どうも。
日々思っていたことなんですが、
たとえば円形の池があるとしましょう。
その池を周る(つまり円の外もしくは円上の或る点から始まり、またその点に戻ってきてできる閉じた(?)円を内部に含む(もしくは重なる)図形の上を移動すること)距離が最短になるのは、やはりその円上を動いたときでしょうか?
要するにちゃんとした証明がしたいんですが、どうすればいいのか。
公理とかはないだろうし、「明らか」で片付けられる問題でもないような気がするし。
とりあえず良回答待ってます。

A 回答 (5件)

「人のふんどしで相撲をとる」ようなもんですが、参考URL(過去の質問)が参考になると思いますが?


私にはとてもついていけませんでした。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=53355
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この回答へのお礼

ありがとうございます。Zincerさんが提示してくれた参考URL
を参照すると出てきた、stomachemanさんの書いていた、
「周の長さを設定したとき、面積が最大になる図形が円だ」
というやつですべて解決できますね。
しかし僕は、変分法とやらにまだ歯が立たないようですんで、
完全な理解はできませんが、なんかすっきりしました。
感謝します。

お礼日時:2001/09/12 22:22

円ではない最短経路(Lとします)が有ったと仮定します。


その最短経路Lは池から離れている箇所があるはずです。
ここまではいいですよね。

そこ(最短経路Lから離れた円上の一点)から池の円に接する直線を引きます。
その直線が最短経路と仮定した経路と交わった点をA,Bとします。
最短経路Lは接点の外側を回るしかないからA,Bが存在することに異論はないはずです。

そうすると、Lの一部を線分ABで置き換えた方が経路はさらに短くなり、Lが最短経路であることに矛盾します。
以上です。反論あればどうぞ。

ちなみに2点間を結ぶ最短経路が直線であることが「明らか」か?という疑問なのであれば、お手上げですのでパスします。

この回答への補足

一応、確実に意思を伝えるため付け加えます。
僕ははじめ、円の接線を円上の一点からではなく
L上の一点から引くものと思っていたのです。
以上です

補足日時:2001/09/14 21:44
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この回答へのお礼

申し訳ございません。
僕は大きな勘違いをしていました。
そうか、先に接点を設定してしまうわけですね。
円ではない最短経路で円を含むものがあったとすると
(円に毛が生えたような経路とか、要するに円に余計なものを付け足した経路)、
それよりも円のほうが経路の距離として明らかに短いから、
は存在せず、そしてそこで、
Lの内部にある円上の点の存在が確認でき、
そこからはnanashisanのご回答どおりですね。(以上、独り言です)

そういえば、2点間を結ぶ最短経路はなぜ直線になるんだろう?
それは公理にあったような気もしますけど.(by Euclid?)
きりがないですね。
ともかく僕のわがままに付き合ってくださってありがとうございました。

お礼日時:2001/09/14 21:43

>Aの存在が今ひとつ不確定な気がするんです。


これはどういうことでしょうか。
円と一致しない点が存在すると仮定して矛盾を導くのが背理法です。
円と一致しない点が存在しないのなら、最短経路は円ということです。

この回答への補足

なんか食い違いが生じてるようなので、
一旦、nanashisanさんの証明を
省略抜きで書いてください。
「接線」と「接線と仮定した経路との交点(共有点というべきか)を結んだ線分」
が重なる場合は?でも確かにそのときでも、ほかの点を取れば
「接線」と「接線と仮定した経路との共有点を結んだ線分」
が重ならない場合は明らかにありますでしょうからそこから矛盾を見出せば
落着するだろうけど。
でも明らかで済ませられるのでしょうか。本当に。
すいません。なんか少々攻撃的になってますが、
とりあえず、証明を省略抜きで書いてください。
ご迷惑おかけします。

補足日時:2001/09/13 21:39
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円ではない最短経路が有ったと仮定します。


