三角関数の和

Pksin(x+kδ）でｋに関して１～無限大まで和を取る。
（Pk のｋはＰの右下に小さくついている。）

{Pk}は等比数列で、Pk→0　とする。
ｋ、ｎを整数として、
ｋδ＝ｎπ（エヌ掛けるパイ）　とはならない。
（δはパイの有理数倍ではない。）
とする。

この時
ΣPksin(x+kδ）
ｋ
は、
どんなｘに対しても、小さな値になると言えますか？
どの様な条件を付ければ、小さくなると言えますか？

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： kantansi 回答日時： 2023/02/26 19:48

与えられた等比数列 {Pk} は、Pk → 0 であることが仮定されています。

このとき、k が大きくなるにつれて Pk は指数関数的に小さくなるため、k が十分に大きい場合には Pk は非常に小さくなります。一方、sin(x+kδ) の絶対値は 0 ~ 1 の間をとります。したがって、ΣPksin(x+kδ) の和は、k が十分に大きい場合には Pk の減少が sin(x+kδ) の振動に対して打ち消しあい、小さな値となります。

具体的には、どのような x に対しても小さな値になるとは限りませんが、例えば以下のような条件を満たす場合には小さな値になる可能性が高くなります。

δ が十分に小さい場合

x が定数であり、かつ δ が x の周期である場合

x がランダムな値をとる場合、かつ k が十分に大きい場合（この場合、平均的に小さな値になる傾向があります）

ただし、上記の条件はあくまで一例であり、一般的にはどのような x に対しても小さな値になるわけではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
δが十分小さければ、和もちいさくなりそうです。
デルタが大きい、例えば、e（自然対数の低、ネピアの数）のような場合にも
和の絶対値が、かなり小さくなることを示したいのですが、
私には、難しいです。

お礼日時：2023/02/27 07:58

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/26 19:50

「どんなｘに対しても、小さな値になると言えますか？」

どうゆう意味ですか?

この回答へのお礼

N
ΣPksin(x+kδ）
ｋ=1

任意に与えられた正の数εに対して、
自然数Mが存在して、どのような実数ｘについても、
N>M　ならば、級数の絶対値が、εよりも小さい。
が成立する。

でよろしいでしょうか？

お礼日時：2023/02/26 22:49

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/26 19:48

「小さな値」「小さくなる」を定義してください.

この回答へのお礼

N
ΣPksin(x+kδ）
ｋ=1

任意に与えられた正の数εに対して、
自然数Mが存在して、
N>M　ならば、級数の絶対値が、εよりも小さい。
が成立する。

でよろしいでしょうか？

お礼日時：2023/02/26 22:49