整数問題

3 以上 9999 以下の奇数 a で, a ²-a が、10000で割り切れるものをすべて求めよ .

質問者からの補足コメント

• 

  こんばんわ
  
  ご回答ありがとうございます
  
  返信が遅くなりまして申し訳ございません
  
  長考しておりました
  
  物議が出そうな答案ですが
  
  是非ともご評価、ご指導ください

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/21 18:24

• 

  お初です
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ございません
  
  長考しておりました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/21 18:26

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  考え方を教えてほしいです
  
  以下のように考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/21 18:51

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  考え方を教えてください。
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/21 18:53

• 

  説明不足でした
  
  >解法の中核だと思われる３行目から6行目にかけては、
  
  以下、補足です

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/22 08:41

• syotao先生、おはようございます。
  
  回答を暫く頂いていませんでしたので
  
  不出来な私は見捨てられたのかと思ってましたので、、
  
  Happy!
  
  流石先生です
  
  この問題を合同式で押し通す考え方に感服いたしました
  
  実は、整数問題は2年ぶりに復習です
  
  勘が戻らず苦労してます。
  
  もう春到来ですね
  
  先生もご自愛ください。
  
  from minamino

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/23 09:47

• 説明するために易化して補足したのです
  
  補足と本来の答案が比較出来るように説明したつもりですが

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/23 14:53

No.6 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/03/22 14:01

問題を合同式で表わすと、10000＝2⁴5⁴だから

a(a-1)≡0（mod.2⁴5⁴）となるような奇数aを指定の範囲でもとめよ、
という問題に帰着する。

条件よりa(a-1)≡0（mod.2⁴）
かつ　　a(a-1)≡0（mod.5⁴）
aとa-1は互いに素なので同じ素因数を両方ともが持つことはできないから
a(a-1)≡0（mod.2⁴）からaかa-1のどちらかが2⁴でわりきれる。
つまりa≡0かa-1≡0（mod.2⁴）しかしaは奇数だからa-1≡0（mod.2⁴）
同じ理由でa(a-1)≡0（mod.5⁴）からa≡0かa-1≡0（mod.5⁴）
結局、
a≡1（mod.2⁴）、a≡0（mod.5⁴）･･･①　か
a≡1（mod.2⁴）、a≡1（mod.5⁴）･･･②　のいずれかの連立合同式
がなりたつ。5⁴－39×2⁴＝1　に注意すれば
①からa≡625（mod.10000）10000＝2⁴5⁴
②からa≡1（mod.10000）が出るから
①からa＝625＋10000ｔ、②からa＝10000ｓ＋1　ｔ、ｓ整数
となるが条件の範囲を満たすのはa＝625だけである。
実際a＝625は問題の条件を満たすから、これが解である。

この回答へのお礼

先生はスゴイ

お礼日時：2023/03/27 00:55

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/26 05:47

3≦a≦999…(1)

aは奇数
a^2-aが10000で割り切れるとすると
a^2-a=10000nとなる整数nがある
↓a^2-a=a(a-1)だから
a(a-1)=10000n
↓10000=(2^4)(5^4)だから
a(a-1)=(2^4)(5^4)n
左辺は2^4の倍数だから
右辺a(a-1)も2^4の倍数
aとa-1は互いに素で
aは奇数だからaは2の倍数でないから
a-1は2^4の倍数…(2)

a(a-1)=(2^4)(5^4)n
左辺は5^4の倍数だから
右辺a(a-1)も5^4の倍数

a-1が5の倍数と仮定すると
aとa-1は互いに素だから
aは5の倍数でないから
a-1は5^4の倍数
↓これと(2)から
a-1は(2^4)(5^4)=10000の倍数だから
a-1=10000mとなる整数mがある
↓両辺に1を加えると
a=10000m+1
↓これを(1)に代入すると
3≦10000m+1≦999
↓各辺から1を引くと
2≦10000m≦998
↓各辺を10000で割ると
2/10000≦m≦998/10000
mは整数だから
1≦m≦0
となって0<1に矛盾するから
a-1は5の倍数でないから
aは5^4=625の倍数だから
a=625kとなる整数kがある…(3)
↓これを(1)に代入すると
3≦625k≦999
↓各辺を625で割ると
3/625≦k≦999/625
↓kは整数だから
k=1
↓これを(3)に代入すると
∴
a=625

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/03/27 00:51

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2023/03/23 16:55

いやいや、

あなたの質問全部がぼくにわかるわけではないということですよ。
あなたを見捨てたわけじゃない笑。
うん、お互い体に気をつけて頑張ろう！

この回答へのお礼

先生が解けないような問題はないと思うのですが、、、、

お体に気を付けてお過ごしください

お礼日時：2023/03/27 00:55

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/23 11:59

←No.5 補足

それでは No.3 補足とはやってることが変わっている
ような気がする。

とりあえず、1行目の式が前の写真の (注1) の式とは
別のものになってしまっている。

この回答へのお礼

いつもお世話になっております。

これからもよろしくお願いします。

お礼日時：2023/03/27 00:54

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/21 22:51

＞ 又 k は条件より[ 1,3,5,...,15 ]

その「条件」が問題のどの条件をどう処理したのかは、省略すべきでない。
a = 625k ≦ 9999 から k ≦ 15 が出たのだとは思うが、書かなければ判らない。

＞ k と l は互いに素であるが、 l = 1,2,... より
＞ 適する k は k = 1 となる。

この説明では、なぜ「適する k は k = 1 となる」のか
その理由が判らない。 書かれてないことは評価しようがない。

解法の中核だと思われる３行目から6行目にかけては、
何を言っているのか正直理解できない。 何を言っているの？

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/03/27 00:56

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/03/21 10:18

>625と9376です。

訂正。奇数のみか・・・

この回答へのお礼

有難うございました

お礼日時：2023/03/27 00:56

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/21 09:55

a = (5^4)n　(nは奇数),

a - 1 は (2^4) の倍数
となる所までは、No.1 のとおり。

最後の処理に修正が要る。
「n = 1 だけ」の理由を書かないと。
「16の倍数なので」だと、
勘違いしている可能性がある。

a -1 = (5^4)n - 1 = 625n - 1 = 16(39n) + (n - 1)
が 16 の倍数だから
n - 1 = 16k　(kは整数)
と置ける。よって
a = 625(16k+1) = 10000k + 625.

ここで a が「3 以上 9999 以下」という条件が効いて、
k = 0 に絞られる。 a = 625 (のみ).

この回答へのお礼

いつもありがとうございます

お礼日時：2023/03/27 00:57

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/03/21 09:47

取りあえず、総当たりで解いてみた。

625と9376です。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/03/27 00:57

No.1 回答者： よろしくです。。。。。 回答日時： 2023/03/21 05:00

！

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/03/27 00:57