その最短経路は池から離れている箇所があるはずですから、
そこで池の円に接する直線を引きます。
その直線が最短経路と仮定した経路と交わった…
以下省略。
こういう証明を背理法といいます。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
nanashisanさんがいわんとしてる事は何となくわかります。
円ではない最短経路(Lとする)があったとして、
L上の或る一点Aが存在し、
Aから引いた円の接線lとLとの交点(A以外の)をBとすると、
直線ABは2点A,B間の最短経路で、Lにおける2点A,B間の経路より
短い。ということだと僕は思いました。
でもそれでは怪しいような気が僕はします。
Aの存在が今ひとつ不確定な気がするんです。
そこらへんどうでしょうか?
お願いします。

補足日時:2001/09/12 22:31
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円の中心をOとし、開始点をP1として、次に移動した点をPnとします。

三角形OP1Pnの角P1OPnをθとするとθが限りなく小さいとすると、P1Pnは殆ど円周上の点に限りなく近くなります。θを2π(360°)になるまで足していくと円周上の点の集合、つまり円になります。これは円周を微分で求める方法ですがわかりましたでしょうか。つまり円周上を移動したときが一番最短距離となるわけです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
確かに僕もこれと似た案は考えました。
でも、この証明は一見それっぽいですが、
その根底を支えているものが
多大なものであるような気がします。
僕は知識が浅いんで、そこら辺よくわかりませんが。
まあ、ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/12 22:53

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市販の棚板などを追加して、食器棚にするのは変でしょうか?
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Q現在新築中です。キッチンに置く食器棚の位置で悩んでいます。

現在新築中です。キッチンに置く食器棚の位置で悩んでいます。
今イメージしている配置は、こんな感じです。
       外壁 (窓あり)
   コンロ /   シンク /    冷蔵庫   
                              洗面所
   食器棚   キッチンカウンター(配膳用)

壁          ダイニング
   キッチン     テーブル
   カウンター                 廊下に続くドア
                        
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対面式ではなくI型キッチンで、シンクの背面に
家電(レンジなど)を収納できる配膳用のカウンターを置きたいと考えています。

問題は食器棚ですが、できるだけシンクに近い位置に置きたいのです。
といいますのは、前に住んでいたアパートで食器棚がシンクから離れて
いて、とても不便に感じたからです。
今イメージしているレイアウトですと、食器棚が部屋の中央になってしまいます。
おそらく理想は、リビング側の壁の脇に食器棚を置くのがバランスが
よいのかなと思います。でもこれだと、前のアパートのように不便です。

部屋の中央に食器棚を置いてもおかしくないでしょうか?
食器棚のサイズは高さ235cm、幅90cmを予定しています。
よいアドバイスをお願いします。

現在新築中です。キッチンに置く食器棚の位置で悩んでいます。
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壁          ダイニング
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収納は使いたいところに出し入れしやすい方法であるのが一番です。だから、おかしいおかしくないというより、使い手が一番使いやすい場所に置いたらどうでしょうか?
但し、部屋の真ん中にある分、どうしても圧迫感はあると思いますよ。
圧迫感を少なくする方法として、まだキッチンの変更が可能ならば、こんな感じでにしたらいかかでしょうか?(分かりにくくてすいません)

||========  窓   =====================   
|| コンロ/ シンク  /冷蔵庫  ||  
||                    || 洗面
||(スペース) 食器棚 (スペース) || 脱衣室
||     ○パーテーション○
||キ      壁面収納       ド
||ッ      ダイニング      ア
||チ      テーブル
||カ
||ウ
||ン
||タ                   ||
||                    ||    
※ ○は照明&オープン棚

このプランにする事で、
・開放感を残す
・家事動線を良くする
・目隠しができる
・キッチン窓からの光が間接的に取り込める
などのメリットがあります。デメリットは、収納が減ってしまう事。そのため、
・食器棚の裏面&サイドにオープン棚をつける
・キッチンスペースにもよりますが、家電収納を食器棚と並べる
などをして、デメリットのカバーが必要と思います。
前にこのようなレイアウトのLDKの写真をどこかのキッチンメーカーで見たことがあるのですが、すいません思い出せませんでした。

もしくは、キッチンカウンター配膳用を食器棚の位置まで伸ばし、食器棚をなくし、ガラスの吊戸棚にする。
取り出しやすい高さの収納が減った分シンク前に収納を増やす。
などをしたらどうでしょうか?
(下記URL参照)

参考まで。メーカーのショールームや業者さんに相談すると、3Dパースを書いてもらえると思います。それを参考にされるのも良いと思いますよ。

参考URL:http://www.toto.co.jp/products/kitchen/k00017/plan08.htm

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Q円形の池の周りに鬼がいて、池の中心にAさんがいて、鬼に捕まらずに逃げるには?

