どうも。
日々思っていたことなんですが、
たとえば円形の池があるとしましょう。
その池を周る(つまり円の外もしくは円上の或る点から始まり、またその点に戻ってきてできる閉じた(?)円を内部に含む(もしくは重なる)図形の上を移動すること)距離が最短になるのは、やはりその円上を動いたときでしょうか?
要するにちゃんとした証明がしたいんですが、どうすればいいのか。
公理とかはないだろうし、「明らか」で片付けられる問題でもないような気がするし。
とりあえず良回答待ってます。

A 回答 (5件)

「人のふんどしで相撲をとる」ようなもんですが、参考URL(過去の質問)が参考になると思いますが?


私にはとてもついていけませんでした。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=53355
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この回答へのお礼

ありがとうございます。Zincerさんが提示してくれた参考URL
を参照すると出てきた、stomachemanさんの書いていた、
「周の長さを設定したとき、面積が最大になる図形が円だ」
というやつですべて解決できますね。
しかし僕は、変分法とやらにまだ歯が立たないようですんで、
完全な理解はできませんが、なんかすっきりしました。
感謝します。

お礼日時:2001/09/12 22:22

円ではない最短経路(Lとします)が有ったと仮定します。


その最短経路Lは池から離れている箇所があるはずです。
ここまではいいですよね。

そこ(最短経路Lから離れた円上の一点)から池の円に接する直線を引きます。
その直線が最短経路と仮定した経路と交わった点をA,Bとします。
最短経路Lは接点の外側を回るしかないからA,Bが存在することに異論はないはずです。

そうすると、Lの一部を線分ABで置き換えた方が経路はさらに短くなり、Lが最短経路であることに矛盾します。
以上です。反論あればどうぞ。

ちなみに2点間を結ぶ最短経路が直線であることが「明らか」か?という疑問なのであれば、お手上げですのでパスします。

この回答への補足

一応、確実に意思を伝えるため付け加えます。
僕ははじめ、円の接線を円上の一点からではなく
L上の一点から引くものと思っていたのです。
以上です

補足日時:2001/09/14 21:44
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この回答へのお礼

申し訳ございません。
僕は大きな勘違いをしていました。
そうか、先に接点を設定してしまうわけですね。
円ではない最短経路で円を含むものがあったとすると
(円に毛が生えたような経路とか、要するに円に余計なものを付け足した経路)、
それよりも円のほうが経路の距離として明らかに短いから、
は存在せず、そしてそこで、
Lの内部にある円上の点の存在が確認でき、
そこからはnanashisanのご回答どおりですね。(以上、独り言です)

そういえば、2点間を結ぶ最短経路はなぜ直線になるんだろう?
それは公理にあったような気もしますけど.(by Euclid?)
きりがないですね。
ともかく僕のわがままに付き合ってくださってありがとうございました。

お礼日時:2001/09/14 21:43

>Aの存在が今ひとつ不確定な気がするんです。


これはどういうことでしょうか。
円と一致しない点が存在すると仮定して矛盾を導くのが背理法です。
円と一致しない点が存在しないのなら、最短経路は円ということです。

この回答への補足

なんか食い違いが生じてるようなので、
一旦、nanashisanさんの証明を
省略抜きで書いてください。
「接線」と「接線と仮定した経路との交点(共有点というべきか)を結んだ線分」
が重なる場合は?でも確かにそのときでも、ほかの点を取れば
「接線」と「接線と仮定した経路との共有点を結んだ線分」
が重ならない場合は明らかにありますでしょうからそこから矛盾を見出せば
落着するだろうけど。
でも明らかで済ませられるのでしょうか。本当に。
すいません。なんか少々攻撃的になってますが、
とりあえず、証明を省略抜きで書いてください。
ご迷惑おかけします。

補足日時:2001/09/13 21:39
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円ではない最短経路が有ったと仮定します。


その最短経路は池から離れている箇所があるはずですから、
そこで池の円に接する直線を引きます。
その直線が最短経路と仮定した経路と交わった…
以下省略。
こういう証明を背理法といいます。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
nanashisanさんがいわんとしてる事は何となくわかります。
円ではない最短経路(Lとする)があったとして、
L上の或る一点Aが存在し、
Aから引いた円の接線lとLとの交点(A以外の)をBとすると、
直線ABは2点A,B間の最短経路で、Lにおける2点A,B間の経路より
短い。ということだと僕は思いました。
でもそれでは怪しいような気が僕はします。
Aの存在が今ひとつ不確定な気がするんです。
そこらへんどうでしょうか?
お願いします。

補足日時:2001/09/12 22:31
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円の中心をOとし、開始点をP1として、次に移動した点をPnとします。

三角形OP1Pnの角P1OPnをθとするとθが限りなく小さいとすると、P1Pnは殆ど円周上の点に限りなく近くなります。θを2π(360°)になるまで足していくと円周上の点の集合、つまり円になります。これは円周を微分で求める方法ですがわかりましたでしょうか。つまり円周上を移動したときが一番最短距離となるわけです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
確かに僕もこれと似た案は考えました。
でも、この証明は一見それっぽいですが、
その根底を支えているものが
多大なものであるような気がします。
僕は知識が浅いんで、そこら辺よくわかりませんが。
まあ、ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/12 22:53

