無限に広い板の重力は？

無限に広い宇宙に、密度が一様な無限に広い平らな板があるとします。

この板の重力は、球である普通の天体とは違って、板からの距離に反比例しないと思います。
もしかして、板の重力は、板の内部以外のどの位置においても、一定になるのでしょうか。

この板の厚さがDで、密度がPの場合の重力の大きさを教えてください。


あと、
この板が重力崩壊をおこして、厚みがない「面」になったとします。

この場合、事象の地平面は発生するのでしょうか。

発生するとしたら、どこに発生しますか。

質問者からの補足コメント

• 訂正
  ✕距離に反比例
  ↓
  ○距離の2乗に反比例

    補足日時：2023/02/12 16:10

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/13 22:47

No.3です。

> 事象の地平面

の話を忘れてました。
　この宇宙が板以外空っぽでなくてはならないのは、モノがあったとすると、どんな遠方であろうとも等加速度運動でモノが板へ落ちてくる。その落ちてくるモノたちをどこから供給するの？ということです。
　でもご質問の意図にナントカ沿うためには、そこを「宇宙にイロんなモノをばらまいておいて、さて、突然板が創造された」という設定だと考えなくちゃならんでしょう。この場合、宇宙ではあらゆるモノが板に向かって定加速度運動、すなわち自由落下している。落ちているモノの立場では、板以外のあらゆるものが無重量状態でふわふわしているだけで、そこに定加速度運動する板が突進してくる、ということです。
　普通の話と違って、「うんと遠くにいれば落ちない」ということにはならない。それでは話がどもならんので、重力加速度に対抗して板から一定の距離（つまり高度）hを保っている観測者がいるとして、その立場で考えればどうか。宇宙（の半分）全体が加速度gで定加速度運動しているんですから宇宙がローレンツ短縮を起こし、このため高度hが(c^2)/gより大きいのなら板は観測できません。つまり下方(c^2)/gの距離に事象の地平線が現れる。そこへ落ちていくモノはどんどんゆっくり落ちるようになり、地平線を超えるところはついぞ観測できない。
　別に板なんかなくたって話は同じで、現実の宇宙においても、加速度gで定加速度運動している観測者が宇宙を眺めれば、自分の下方(c^2)/gの距離に事象の地平線が現れる。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/13 02:07

> この板が重力崩壊をおこして

まだ重力崩壊を起こしていない状態から重力崩壊するまでの間に、一体どこから追加の質量を持ってきたんだ？ってところがちょっと辻褄の合わない話です。
　ま、最初っからうんと重い板が創造された、という初期条件を与えたとすると、それは不安定であり、すなわち板ではいられなくて、自発的に対称性を破って多数の塊（普通のブラックホール）に分裂してしまう。さらに、互いに喰い合ってまばらになっていくでしょう。だから、厚みがない「面」にはならん、ということです。それでもうんと遠方では、近似的に重力が一様、という性質は保っている。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/12 18:29

普通のニュートン力学なら、ガウスの法則から直ちに

重力加速度の絶対値は = 2πGρ
G: 重力定数、ρ　平面の単位面積当たりの質量。
になる。厚みにも距離にも依存しない。
当然平面と垂直で、平面の上と下で向きは逆。

無限平面の重力崩壊は扱ったことないな。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2023/02/12 17:55

板までの距離をｘ、ｘに垂直方向の距離をｙ

板の厚みをｈ、板の質量をＤ（kg/m³)とします。
観測点から等距離の質量は、
πＤｙ²ｈｄｙ
ここからの重力常数をＧとして
ここからくる　重力は
πＤＧｙ²ｈ/√(ｘ²＋ｙ²)ｄｙ
ｙ〔０～∞〕まで部分積分すると
πＤＧｈ∫ｙ²/√(ｘ²＋ｙ²)ｄｙ＝∞
発散します。
距離の２乗でも同じになります。

この回答へのお礼

0～∞のy方向の力の成分は0～-∞の成分と打ち消し合うのではないでしょうか。

お礼日時：2023/02/13 18:23