半径 R の円形の池があり、中心にAさんがいます。
Aさんは一定の速度 v で泳げます。
池の周りには鬼がいて、速度 V で池の周囲のみを走ることができます。
鬼は可能な限りAさんを捕まえようと最善の方法で走ります。
Aさんは可能な限り鬼に捕まらないように池の外に最善の方法で出ようとします。
(鬼の位置によって進む方向を変えてもかまいません。)

このとき、
 (1) Aさんの泳ぐ速度が鬼の何倍以上なら
    Aさんは鬼に捕まらずに池の外に出ることができるでしょうか?
    その場合の戦略はどのようなものでしょうか?
 (2) Aさんの速度が v で鬼の速度が V であるとき、
    どのような戦略をとれば、最短時間で逃げられるでしょうか?
 (3) Aさんの速度が v で鬼の速度が V であるとき、
    どのような戦略をとれば、
    鬼より最も離れたところで陸に上がることができるでしょうか?

実は、この質問はあるサイトの質問を少し変えたものです。
そのサイトでは、回答期限が1週間以内であるという重大な欠点があり、
だれも満足のいく回答を示すことはできませんでした。
そこで、回答の時間制限がなく、かつ閲覧者も多く、
優秀な回答者も多そうなこのサイトに投稿することにしました。

私も解いてみたのですが、計算・実験等してみたところ、
(1) については、おそらくAさんが逃げ切れる速度の上限は v/V = 0.218 程度だと思います。
(3) は、もう少しで解けそうな気もします。
(2) は、解ける見通しが立っていません。

また、上記の質問は、ビルゲイツの面接試験問題
http://pitecan.com/Mixi/diary/2319810.html
http://pitecan.com/Puzzle/devil/
の条件を少し変えたものでもあるようです。
(これが元ネタかもしれません)

難問かもしれませんが、回答、もしくはヒント等頂ければ助かります。
解くには時間がかかるかもしれませんので、
その場合は「考え中です」とでも回答して頂ければよいと思います。


なお、他のQ&Aサイトへリンクを貼る等、
「他のサイトへの誘導およびやりとりを促し当サイトへの営業妨害に繋がる恐れのある記述」
をすることはご遠慮下さい。回答を削除されてしまいます。
また、画像をどこかにアップロードしてリンクを貼るのも禁止事項のようです。
http://service.okwave.jp/cs/prohibition/
http://okwave.jp/qa3162570.html
http://okwave.jp/qa3289973.html
をご覧下さい。

半径 R の円形の池があり、中心にAさんがいます。
Aさんは一定の速度 v で泳げます。
池の周りには鬼がいて、速度 V で池の周囲のみを走ることができます。
鬼は可能な限りAさんを捕まえようと最善の方法で走ります。
Aさんは可能な限り鬼に捕まらないように池の外に最善の方法で出ようとします。
(鬼の位置によって進む方向を変えてもかまいません。)

このとき、
 (1) Aさんの泳ぐ速度が鬼の何倍以上なら
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Aベストアンサー

少し考えてみました。それぞれの速度を1、θとしても円の半径をRとして
ある限り一般性を失わないのでこれで書いてみます。

まず、円の中心から鬼と反対側に泳ぎだします。それに対して鬼はどちらでも
同じなので反時計回りに回り始めるとします。Aさんはこの動きに対して絶えず
円の中心が間に来るように方向を変えながら泳ぎます。螺旋に似た動きに
なります。理論的には無限大の時間が必要になりますが、いずれAさんは
反時計回りに半径θRの円を描いて泳ぐことになります。この泳ぎをしている
間は鬼に対して円の中心を挟んで反対側で最も遠いところにいますので
ポジションとしては最適なのは間違いないと思います。よって、時間のfactorが
ない(1),(3)に関してはここから考えることになると思います。

