12月生まれの女の子

A「子供が２人いる。少なくとも一人は女」
B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」
A「12月」
問：二人とも女である確率は？
答：約33%
で合ってますか？
約50%とかになったりしないんですか？

質問者からの補足コメント

• 

  分からない場所があります。
  ①A「子供が２人いる。少なくとも一人は女」
  ②B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」
  ③A「12月」
  問：二人とも女である確率は？
  
  ①の時点では、答えは1/3
  ③の時点では、答えは約1/2
  とすれば、
  ②の時点では、答えは1/3ですか？約1/2ですか？
  
  ③のAの回答が1月でも8月でも何月でも、答えはおそらく約1/2になる。
  なら、②の質問をした時点で答えを聞かずとも確率は約1/2になりませんか？
  でも②の質問をしただけで答えが1/3から約1/2に変化するとは思えないのです。
  
  答えが、1/3から約1/2に変化したのはどの地点ですか？もしくはどこかで解釈を間違えていますか？

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/15 00:30

No.18 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/15 15:20

この「文章題」は、「等確率でAかBかを2サンプル独立に選んだ。

2つのサンプルのうちにAが存在するという条件のもとでサンプル両方がAである確率は？」という問題とは意味が異なります。

まず、とりあえず
>　①A「子供が２人いる。少なくとも一人は女」
という時点で話は終わりで、それ以降の会話は「もうひとりの性別」を推定することに関しては意味なしです。

　ところで、
> ②B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」
と発言するBは、かなり出来の悪いAIでしょうかね。日本語話者なら
「その女の子は何月生まれ？」
と尋ねるでしょ。

　さて、この「文章題」は文脈に応じて先験確率をどう想定するか（等確率でAかBかを2サンプル独立に選んだと思って良いのかどうか）に左右されます。
●「子供が２人いる」という発話の文脈は重要ですね。小学校の校庭を望遠鏡を覗いているロリコンさんが「（あそこに）子供が2人いる」と言うのと、単に「（私には）子供が2人いる」と言うのでは、「男女は大体半々に違いない」という憶測の妥当性が変わってくる。
●「少なくとも一人は女」はもっとアヤシくて、なんでそんなことを言ったのかを考えると、実に不自然です。
B 「先生、ご家族は？」
A 「子供が2人いる」
という場合に、続けて「少なくとも一人は」なんて絶対言わないですよね。

B 「テキの組織に潜入できる女が二、三人必要なんですが、親分、心当たりは？」
A 「子供が２人いる。少なくとも一人は女」
B 「じゃあ、もうひとかたは？」
A 「うう、『ヒゲのOL、ゴリ子』と呼ばれている」

てな、特殊な文脈でしかそんな発言は出てきそうにないでしょうよ。
●「男女は半々だ」という想定も怪しくて、実際のところ男児の方が2%強ほど多く出生します。

　ですから、「文章題」だけでは確率の問題として成立していない。これを「等確率でAかBかを2サンプル独立に選んだ。2つのサンプルのうちにAが存在するという条件のもとでサンプル両方がAである確率は？」という確率の問題に置き換えるのは、そもそも妥当か、ってことです。

　というわけで、変な「文章題」はさておいて「等確率でAかBかを2サンプル独立に選んだ。2つのサンプルのうちにAが存在するという条件のもとでサンプル両方がAである確率は？」とだけ問うのであれば、計算は簡単でしょう。

この回答へのお礼

＞> ②B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」
＞と発言するBは、かなり出来の悪いAIでしょうかね。日本語話者なら
＞「その女の子は何月生まれ？」
＞と尋ねるでしょ。
上記に関して、Aの「少なくとも一人は女」という発言を受けて、娘が二人いる場合、Bが「その女の子」という特定の一人を指すことがおかしなことなので、このような不自然な日本語になりました。
Aの「少なくとも一人は女」という発言は、娘が二人いた場合でも特定の一人の顔を思い浮かべて発言したのではなく単に事実を述べただけです。


＞　さて、この「文章題」は文脈に応じて先験確率をどう想定するか（等確率でAかBかを2サンプル独立に選んだと思って良いのかどうか）に左右されます。
抽象的な数学や確率の議論なので、
・男女の生まれる確率
・コインの裏表
・サイコロの目
・etc.
などは、一般に同様に確からしいとして考えていましたが、明言しなかったことはこちらの問題でした。


