p,q≠0
実数a,b,cが
b/p+qa=c/p+qb=a/p+qc
を満たすとき、a=b=cであることを証明せよ。

という問題なんですが、どういった証明の仕方をすればいいでしょうか?私は与式を=kとおいて証明しようと思ったのですが、なかなかうまくいきません・・。
回答よろしくお願いします。

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ppとは」に関するQ&A: emailの末尾のppとは?

A 回答 (12件中1~10件)

与えられた式 b/p+qa=c/p+qb=a/p+qc より


(1) b/p+qa=c/p+qb ↓
    b+pqa=c+pqb  ↓
    b-c=pq(b-a)
(2)同様に c-a=pq(c-b)
(3)同様に a-b=pq(a-c)
  p,q≠0であるから pqがどのような値であっても(1)(2)(3)が成立する条件は
   b-c=0かつb-a=0
   c-a=0かつc-b=0
   a-b=0かつa-c=0
である
従って a=b=c


(1)だけでもb=c、b=aとなりa=b=cとなりますから(2)(3)は蛇足ですが、念の為記入しました。
   
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No.10です



すみません、間違ってました。
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対称性に注目します。



与式は、a,b,cに関して対称なので、a,bを入れ替えても成り立つ。

したがって、与式の最左辺と中辺に関して、

b/p+qa=c/p+qb --(1) ←元の式

a/p+qb=c/p+qa --(2) ←a,bを入れ替えたもの

が成り立ち、(1)+(2)により、

a+b=2c

同様に、

b+c=2a
c+a=2b

よって、任意の2数の平均が残りの数に等しいので、

a=b=c
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b/p+qa=c/p+qbよりb-c=(b-a)pqよってpq=(b-c)/(b-a)


b/p+qa=a/p+qcよりb-a=(c-a)pqよってpq=(b-a)/(c-a)
(b-c)/(b-a)=(b-a)/(c-a)
b^2-2ab+a^2=bc-ab-c^2+ac
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
ここで両辺を2倍します。
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
故にa=b=c
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自分が証明するときのように表記します


また「pの二乗」となる場所は「pp」とさしていただきます(また三乗の時も同様です)
b/p+qa=c/p+qb=a/p+qc=k とする
この時
qa=k-b/p⇒b=p(k-qa)…(1)
qb=k-c/p⇒c=p(k-qb)…(2)
qc=k-a/p⇒a=p(k-qc)…(3)
となる
ここでまず(1)に(3)を代入する
b=p{k-pq(k-qc)}
となる。さらにそこに(2)を代入する
b=p[k-pq{k-pq(k-qb)}]
=p{k-pq(k-kpq+pqqb)}
=p(k-kpq+kppqq-ppqqqb)
=kp-kpq+kpppqq-pppqqqb

b+bpppqqq=kp-kpq+kpppqq
b(1+pppqqq)=kp-kpq+kpppqq…(4)
また(2)に(1)を代入しその後に(3)を代入して整理すると
c(1+pppqqq)=kp-kpq+kpppqq…(5)
さらに(3)に(2)を代入しその後に(1)を代入して整理すると
a(1+pppqqq)=kp-kpq+kpppqq…(6)
(4)(5)(6)の右辺が等しいので左辺は等しい。つまり
b(1+pppqqq)=c(1+pppqqq)=a(1+pppqqq)
ということになるので
(1+pppqqq)を消去すると
a=b=cとなる
よってa=b=cである(証明終わり)

という風にします
(5)、(6)の部分が信じられないときは(4)より上を参考にしてといてみてください。ちゃんと(5)(6)となりますよ。
二乗や三乗が表示できなくて醜くなってしまって残念でした。pとqとbを見間違えないでくださいね
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もう一箇所間違い行列式は1/p^3+q^3でした

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以下所間違いb-aはa-bでした



A=b-c,B=c-a,C=a-b(ここ間違いだった)
とすると
A/p+qC=0,B/p+qA=0,C/p+qB=0…(*)
となります
これからC,Bを消去すればA=0がでるので対称性によってB=C=0も分かります

行列を知っていれば(*)から
[1/p 0 q] [A]
[q 1/p 0] [B]=0
[0 q 1/p] [C]
から係数行列が正則(係数行列式が1/p^3)なのでA=B=C=0がすぐに分かる
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与式にpを掛けて分母を払い、pq=tとおくと


b+ta=c+tb=a+tc
これを変形して、
b-c=-t(a-b)
c-a=-t(b-c)
a-b=-t(c-a)
これを変形して
(a-b)(b-c)(c-a)(t^3+1)=0

あとはよろしく。
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A=b-c,B=c-a,C=b-a


とすると
A/p+qC=0,B/p+qA=0,C/p+qB=0…(*)
となります
これからC,Bを消去すればA=0がでるので対称性によってB=C=0も分かります

行列を知っていれば(*)から
[1/p 0 q] [A]
[q 1/p 0] [B]=0
[0 q 1/p] [C]
から係数行列が正則(係数行列式が1/p^3)なのでA=B=C=0がすぐに分かる
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b/p+qa-c/p+qb



=(b-c)/p + q(a-b)

がp,qによらず0になるためには、

b=c, a=b ではだめなのかな?
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