原点を中心とする半径Rの円を考えてある時間にAさんが(θR,0)鬼が(-R,0)に
いてこの時にAさんが行動を開始したとします。
行動の仕方は(R,0)から(θR,R√(1-θ^2))のどこかに直線的に逃げることになります。
今、(R,0)に向けて真っ直ぐに逃げると#4さんの回答になると思いますが、
最適かどうかを考えるために(Rcosω,Rsinω)に向けて逃げ出したと考えると
その点にAさんが到着する時間と鬼が到達する時間の差の関数
f(ω)=1/θ*√{(Rcosω-θR)^2+(Rsinω)^2}-R(π+ω)
=R/θ*√(1+θ^2-2θcosω)-R(π+ω)

ωで微分して増減を調べれば分かりますが、
0≦ω≦arccosθ
の範囲内で単純減少であり、ω=arccosθつまり、(θR,0)から真上に
逃げることが最も良いことになります。

これ以上の左は考えません。理由は二つあります。
・半径θRの円の内部を通ることになり、無駄が出る。
・内部に向かう⇔鬼の進行方向から反対側に出ることになるので
鬼が反転して回って来る。

なお、(θR,0)から真上に逃げた場合、鬼は反転しません。
なぜならばAさんが鬼と中心を結んだ線上にいるためには
θRの円を描いて泳ぐ必要がありますが、これから離れた瞬間から
絶えずAさんは鬼の進行方向に近いところにいます。
仮に鬼が反転すればそれにあわせてAさんも向きを変えれば
より有利になりますから題意から鬼が反転することはありません。
(θRの円から出た瞬間からAさんが鬼の進行方向の反対側に行くことは
できません)

Aさんの脱出をθRの円の接線方向と決定するとそれぞれの時間の差の
関数は

g(θ)=R/θ*√(1-θ^2)-R(π+ω)

となり、これが0になるθをnewton法で数値的に求めると

θ≒0.2172336282112216574082793

となりました。

少し考えてみました。それぞれの速度を1、θとしても円の半径をRとして
ある限り一般性を失わないのでこれで書いてみます。

まず、円の中心から鬼と反対側に泳ぎだします。それに対して鬼はどちらでも
同じなので反時計回りに回り始めるとします。Aさんはこの動きに対して絶えず
円の中心が間に来るように方向を変えながら泳ぎます。螺旋に似た動きに
なります。理論的には無限大の時間が必要になりますが、いずれAさんは
反時計回りに半径θRの円を描いて泳ぐことになります。この泳ぎをしている
間は鬼に...続きを読む

Q食器棚ってつくりつけのってありますか?

現在、家のリフォームを考えています。
その際に食器棚もカウンターつきのレンジ等も使用できる大型の
食器棚への交換を考えています。

そこでお聞きしたいのですが、壁に固定するような食器棚ってあるのでしょうか?
パモウアも綾野も吊戸棚はともかく、下の台は壁に固定されていません。

キッチンメーカーの食器棚もカタログで見る限りはわかりませんので
ご教示いただければ幸いです。

Aベストアンサー

こんにちは。
水回りの仕事をしているおばさんです。

キッチンメーカーの食器棚は勿論「壁固定」です。
両面使用(キッチンとダイニングを仕切るタイプ)の物も、片壁に固定又は天井に固定します。

システムキッチンと同じ面材で揃いますので、素敵だと思いますよ。(*^_^*)
引き出しと棚の組み合わせも出来ますし、カウンターの部分も結構自由に組み合わせる事が出来ます。

家電収納のコンセントは、その部分の後ろ壁出しですので、図面を元に電気屋さんに通して貰う必要があります。

簡単な「棚やカウンター」などは工務店さんでも作って頂けますが、引き出しが沢山ある場合などはメーカーの食器棚の方をお勧めします。

一度お近くのショールームに行かれてはどうでしょうか?