＞●「男女は半々だ」という想定も怪しくて、実際のところ男児の方が2%強ほど多く出生します。
今回の題意からして、明らかに実世界の誤差は重要ではなく、男女の生まれる確率は1/2としていいと考えていました。
自身でも約33%や約50%というざっくりとした答えを提示しているので、この誤差は無視されることが伝わると思いましたが、伝わらなかったのはこちらの言葉不足でした。大変申し訳ございませんでした。


＞　というわけで、変な「文章題」はさておいて「等確率でAかBかを2サンプル独立に選んだ。2つのサンプルのうちにAが存在するという条件のもとでサンプル両方がAである確率は？」とだけ問うのであれば、計算は簡単でしょう。
ここまで、ご丁寧に回答していただけたなら、是非ご回答も頂ければ幸いでした。

お礼日時：2023/03/15 15:49

No.17 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/15 14:08

75人中２人とも娘なのは？

ちょっと考えさせて下さい。

この回答へのお礼

おそらく
75人から「少なくとも一人は12月生まれの娘がいる人」を抽出すると、8人
その中から「子供が二人とも女である人」を抽出すると、4人
よって、12月生まれに限定すれば4/8=1/2が成立しそうです。

ただ、12月生まれに限定せず、ただ観測するだけでは、25/75=1/3
になるのではないでしょうか？

お礼日時：2023/03/15 15:21

No.16 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/15 13:57

＞ これは「８月」など、どの月でも当てはまることですよね？

＞ つまり、何月でも「両方とも女の子である確率は1/2」になると言うことですよね？
＞ つまり、この「何月」かと言うことに情報としての意味はないですよね？

12月でも他の月でも結果が同じ値になるのは、
どの月に生まれた確率も等しく 1/12 としているからです。
12月生まれの確率を 31/365, 2月生まれの確率は 28/365
として計算してみれば、結果は異なってきます。

それに、1/12 のままでも、
12月生まれだと判っているのと
B の質問が無かった場合とでは、
2人とも女の子である確率は違いますよ。

＞ なのに、この情報としての意味がないものを与えられた結果、
＞ 答えが変わる意味が理解できません。

この手の条件付き確率の話が腑に落ちない人は、
条件によって確率が変わる という考え方をやめたほうがいい
かもしれません。便利だが、誤解の多い言い廻しです。

事象 A が起こる確率が P(A) = 1/2,
条件 B が成立する条件下に A が起こる確率が P_B(A) = 23/47
だった場合、B が成立したことによって
「A が起こる確率」の値が変化したわけではありません。
最初から P(A) は P(A)、 P_B(A) は P_B(A) であって、
P(A) の値が 1/2 に変化したわけではないんです。
ただ、 P(A) と P_B(A) は別の確率であって異なる値を持つ
というだけです。

「条件 B が成立する条件下に A が起こる確率」というのも
「A が起こる確率」のうちだろう なんて言葉遊びは、
鳥の名前がペンギンだと聞いて「ギン」って何だ？ と尋ねるくらい
意味がありません。

この回答へのお礼

①
おっしゃっている、事象Aと条件Bは何ですか？
事象Aは「女が生まれる確率」？
条件Bは「その人の誕生月が12月」？

＞「条件 B が成立する条件下に A が起こる確率」というのも
＞「A が起こる確率」のうちだろう なんて言葉遊びは、
は何を指していますか？
「全事象から12月生まれという条件を満たす事象を抽出して、そのうち女が生まれる確率」というのも
「女が生まれる確率」のうちだろう なんて言葉遊びは、
ということですか？？？

②
また、細かい言葉の話ですが理解できなかった部分についての質問ですが、
＞＞ この質問は性別と無関係なのに、なぜ確率が変わるのですか？
＞
＞無関係ではありませせん。
＞＞ B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」
＞＞ A「12月」
＞女の子の性別について答を得ています。
上記の『女の子の性別について答を得ています。』はどういう意味ですか？
「女の子の性別は女である」という答え？情報？を得ているという意味ですか？
「少なくとも女の子が一人存在するという情報を得ている」という意味ですか？

