→真
というのは真だと思います。
つまり、
偽→○
というのは真です。」

という記述で、どんな結論を言いたいか? です(ここの質問に
関連して)。

この回答へのお礼

よく考えると無意味でした。
忘れてくさい。

お礼日時：2023/02/07 21:25

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/07 21:04

で、何が言いたいの?

この回答へのお礼

言いたいのではなく、これは質問です。

お礼日時：2023/02/07 21:10

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/07 20:42

「アキレスが亀のいたところにたどり着くと亀はいつもそれより

少し進んでいる」は真だから、否定は偽に決まっている。

これをもって、元の言明が偽というなら、もとの言明の結論の
真偽は無関係。たとえば、

「馬は動物 → 鹿は動物」の対偶は「鹿が動物でない → 馬は動物
でない」となり、結論は偽だから、元の言明も偽というのがあなた
の論法。

この回答へのお礼

偽→偽
偽→真
というのは真だと思います。
つまり、
偽→○
というのは真です。

お礼日時：2023/02/07 20:53

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/06 22:57

鏡の像は左右が逆(2022/12/31、天声人語)、地動説が正しい、

というのと同じたぐいだ。

本質を見定めないと、ラッセルのように頓珍漢な回答になる。
致し方ない所だ。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/06 21:48

亀が動いている→アキレスは追いつけない

アキレスが追いつける→亀が止っている

いずれも反例を示すのは容易だし同レベルだと思う。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/06 18:38

>アキレスは亀を追い越せることの証明<

●そんなことは分かりきったことです。

問題は、ゼノンの論法の誤りを指摘することです。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/02/06 18:18

えっと、、、

「アキレスが亀を追い越すことができたならば、アキレスが亀のいたところにたどり着いたとき亀はそこより少しも前に進んでいなかった」が正しいとすると、
・アキレスと亀は同じ時に同じ位置にいることができない
と言えるが、普通に計算すれば、
・○のタイミングで、アキレスと亀は同じ位置にいる
と相反することになるのがパラドックスで、
ぶっちゃけ、間違っている論理の「どこ」に誤りがあるのかを見つけなさいって話です。