Q円の内部の2点から円上の点を経由する最短経路の作図

円Cの内部に2点A,Bがあります。
AからC上の点を経由してBまで行くのに最小となる経路を考えます。
A,Bを焦点とする楕円が円に内部から接するときの接点Pを経由するときが最小となることは分かると思います。
このとき、図の接線XYについて、∠APX=∠BPYとなっています。
しかし、その点Pを定規とコンパスで作図したいのですが、その方法がどうしてもわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

 円の内部・外部が逆ですが、≪アルハーゼンの問題≫と同じものではないかと思われます。
 (いずれの問題も 円Cの中心Cと点Pを結ぶ直線CPが∠APBを二等分するという点で 本質的に同じだと思われます。)
 だとすれば、解析幾何学的に4次方程式に帰着するため、定規とコンパスだけで作図することは不可能です。
 (私も方程式を立てて見ましたが、やはり4次方程式になりました。)


 ≪アルハーゼンの問題≫については下記URL中程の「【3】アルハーゼンの問題」をお読みください。)
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/316_s.htm


 ちなみに≪アルハーゼンの問題≫用の特殊な作図器があるようです。
http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/museum/MathematicalInstruments/macchine/151ogg.htm

 これに少し手を加えて 2点を囲む円の中心に作図器の中心をセットできるように改良すれば 作図できるようになると思います。

QHMの食器棚と市販の食器棚

食器棚の選定中なのですが、HMのカタログ(日立製)をみると定価30万~40万円くらいです。大体6掛程度とのことでした。

ニトリなどで食器棚をみると大体10万円くらいです。

この価格差は品質、質感、材質その他がやはり違うんでしょうか?

皆さんはどこで食器棚を入手しましたか?(HM?ニトリ?地元家具店?)

あと120cm幅の食器棚はどのくらいの予算が一般的なんでしょうか?(ピンキリあるとは思いますが・・・)

Aベストアンサー

■もしかして、造り付けの食器戸棚(家建築の時に出てくるメーカーのものが多い)と据え置き型(家具屋さんでみかける食器戸棚)を比較しているのではないですか?

■壁に造り付ける棚や食器棚は、家具屋さんで売っている単独の食器戸棚とは「全く別の物」と考えてください。製造過程や構造が全く異なるのです。

■普通の家具は枠で強度を出していますので造りは簡単ですが、造り付けの家具は壁に部品を付けていくわけですから一つ一つの部品を頑丈にしなくてはならないのです。

■よく「据え置き型の家具をビスで壁に留めれば同じではないか」という発想の方がいますが、そうではありません。地震対策くらいにはなりますが、家具の固定性は不十分ですし、背板はあっても壁に固定するような梁はありません。

■予算を削るなら、壁には何も造作せず、据え置き家具を置くことです。でも、造り付け家具を「据え置き家具と同じ値段にせよ」というのはそもそも別の製品系統ですので比較するのは無理というものです。

Q空間版、直線Lとその上にない2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点P

ある平面があったとします。

直線Lの同じ側にある2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点Pを求めよ.

という問題があります。
答は簡単に求めることができます.

点Gを直線Lに関して対称移動させHとする.直線FHと直線Lの交点が最短距離となる折り返し点Pである.この最適な点Pには線分FPとGPがそれぞれLとなす角が等しいという性質がある.

次に3次元空間があったとします。

直線Lとその上にない2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点Pを求めよ.

平面の場合とは異なる考えがいると思いますが、
それはどのような点なのでしょうか?

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#2,#3です。
図を書いて頂けば分かります。
A#2の(B)の方法での例題をあげておきます。
座標系の取り方ですが、簡単にする為に直線Lをy軸にとります。
F,Gの座標をF(3,1,-1),G(1,5,3)としましょう。
F,Gから直線L(y軸)に下した垂線の足をそれぞれA,Bとすると
A(3,0,-1),B(1,0,3)
(→AF)=(3,0,-1)
これをy軸正方向に対してLのまわりに角度θだけ右回転させたベクトルを(→AH')とすると
(→AH')=(3cosθ+sinθ,0,cosθ-3sinθ)
これのベクトルが(→GB)=(-1,0,-3)と平行になるようにθを定めれば
点H'は点Fと直線Lを含む平面上に乗り、点Fと点H'は直線Lを挟んで互いに反対側に位置する。
(→GB)//(→AH')から
(3cosθ+sinθ)/(-1)=(cosθ-3sinθ)/(-3)=k(>0)
これらから
k=1, cosθ=-3/5, sinθ=4/5
したがって
(→AH')=(-9/5+4/5,0,-3/5-12/5)=(-1,0,-3)
H'=A(0,1,0)+(-1,0,-3)=(-1,1,-3)
(→GH')=(-2,-4,-6)
直線GH'と直線Lの交点P(X,Y,Z)とすると
直線GH'上にあることから(X,Y,Z)=(1,5,3)+t(-2,-4,-6)
直線L上にあることから (X,Y,Z)=(0,1,0)+s(0,4,0)
これらを解くと
s=t=1/2,P(X,Y,Z)=(0,3,0)
最短距離=|GH'|=√(4+16+36)=2√14
とでて来ます。