③
「全事象から、子供の少なくとも一人が12月生まれの女の子である事象を抽出（に限定）して、その中で子供が二人とも女の子である確率は約1/2である」
なら理解できていますが、
回答者の中では、表現として「観測によって結果が変わる」というような、まるで量子力学的なニュアンスを含んでいるように感じており、「観測」ではなく事象の「限定」や「抽出」によって確率が変わるのではないかと思っています。

お礼日時：2023/03/15 14:58

No.15 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/15 10:14

＞「どうせ1月~12月でしょ？なら二人とも・・・」

とならない理由について、

これは、誕生月というものが、たまたま類推しやすいから錯覚しているだけです。

類推できないケースを考えてみましょう。

「先生のゼミの２人の学生から女性を１人紹介して頂けませんか」
「よし、山田花子を紹介しよう」
このとき、２人の学生が両方とも女である確率は？

というケースでは、山田花子の名前を聞くのは初めてであり、観測者にとって類推は不可能です。
それに、先生からみれば、２人いるときは、紹介するのはもうひとりの広瀬すずでも良いわけですから、

P(山田花子と回答する｜男男)＝０％
P(山田花子と回答する｜男女)＝100％
P(山田花子と回答する｜女男)＝100％
P(山田花子と回答する｜女女)＝50％

ということになり、やはり条件付き確率に結び付く観測が得られた時点で事後確率が決まります。

また、「紹介する者を選択する」という行為によって、生起確率が左右されるところがミソです。

このケースは、モンティホール問題の「ハズレはABだが、Aは回答者が選択しているのでBしか選べない」と似ていますね。

女子が１人しかいないときは、山田花子だろうが誰だろうが、そう回答せざるを得ないから、条件付き確率は100％になってしまいます。

この回答へのお礼

やはり、観測によって結果が変わるという点が理解できません。

・私には友人が100人います。
・彼らは全員子供を二人持っています。
・娘のいる友人をパーティに呼びました。
・すると75人きました。

『事象A』
この中で子供が女二人姉妹である友人は25人だった。
割合は1/3

75人の友人に一人づつ回って娘の名前を聞きました
友人A「花子」
友人B「すず」
...
友人X「あやか」
ここで、私は友人の娘の名前を観測しました。
アンケートを取り、子供が女二人姉妹である友人は37人だった。

観測によって結果が変わるとはこのことですか？

お礼日時：2023/03/15 12:15

No.14 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/15 09:47

#12です。

コメント頂いた件、
①A「子供が２人いる。少なくとも一人は女」1/3
②B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」1/3
　③A「1月」約1/2
　③A「2月」約1/2
　...
　③A「11月」約1/2
　③A「12月」約1/2
　③A「秘密」1/3
と言うことですか？

はい。その通りです。

「少なくとも一人の女の子は何月生まれですか」に対して、

P(女の子の誕生日が〇月という回答が得られる｜女の子が１人)
P(女の子の誕生日が〇月という回答が得られる｜女の子が２人)

という条件付き確率は、条件によって違いますが、（対象者が二人いる方が確率が高い）

P(それは秘密ですという回答が得られる｜女の子が１人)
P(それは秘密ですという回答が得られる｜女の子が２人)

という条件付き確率は、条件によらず100％回答できますので同じです。

条件付き確率の差異は両ケースで違います。

そのため、条件付き確率に結び付く行為が観測された時点で、ベイズの事後確率が決まります。

No.13 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/15 01:55

＞どの答えでも1/2に変化することが分かっているなら

そうではありません。

タレントの隠し子問題では、条件付き確率が違わないという点がミソでしたよね。

質問と答えによって、条件付き確率が変わるというところが、ベイズの面白さです。

No.12 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/15 01:39

＞モンティ・ホール問題なら「不正解の扉が分かった瞬間」に事後確率は変化すると思います。

この問題ではどの瞬間でしょうか？

同様に、条件付き確率に結び付く行為が発現した時点です。つまり、12月だと言った時点。

モンティ・ホール問題で、例えば、回答者がAを選択していて、司会者がBの扉を開けてそこが空だと分かった時点で、次の条件付き確率が決まります。その結果、ベイズの式で事後確率が計算できます。

