代数学で出された問題の一部なんですが、はっきり言ってさっぱり分かりません。


{φ|φ:R→R}の部分集合Fを適当に選んで、f、g∈Fに対し、f・g(x)=f(g(x))と・を定義する。
ここに、Rは実数の集合を表す。

(1)<F,・>が位数2の有限群になるFを求めよ。
(2)<F,・>が位数4の有限群になるFを求めよ。


まず、問題にはいる前の説明のところから分かりません。

>f、g∈F

ということなので、f、gは1とか2などの具体的な要素かと思ったんですが、

>f・g(x)=f(g(x))と・を定義する

とあるので、fとgは要素ではなく関数ということなんでしょうか?

でもそれだとf、g∈Fの意味がイマイチ分からないし…。

どなたか分かる方教えてください。
よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (7件)

まず、


f:R→R
とか
g:R^2 → R
というのは分かりますでしょうか?

ここでは、f は、1変数関数で、g は2変数関数ですよね。

そのため、{f|f:R→R}とかけば、これは1変数関数の集合ですよね。

ここで、問題文の表記に戻ると、
 F というのは、1変数関数の集合
 f ∈ F というのは、f は1変数関数の集合の元(つまり1変数関数)
ということです。

というわけで、問題文を読み砕くと、

1変数関数 f, g に対して、(f・g) という結合を f・g(x) = f(g(x)) とする。
このとき、1変数関数の部分集合で、位数が2(又は4)になるものを求めよ。

という形だと思います。


まず、位数が2のものの例は簡単ですよね。
#2 さんも書かれているように、
  f(x) = x
  g(x) = -x
というように定義して、
  F = { f, g }
と考えれば、f と g は位数2の1変数関数の部分集合になります。

例を求めよと書いていないので、一般に求めるのであれば、
  f(x) = x
  g(x) = ┌ x ( x ∈ A )
      └ -x ( x ∈ ¬ A )
  ただし、A ⊂ R

となります。
位数4のものはちょっと難しいかも。
ちなみに、#2 さんのは間違っていて、F の要素は、群をなすためには、
どれも全単射である必要があります。
これは、群であれば逆像(逆関数)が存在する必要があるからです。

位数2の一般解にヒントが隠されていますので、考えてみてください。

長文になってしまい失礼しました。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

こんな長文の回答本当にありがとうございます。
問題も分かりやすいように噛み砕いて書き直してくださっていて、至れり尽せりですね。

ただ、ちょっと分からないんですが、

>g(x) = ┌ x ( x ∈ A )
>    └ -x ( x ∈ ¬ A )

の『¬ A 』とはなんなのでしょうか?
『-A』とは違うのでしょうか?

お礼日時:2005/04/20 23:42

No4 に書いた、解答に一部誤りがありました。



A≠Bと下から5行目ぐらいに書いてありますが、これは正しくは
 A∪{0} ≠ B∪{0}
の誤りでした。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

何度も回答&回答修正してくださってありがとうございました。
おかげさまで問題の意味すら理解していなかった私も、何とか解くことができました。

お礼日時:2005/04/23 16:21

>1. F={I,-I} ⇒ F:位数2になる



これでも、x = 0 のとき、 I と -I は同じになりますよね。

すでに、質問者自身も回答に達しているようですが、写像(関数)としては異なるものですので、特定の要素に対して他の写像(関数)と同じでも特に意味を持ちません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

何度も追加で回答してくださってありがとうございます。

お礼日時:2005/04/23 16:18

x ∈ ¬ A


というのは、xは、Aの補集合の要素という事です。

つまり、Aに含まれない x ってことですね。
=に対する≠のように、∈の否定記号があればよかったんですが、そういう文字はないようだったので、このような分かりにくい表記になってしまっていました。

ちなみに、このAというのは、No4 にも書きましたが左右対称(0をはさんで左右同じ数を含む)な集合なので、A=-Aではあります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

分かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/23 16:14

No.3 です。

書き込んだ一般解に A の条件が書き漏れていましたので、
補足させていただきます。

 f(x)  = x
 g_A(x) = ┌ -x ( x ∈ A )
      └ x ( x ∈ ¬ A )
 ただし、A ⊂ R, A≠Φ, A≠{0}
 また、任意の x ∈ A に対して、-x ∈ A となるもの。

このように定義した {f,g_A} = F が位数2の有限群になります。

お詫びついでに、位数4の有限群を書くと、以下のようになります。

 f(x)   = x
 g_A(x) = ┌ -x ( x ∈ A )
      └ x ( x ∈ ¬ A )
 g_B(x) = ┌ -x ( x ∈ B )
      └ x ( x ∈ ¬ B )
 g_AB(x)= g_A( g_B (x))

 ただし、A,B ⊂ R, A,B≠Φ, A,B≠{0}, A≠B
 また、任意の x ∈ A に対して、-x ∈ A
    任意の x ∈ B に対して、-x ∈ B
 となるもの。

このように定義したとき、{f, g_A, g_B, g_AB} は位数4の有限群になります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

No.3の回答のお礼のところで、

>『¬ A 』とはなんなのでしょうか?
>『-A』とは違うのでしょうか?

と書いたのですが、No.4の回答も読んで考えてみると、
『¬ A 』とは『Aのバー』という事なんでしょうか?
それだと納得いくような・・・

ただ、新たに疑問ができてしまいました。

> f(x)  = x
> g_A(x) = ┌ -x ( x ∈ A )
>      └ x ( x ∈ ¬ A )

とありますが、これだと x ∈ ¬ A のとき、f(x)とg_A(x)が同じものですよね。
これっていいんですか?

No.2の回答の

>1. F={I,-I} ⇒ F:位数2になる

だったら、Iと-Iは同じになることがないので、明らかに違うものですよね?

ん? というか、要素が関数なのだから、これでいいのか・・・

とんでもなく的外れな疑問だったらすいません。

お礼日時:2005/04/21 00:03

I:恒等写像とします


1. F={I,-I} ⇒ F:位数2になる
2. F={I,-I,I(+)∪(-I(-)),-I(+)∪(I(-))} ⇒ F:位数4になる
ここで-Iはマイナス1倍する写像
I(+)∪(-I(-))(x)={x>=0⇒x,x<0⇒-x}なる写像
-I(+)∪(I(-))(x)={x>=0⇒-x,x<0⇒x}なる写像

と思いますが、群になる(・について閉じてる、結合則、単位元の存在、逆元の存在を示す)ことについて確かめてみて下さい
    • good
    • 0
この回答へのお礼

集合Fの要素は『具体的な数字』と思い込んでいました。
文字というか、変数というか、そう言うものを使えばいいんですね。
ありがとうございました。

お礼が遅れてすいませんでした。

お礼日時:2005/04/20 23:36

まず、{φ|φ:R→R}を理解されてますでしょうか?



{}は集合を表す記号です。

R→Rは「実数の集合を実数の集合に写す」ことを意味します。

つまり、ある実数があったときにそれを別の実数に写すφというものの集合を定義したことになります。

たとえば、f(x)=x+3というのも、ある実数を3足した実数に変換するものです。

したがって、{φ|φ:R→R}は、
そういう関数(写像、変換)の集合を表しています。

「要素」と言うのは集合に属する1つのものを表します。

ですから、ここでは実数を実数に写す「関数の集合」を定義して、その部分集合Fの要素として、関数fと関数gを取り出した時の話をしています。

あとは、位数や有限群の定義から問題を解いてみて下さい。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

「回答があったらメールで知らせる」のチェックをし忘れていたみたいで、回答があったことに全然気が付きませんでした。
お礼が遅れてすいません。

やっぱり、f,gは関数だったですね。
丁寧な説明ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/20 23:32

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


おすすめ情報