次の問題を子供に尋ねられて困っています。

100個のドアがあり、100人の子供がいます。
100個のドアと100人の子供達にはそれぞれ1~100までの番号が付いています。この条件で次の作業を行いなさい。但し、最初は全てのドアが閉まっています。

<作業>
子供達は自分の番号の倍数の付いたドアの状態を変えていきます。たとえば23番の子供は『23・46・69・92』のドアの状態を変えていきます。ここで言う“ドアの状態を変える”とは、「開いているときは閉めて、しまっているときは開ける」ことを言います。

100人の子供がすべて作業を終えたとき、100個のドアの状態について次の問いに答えなさい。

(1)13番目のドアは開いていますか、閉まっていますか。
(2)36番目のドアは開いていますか、閉まっていますか。
(3)1番目から100番目までのドアで開いているドアは何個ありますか。


上記の問題で初めの2問は何とかなるのですが、3つ目の問題に手こずっています。宜しく御願いします。

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A 回答 (4件)

(1)と(2)はそれぞれ13と36の約数を考えればわかりますね。


(3)ですが、
 まず、ドアの状態を変える人がが偶数なら、最終的にドアはしまってますね。奇数なら、あいています。ここでは、それぞれの数について約数を考えるんだと思います。この問題は、たぶん倍数の問題ではなく、約数の問題です。
 ここで、開いているドアの番号の約数は奇数個になることに注目します。約数の求め方を考えると、まず、10で考えてみましょう。まず1が出てきます。そうしたら次は10を答えとして選びますね(10÷1=10)次は2と5。3・4と約数じゃなく飛ばして、5はもう出てきているのでここで終了です。約数が偶数個出てきたので10のドアは閉まっていますね。
 ここで考えてほしいのは、約数は必ず2つペアで出てくると言うことです。と言うことは同じ数を2回かけた数ならどうでしょう。
 16で考えると1と16、2と8、4と4ですね。ここで最後の4と4に注目してください。これは41つと考えるので、結果16の約数は奇数個となり、16のドアは開いています。
 すなわち何かの2乗の数となっているドアは、開いているということです。
 この問題では1×1=1 2×2=4 3×3=9 ・・・・・・ 9×9=81 10×10=100までの10個のドアが開いていることになります。

 こんな感じでいかかでしょうか。ずらずらと長くなってしまって申し訳ありません。2乗のところは小学生はわからないので、同じ数を2回かけるとでも言いかえて教えてあげてください。
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この回答へのお礼

早速解りやすい説明付きで解答を頂き、誠に有り難う御座いました。早速娘に教えてやりたいと思います。本当に有り難う御座います。

お礼日時:2005/04/17 09:43

ANo.3のものです。

補足というかなんでしょう…。

 私が回答を打っている間に、sunasearchさんが回答していたみたいで、ダブってしまいましたね…。すみません。まあ、私の回答も見ていただけると嬉しいです。
 それでは、お騒がせいたしました。
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開いているドアは、


1,4,9,16,25,36,49,64,81,100の10個になります。

この問題は約数を考えます。

すべての番号は自分と、1番の人が状態を変えます。
すなわち、1×(自分の数)です。
これだと、2回の操作なので、ドアは閉まったままです。

それ以外に割り切れる数があれば、割られた結果の数がありますので、これらがペアになります。
例)15=3×5、
  24=2×12、3×8、4×6

ペアができれば、2回状態が変えられるので、
ドアは閉まったままです。

そこで、例外があって、
9=3×3、16=4×4のように、
同じ数の掛け算がペアになった場合は、
3番、4番の人は1回だけ開けるので、
これらに該当する、同じ数の掛け算になる数字のドアだけ、開くことになります。
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この回答へのお礼

早速解りやすい説明付きで解答を頂き、誠に有り難う御座いました。早速娘に教えてやりたいと思います。本当に有り難う御座います。

お礼日時:2005/04/17 09:43

こんにちは。


倍数に関係してくるんですよね。
(1)(2)は何とかなりますね。(3)は1から100まで、全部シミュレーションせずに説く方法があるんですよね、きっと。
ヒントほしいですね。
教科書の問題なんでしょうか。だとすると、どの分野に載っている問題なんでしょうか。また、その分野に方程式のような公式の勉強はありませんでしたか?
あーーー気になる。今晩、家族でトライしてみます。
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