指数関数の微分がその指数が倍数として現れるのはどうしてでしょうか？

Y=X^2でもY=X^100でも、微分するとその指数が倍数として現れるというのは、計算すればわかりますけど、その自然的な意味というのはどう説明したらいいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

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  例えば一番簡単なY=X^2を例にとると、これを微分するには
  (X+dx)^2-X^2/dx
  なわけですが、これを展開すると
  X^2+2Xdx+(dx)^2-X^2/dx=2X+dx
  だから2Xになるわけですが、結局、X×dxが「2」回出てくるよというところでこの指数が倍数になるわけです。これはどの累乗の展開公式でも同じことです。dxを1度掛けるところの回数が指数と同数になるから結局指数関数Y=X^nの微分はnX^n-1になるわけです。
  それが不思議です。

    補足日時：2023/02/26 23:45

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  2項定理を使って導関数を求めれば明らかなことです。しかし結果がdxを1回掛ける組み合わせが指数個になるということは、結果微分において指数→倍数定数という革命が生じていることです。

    補足日時：2023/02/27 07:47

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/02/26 23:28

指数関数の微分において、指数が何であっても、微分した結果は元の関数に現れる指数の倍数になるという性質は、自然界で見られるさまざまな現象に関連するものです。

例えば、物理学では、速度や加速度などの変化率を求めるために微分が用いられます。その際、物体の運動に関する法則が指数関数的に表されることがあります。例えば、自由落下運動においては、物体の落下距離が時間の2乗に比例することが知られています。この場合、落下距離の時間に対する微分を求めると、時間の1次関数になり、速度を表すことができます。同様に、速度の時間に対する微分を求めると、時間の0次関数になり、加速度を表すことができます。このように、物理学的な現象において指数関数が現れる場合、その微分によって得られる結果は、自然現象に対する意味を持ちます。

また、経済学や生物学などの分野でも、成長率や増殖率などを表す指数関数が現れることがあります。例えば、経済成長率は一般的に指数関数的に表されることが多く、これを微分することで、経済成長の加速度や鈍化度合いを表すことができます。

このように、自然現象において指数関数的な現象が見られる場合、その微分によって得られる結果は、自然界における現象に対する意味を持つことが多いと言えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。そのようになっているという経験的事実があります。

お礼日時：2023/02/26 23:32

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/27 00:42

「自然的な意味」という言葉の意味を定義したり、

Y=X^n の微分が nX^n-1 になることのどこが不思議なのかを説明したり
しなければ、答えらしきものが得られる可能性は無いでしょう。
何が得たいのか、少しは自分で説明しなければね。

Y=X^n の微分が nX^(n-1) になることは、通常
lim[h→0] { (X+h)^n - X^n }/h = nX^(n-1) によって示めされます。
その証明を支えるのは、(X+h)^n の展開であり、それを説明する
二項定理です。(X+h)^n = Σ[k=0...n] (nCk)(X^k)(h^(n-k)).
二項定理の証明は、数学的帰納法を使えば高校範囲です。

何が不思議なのですか？

この回答へのお礼

指数がそのまま倍数になることです。

お礼日時：2023/02/27 07:44

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/27 07:50

う～ん、2項展開の係数 nC1=n

が納得できないという話?

この回答へのお礼

ではありません。計算式から導かれる結果は明らかです。その結果の持つ意味です。Y=X^2を例にとれば、なぜXを2回掛けるという関数の微分がXを2倍するという結果になり、それは何を意味しているかというと、Y=X^2のX＝〇の値を2倍するということが導関数なのか？

お礼日時：2023/02/27 07:55

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/27 09:49

それは、「革命」じゃなくて「定理」っていうんだがなあ。

証明は明らかだが納得できない ってことなら、それは
数学じゃなく数秘術の話になる。

この回答へのお礼

不思議に思ったことはありませんか？なぜべき乗の導関数はそのべき数が定数倍として現れるのか？

お礼日時：2023/02/27 09:52

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/27 13:21

面白いと思いますが、不思議に感じたことはありません。

(d/dX)X^n = nX^(n-1) という式の証明の内容が、
その「なぜ」の答えだからです。

この回答へのお礼

結局は二項定理ですけどね。

お礼日時：2023/02/27 16:20

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/27 17:37

う~ん、証明が貴方にとって何の意味も無いとすると、何を答えればよいのかな？

積の定理から
(x^10)'=(xxxxxxxxx)'=(x)'xxxxxxxxx + x(x)'xxxxxxxx + xx(x)'xxxxxxx
+ ・・・ + xxxxxxxxx(x)'=10x^9

なんてのも腑に落ちない?


蛇足だけど、x^nはxのn乗(巾乗)で指数関数は a^x

この回答へのお礼

この積の定理は結構本質に迫ってますね!べき乗回数分現れるというのが神秘的です。

お礼日時：2023/02/27 21:31

No.7 回答者： heidfeld 回答日時： 2023/02/27 18:28

微分によって指数が係数として出てきますが、それがどのように出てくるのかは、導関数やニ項定理、パスカルの三角形のようなことから出処を辿ってくることはできますが、

その本質の世界というか、「なぜこの宇宙がそういうふうな数学法則で成り立っているのか？」のような、自然界の仕組みに関する問いについては、
たぶん高校数学レベルでは解明は難しく、

いまだに全ての数値が分かっていないπなどの無理数や極限、4次元空間のある世界、宇宙の外といった、人類にはまだ理解できない領域にあるのかもしれないです。

この回答へのお礼

いやぁ、色々既知の方法で導かれるのを考えれば本質に近づけそうです(^O^)／

お礼日時：2023/02/27 21:33

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2023/02/27 19:57

何もありません。

計算してみたらたまたまそうなった、ただそれだけです。

この回答へのお礼

そーですか!

お礼日時：2023/02/27 21:33

No.9 ベストアンサー 回答者： finalbento 回答日時： 2023/02/27 21:45

ちょっと気になった事を少し。

お礼コメント等にやたら「本質」と言う表現が出て来ますが、数学では質問者様が考えられているような「本質」などは一切考えませんし関心もありません。数学で関心が持たれているのは「どのような定義や公理を採用したらどんな定理が導かれるか」と言う事だけです。質問者様が考えられておられるような「本質」が何かを考えるのは数学ではなくて哲学または宗教です。

この回答へのお礼

そうですね！次は哲学に質問してみます。

お礼日時：2023/02/28 10:23