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No.4
- 回答日時:
ユークリッドの互除法を使って一次不定方程式を解く手順は、
多くの本やサイトで解説されています。
「拡張互除法」と呼ばれていることが少なくないので、
こちらの名前で検索すると見つけやすいかもしれません。
「拡張」と呼ばれるのは、たぶん、どこかのコンピュータの
ライブラリの関数名の名残りです。
数学的には、拡張でもなんでもない、ユークリッドの互除法
そのものなんですけどね。
この手法にピンと来ない人があるのは、
「余りを他の式へ代入する」という説明に抵抗があるから
ではないかと思います。変数ではなくて
定数に何かを代入するとは何事か?って話です。
例えば 15=255-60×4 と 60=315-255×1 とから
15=255-(315-255×1)×4 という式を作ることを言ってるのですが、
「定数へ代入する」ことに違和感があるなら、
15=255-60×4 式中の 60 を 315-255×1 で置き換える
とでも言い換えておけばよいのではないでしょうか。
No.3
- 回答日時:
255 と 315 の約数では、先ず 両方共 5 の倍数であることは分かりますね。
で、それぞれを 5 で割って 57 と 63 になります。
これも 見ただけで 3 の倍数であることが分かります。
3 で割ると 17 と 63 になります。
17 は素数ですから これ以上の約数は ありません。
従って 255 と 315 の最大公約数は 5x3=15 で 15になります。
但し r と s を求める計算には 適していませんが。
ユークリッドの互除法を使えば、
(掛けるの記号を * で表します。)
315=255*1+60 → 60=315-255*1 ・・・①
255=60*4+15 → 15=255-60*4 ・・・②
60=15*4+0 。
(余りが 0 になったことで 最大公約数が 15 であることが分かる)
② に ① を代入する。
15=255-(315-255)*4=255*5-315*4=255*5+315*(-4) 。
つまり 15=255*5+315*(-4) 。
最大公約数=255r+315s から、最大公約数 15, r=5, s=-4 。
No.2
- 回答日時:
255と315の最大公約数を求めてみます。
315÷255=1あまり60…①
255÷60=4あまり15…②
60÷15=4あまり0…③
よって最大公約数は15
ここで、①~③の式のあまりに注目して各式を変形してみます。
①より、、、
60=315-255×1…④
②より、、、
15=255-60×4…⑤
⑤に④を代入して、、、
15=255-(315-255×1)×4
=255-(315-255)×4
=255-315×4+255×4
=255×5-315×4
=255×5+315×(-4)
つまり、
15=255×5+315×(-4)
よって、
15=255r+315×sを満たす(r,s)=(5,-4)
同様に288と639の最大公約数を求めてみます。
639÷288=2あまり63…①
288÷63=4あまり36…②
63÷36=1あまり27…③
36÷27=1あまり9…④
27÷9=3あまり0…⑤
よって最大公約数は9
①より、、、
63=639-288×2…⑥
②より、、、
36=288-63×4…⑦
③より、、、
27=63-36×1…⑧
④より、、、
9=36-27×1…⑨
ここから先は大変ですが、、、
⑨に⑧を代入して整理し、それに⑦を、さらに⑥を代入すれば、rとsが求まるはずです。
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