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物理学、剛体力学でわからないところがあります。

質量m長さlの細い剛体棒、一端をOを通るなめらかな水平軸まわりで回転。これを棒振子という。-π/2≦θ≦π/2で振動させる。棒が軸から受ける抗力Rの大きさをθを用いて表せ。(これは微小振動ではない。sinθ≠θ、cosθ≠1-θ^2/2は用いるな。)
軸まわりの慣性モーメントはI=ml^2/3

何故抗力Rはx軸負の向きで、はじめに設定してよいのか。y軸の方向には抗力の成分はないのか。(参考書の図をみてRの方向をx軸負の方向にしました。Rの方向については詳しく書かれていませんでした。)
②と③を連立した⑤が必要ないのは何故か。
⑥の答えはあっているのでしょうか。(解答がないのでわかりません)
4日ぐらい考えてもわかりません。図書館やネットを利用しましたが、微小振動の周期ばかりかかれていました。

「物理学、剛体力学でわからないところがあり」の質問画像

A 回答 (5件)

こちらの解答は以下になります:


必要な方程式は
mx”=mg+r・・・ ①、my”=n・・・②、r、nは抗力のx成分y成分
Iθ”=-mg(ℓ/2)sinθ・・・③、(1/2)Iθ’²=mg(ℓ/2)cosθ・・・④、I=mℓ²/3
はすでに上がっています。あと重心座標x、yは
x=(ℓ/2)cosθ、y=(ℓ/2)sinθ という束縛条件があるので
それぞれ2回時間微分して
x”=(-ℓ/2)(cosθθ’²+sinθθ”)、y”=(ℓ/2)(-sinθθ’²+cosθθ”)
この2式を①②に入れ、θ’²、θ”を④③からsinθ、cosθの式に直して
r、nおよび√(r²+n²)を出したのが前回の回答です。
rを出すときにsin²θ+cos²θ=1を使ってます。

いろんな記号が錯綜するので慎重に検算してみてください。
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この回答へのお礼

助かりました

回答ありがとうございます。
n.rは上手く求まりました!!
本当に助かりました。

お礼日時:2023/02/17 09:00

結論は


R=(mg/4)(9cos²θ+1)、N=(-9mg/4)sinθcosθ
抗力の大きさ=(mg/4)√(99cos²θ+1)
です。
これは実際こちらで前回答のように計算したのと
こちらの参考書と照合したので間違いありません。
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この回答へのお礼

何度も回答ありがとうございます。助かります。
y成分 x成分をあらたに
mx¨=mg+r
my¨=n
R→=r→+n→
(→ベクトル記号)
ただしR=√(n^2+r^2) して計算しましたが、頂いた答えにはなりませんでした。
n=3(3sin^2θ-2)mg/4
r=-mg(1+9sinθcosθ/4)
R=mg√(27sin^2θ+72sinθcosθ+52)/4
となりました。返信機能はこのアプリにはないと思うので、すみません明日もう一度質問します。

お礼日時:2023/02/16 02:23

すいません、③式はまちがいがありません。


④のほうは左辺の(1/2)Iθ’は(1/2)Iθ’²のまちがいです。
θが-πからπまでかわるので④の右辺の定数はmg(ℓ/2)になり
④は(1/2)Iθ’²=mg(ℓ/2)cosθ となることに注意です。
この式と③式とからθ’²とθ”をsinθ、cosθの式にして
①②にいれてR、Nをsinθ、cosθのかたちにする。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
間違いの指摘ありがとうございます。方針までいただけるとは!!

お礼日時:2023/02/15 19:33

もちろん抗力のy成分は0ではありません。


それをNとすれば②は
my”=N になります。
x”、y”はそれぞれsinθ、cosθ、θ’²、θ”で表わされ、
③④からθ’²、θ”がsinθ、cosθだけで表わされるから
それを①②にいれてR、Nをsinθ、cosθだけで表わすという構図です。
もちろん抗力の大きさは√(R²+N²)です。

なお③④式に少し間違いがあるようです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。そうですよね。yにも抗力ありますよね。

お礼日時:2023/02/15 19:05

>y軸の方向には抗力の成分はないのか



もちろん有ります。
軸の力も重力も鉛直では
棒の重心は水平方向では等速になります。
振り子にならない(^_^;)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。参考にします。

お礼日時:2023/02/15 19:03

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