問題が理解できません

「sinxは多項式でないことを示せ」という問題です。どう手をつけていいかさっぱりです。どなたか助けて下さい。

No.6 回答者： masudaya 回答日時： 2005/04/18 12:08

こういうのは,どうですか

sin(x)がn次の多項式P(x)と書けたとする.
sin(x)=P(x)
この両辺をn+1回微分すると・・・

以降はご自身でお考え下さい.

No.5 ベストアンサー 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/04/17 23:26

つまり、１変数２次方程式の解は２個、１変数３次方程式の解は３個、・・・・・ですから、sinxがxのn次多項式ならsinx=0はxのn次方程式になり、解はn個以下のはず。

でもy=sinxは周期関数で、x=0以下無限個の解を持つから多項式ではありえない、という意味です。
数３だったら微分する手もあります。sinxを４回微分すすとsinxに戻りますが、多項式なら次数が下がっていくために多項式x=0以外はこういうことはおきません。

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2005/04/17 23:07

３０数年前に名古屋大学の入試問題に出題された。

分かっている人には、こんな簡単な問題がということに
なろう。

しかし、高校生が三角関数をどう捉えているかを知る
良問とも言える。

ｎ次方程式はｎ個の解を持つ、というのは大学生なら
当たり前だが、高校では習わないかも知れない。
しかしたいていの人が知っている。

他には、ｘ→∞の極限を考えるというのはどうだろう。
周期性を述べるのも面白いかもしれない。

テーラー展開すれば多項式近似ができるのに、
やっぱりどこまでいっても多項式ではない、
というところが不思議といえば不思議。

No.3 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/04/17 22:40

訂正。

会------>解

No.2 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/04/17 22:39

多項式であればsinx=0は代数方程式となる。

よってたかだか有限個の会を持つはずであるが・・・・・
というのはいかがか。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。誠に恥ずかしい話なのですが、回答も理解できません。なにしろ数学は苦手中の苦手なので・・・。もしよろしければもう少し詳しい説明をして頂けないでしょうか。

お礼日時：2005/04/17 23:11

No.1 回答者： jmh 回答日時： 2005/04/17 22:15

多項式だったとすると…？