f(x)=e^|-ax+b| (a>0、bは定数)のフーリエ変換は、 (e^b+e^-b)/(iw-

f(x)=e^|-ax+b| (a>0、bは定数)のフーリエ変換は、
(e^b+e^-b)/(iw-a)で合ってるでしょうか？

質問者からの補足コメント

• f(x)=e^-|ax+b| に訂正です。

    補足日時：2023/02/10 20:32

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/10 21:05

∫[-∞,+∞] f(x) e^(iωx) dx = ∫[-∞,+∞] e^-|ax+b| e^(iωx) dx

　= ∫[-∞,-b/a] e^-|ax+b| e^(iωx) dx + ∫[-b/a,+∞] e^-|ax+b| e^(iωx) dx
　= ∫[-∞,-b/a] e^(ax+b) e^(iωx) dx + ∫[-b/a,+∞] e^-(ax+b) e^(iωx) dx
　= (e^b) ∫[-∞,-b/a] e^((a+iω)x) dx + (e^-b) ∫[-b/a,+∞] e^((-a+iω)x) dx
　= (e^b) { e^((a+iω)(-b/a)) - 0 }/(a+iω) + (e^-b) { 0 - e^((-a+iω)(-b/a)) }/(-a+iω)
　= (e^b) { (e^-b)e^(-i(b/a)ω) }/(a+iω) - (e^-b) { (e^b)e^(-i(b/a)ω) }/(-a+iω)
　= { (-a+iω) e^(-i(b/a)ω) - (a+iω) e^(-i(b/a)ω) } / { (a+iω)(-a+iω) }
　= { 2a e^(-i(b/a)ω) } / { a^2 + ω^2 }

ありゃ、俺も何か間違えてた感じかな。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/10 20:12

積分範囲がおかしいんじゃね?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/10 18:39

なら、 e^(i(b/a)ω)・2a/(ω^2 + a^2)

この回答へのお礼

ax+b≧0 の時、
∫(0~∞)e^(-ax-b)e^(iwx)=e^(-b)/(iw-a)

ax+b<0 の時、
∫(-∞~0)e^(ax+b)e^(iwx)=e^b/(iw+a)

F(w)= e^(-b)/(iw-a)＋e^b/(iw+a)
　　=(e^b+e^-b)/(iw-a)

どこが間違ってるんでしょうか？

お礼日時：2023/02/10 19:10

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/10 18:16

それは発散するがな。

f(x)=e^-|ax+b| の間違いではないの？

この回答へのお礼

おっしゃる通りです。
間違えてました。

お礼日時：2023/02/10 18:33