図を描きながら追ってみてください。
理解に役立つかと思います。

#2,#3です。
図を書いて頂けば分かります。
A#2の(B)の方法での例題をあげておきます。
座標系の取り方ですが、簡単にする為に直線Lをy軸にとります。
F,Gの座標をF(3,1,-1),G(1,5,3)としましょう。
F,Gから直線L(y軸)に下した垂線の足をそれぞれA,Bとすると
A(3,0,-1),B(1,0,3)
(→AF)=(3,0,-1)
これをy軸正方向に対してLのまわりに角度θだけ右回転させたベクトルを(→AH')とすると
(→AH')=(3cosθ+sinθ,0,cosθ-3sinθ)
これのベクトルが(→GB)=(-1,0,-3)と平行になるようにθを定めれば
点H'は点Fと直線L...続きを読む

Q食器棚の奥行で迷っています

新築マンションを購入し、インテリアフェアに行ってきました。
オーダーで食器棚の取り付けをお願いしようとしたら、最大で奥行45cmのものしかできないし、それが標準と言われました。
部屋の図面では、カウンターキッチン(シンクやガスレンジ)と食器棚を取り付ける壁までの間隔が約150cmあり、私としてはもう少し奥行ある食器棚の方が収納量も増えるし、料理の作業もしやすいのではないかと思い、悩み始めてしまいました。
(1)奥行45cmの食器棚・カウンターまでの間隔約105cm
(2)奥行50~55cmの食器棚・カウンターまでの間隔約100~95cm
それぞれ食器棚の奥行とカウンターまでの間隔での使い勝手を教えていただければと思います。
(1)であればカウンターと同じ仕様ができるし、入居前にできる、手間がかからないなどメリットは大きいのですが、大きな買い物ですので、それよりも使い勝手を考えたいと思います。

Aベストアンサー

 単純に間隔は90センチあればどうにかなるでしょう。

 ゆえに希望であれば2の方が良いでしょう。

 入居前から工務店などに図面を渡しておけば、引き渡しと同時に工事に入れます。2日もあれば終わるでしょう。しかもそのほうが安いでしょう。

Q数II、直線上の点・平面上の点の質問です。

数II、直線上の点・平面上の点の質問です。

次の直線上の点の座標を求めよ

(1)2点A(2,1)B(5,-2)から等距離にあるx軸上の点  [(1,2)]

(2)2点A(1,4)B(3,1)から等距離にある直線y=2x-1上の点  [(13/8,9/4)]

次の直線に関して、点Aと対称な点Bを求めよ

(1)x+y+z=0 A(3,2)  [(-3,-4)]

(2)3x+2y-6=0 A(3,1)  [(9/13,-7/13)]

この問題の解き方が分かりません。

[]内は解答です。

解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

前半
(1)
線分ABの垂直二等分線とx軸の交点が求める等距離点C
直線ABの傾きm=(-2-1)/(5-2)=-1
線分ABの中点M(7/2,-1/2)
垂直2等分線:y=1*(x-7/2)-(1/2) ← =0とおくと x=4
∴交点C(4,0)
(2)
考え方は(1)と同じ。線分ABの垂直2等分線と直線y=2x-1との交点が求める点D
直線ABの傾きm=(1-4)/(3-1)=-3/2
線分ABの中点M(2,5/2)
垂直2等分線:y=(2/3)(x-2)+5/2=(2/3)x+7/6
y=2x-1との交点を連立方程式を解いて求めると
求める点D(13/8,9/4)

後半は後でまた。


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