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Aベストアンサー

 円の内部・外部が逆ですが、≪アルハーゼンの問題≫と同じものではないかと思われます。
 (いずれの問題も 円Cの中心Cと点Pを結ぶ直線CPが∠APBを二等分するという点で 本質的に同じだと思われます。)
 だとすれば、解析幾何学的に4次方程式に帰着するため、定規とコンパスだけで作図することは不可能です。
 (私も方程式を立てて見ましたが、やはり4次方程式になりました。)


 ≪アルハーゼンの問題≫については下記URL中程の「【3】アルハーゼンの問題」をお読みください。)
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/316_s.htm


 ちなみに≪アルハーゼンの問題≫用の特殊な作図器があるようです。
http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/museum/MathematicalInstruments/macchine/151ogg.htm

 これに少し手を加えて 2点を囲む円の中心に作図器の中心をセットできるように改良すれば 作図できるようになると思います。

Q空間版、直線Lとその上にない2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点P

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直線Lの同じ側にある2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点Pを求めよ.

という問題があります。
答は簡単に求めることができます.

点Gを直線Lに関して対称移動させHとする.直線FHと直線Lの交点が最短距離となる折り返し点Pである.この最適な点Pには線分FPとGPがそれぞれLとなす角が等しいという性質がある.

次に3次元空間があったとします。

直線Lとその上にない2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点Pを求めよ.

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それはどのような点なのでしょうか?

Aベストアンサー

#2,#3です。
図を書いて頂けば分かります。
A#2の(B)の方法での例題をあげておきます。
座標系の取り方ですが、簡単にする為に直線Lをy軸にとります。
F,Gの座標をF(3,1,-1),G(1,5,3)としましょう。
F,Gから直線L(y軸)に下した垂線の足をそれぞれA,Bとすると
A(3,0,-1),B(1,0,3)
(→AF)=(3,0,-1)
これをy軸正方向に対してLのまわりに角度θだけ右回転させたベクトルを(→AH')とすると
(→AH')=(3cosθ+sinθ,0,cosθ-3sinθ)
これのベクトルが(→GB)=(-1,0,-3)と平行になるようにθを定めれば
点H'は点Fと直線Lを含む平面上に乗り、点Fと点H'は直線Lを挟んで互いに反対側に位置する。
(→GB)//(→AH')から
(3cosθ+sinθ)/(-1)=(cosθ-3sinθ)/(-3)=k(>0)
これらから
k=1, cosθ=-3/5, sinθ=4/5
したがって
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H'=A(0,1,0)+(-1,0,-3)=(-1,1,-3)
(→GH')=(-2,-4,-6)
直線GH'と直線Lの交点P(X,Y,Z)とすると
直線GH'上にあることから(X,Y,Z)=(1,5,3)+t(-2,-4,-6)
直線L上にあることから (X,Y,Z)=(0,1,0)+s(0,4,0)
これらを解くと
s=t=1/2,P(X,Y,Z)=(0,3,0)
最短距離=|GH'|=√(4+16+36)=2√14
とでて来ます。

図を描きながら追ってみてください。
理解に役立つかと思います。

#2,#3です。
図を書いて頂けば分かります。
A#2の(B)の方法での例題をあげておきます。
座標系の取り方ですが、簡単にする為に直線Lをy軸にとります。
F,Gの座標をF(3,1,-1),G(1,5,3)としましょう。
F,Gから直線L(y軸)に下した垂線の足をそれぞれA,Bとすると
A(3,0,-1),B(1,0,3)
(→AF)=(3,0,-1)
これをy軸正方向に対してLのまわりに角度θだけ右回転させたベクトルを(→AH')とすると
(→AH')=(3cosθ+sinθ,0,cosθ-3sinθ)
これのベクトルが(→GB)=(-1,0,-3)と平行になるようにθを定めれば
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(1)x+y+z=0 A(3,2)  [(-3,-4)]

(2)3x+2y-6=0 A(3,1)  [(9/13,-7/13)]

この問題の解き方が分かりません。

[]内は解答です。

解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

前半
(1)
線分ABの垂直二等分線とx軸の交点が求める等距離点C
直線ABの傾きm=(-2-1)/(5-2)=-1
線分ABの中点M(7/2,-1/2)
垂直2等分線:y=1*(x-7/2)-(1/2) ← =0とおくと x=4
∴交点C(4,0)
(2)
考え方は(1)と同じ。線分ABの垂直2等分線と直線y=2x-1との交点が求める点D
直線ABの傾きm=(1-4)/(3-1)=-3/2
線分ABの中点M(2,5/2)
垂直2等分線:y=(2/3)(x-2)+5/2=(2/3)x+7/6
y=2x-1との交点を連立方程式を解いて求めると
求める点D(13/8,9/4)

後半は後でまた。


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