P(Bが空だと示す｜A当たり)＝BでもCでも良いから、50％
P(Bが空だと示す｜B当たり)＝０％
P(Bが空だと示す｜C当たり)＝AとBが空だがAについては言及できないのでBを空けるしかない、100％

よって、回答者の最初の選択のAに対してCは２倍の確率になるのです。

この回答へのお礼

①A「子供が２人いる。少なくとも一人は女」1/3
②B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」1/3
　③A「1月」約1/2
　③A「2月」約1/2
　...
　③A「11月」約1/2
　③A「12月」約1/2
　③A「秘密」1/3
と言うことですか？

①A「子供が２人いる。少なくとも一人は女」
②B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」
③A「秘密」
④B「どうせ1月~12月でしょ？なら二人とも女である確率は約1/2だ」
とはなりませんか？

とすると答えを聞かずとも、確率は約1/2になりませんか？

モンティ・ホール問題で与えられる情報（不正解の扉）は答え（どの扉が正解か）を絞る情報になり、その情報に意味はありますが、この問題で得られる情報（誕生月）は答え（二人とも女である確率）とは関係なさそうなので、1/3のままだと思うのです。

お礼日時：2023/03/15 02:00

No.11 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/15 01:19

炎上した問題は、こんな問題でした。

あるタレントに２人の隠し子がいることが分かった。・・・事前情報
「ひとりは女の子だ」と告白した。・・・条件付き確率
子供がふたりとも女の子である確率は？

P(ひとりは女の子であると告白できる｜男男)＝０％
P(ひとりは女の子であると告白できる｜男女)＝100％
P(ひとりは女の子であると告白できる｜女男)＝100％
P(ひとりは女の子であると告白できる｜女女)＝100％

このケースでは、女の子が一人でも二人でも、「ひとりは女の子」という告白が100％得られます。

事前確率が無情報事前分布として一様分布（各１／４）とすると、
ふたりとも女の子である確率は１／３になりますよね。

おおかたの回答は、もう一方は男か女か１／２ずつだから１／２だとするものでした。・・・これが直感による解です。

この回答へのお礼

①A「子供が２人いる。少なくとも一人は女」
②B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」
③A「12月」
問：二人とも女である確率は？

①、②、③のどの瞬間に答えは、1/3から1/2に変化するのですか？

①の瞬間は1/3、③の瞬間は1/2
だとすると、「②の瞬間は？」と言うことです。

答えを聞いて確率が変化するなら、②の瞬間はまだ1/3
ですが、どの答えでも1/2に変化することが分かっているなら、②の瞬間はまだ1/2になると思います。

お礼日時：2023/03/15 01:30

No.10 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/15 01:05

＞この「何月」かと言うことに情報としての意味はないですよね？

はい。むしろ、条件の方が重要です。

P(女の子の誕生日が12月という回答が得られる｜女の子が１人)

という条件付き確率と、

P(女の子の誕生日が12月という回答が得られる｜女の子が２人)

という条件付き確率の違いは、女の子が何人かという点です。そこがミソです。

だから、誕生日は火曜日か、でも、それこそ名前が広瀬すずか、でも構いません。
２人いれば、その確率が倍になる、という点が、ベイズの公式に当てはめたとき、結果に影響します。

この回答へのお礼

別の方への補足としてお書きしたのですが、
①A「子供が２人いる。少なくとも一人は女」
②B「少なくとも一人の女の子は何月生まれ？」
③A「12月」
問：二人とも女である確率は？

①の時点では、答えは1/3
③の時点では、答えは約1/2
とすれば、
②の時点では、答えは1/3ですか？約1/2ですか？

③のAの回答が何月でも、答えは約1/2になる。
なら、②の質問をした時点で回答がなんであっても、確率は約1/2になりませんか？
でも②の質問をしただけで答えが1/3から約1/2に変化するとは思えないのです。

答えが、1/3から約1/2に変化したのはどの地点ですか？
もしくはどこかで解釈を間違えていますか？

モンティ・ホール問題なら「不正解の扉が分かった瞬間」に事後確率は変化すると思います。この問題ではどの瞬間でしょうか？

お礼日時：2023/03/15 01:13

No.9 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/15 00:57

シンプソンのパラドクスみたいに事実が直感に反すると言うことです。