1/a = (r^2 + b^2 - 2rbcosA)^(-1/2) = 1/r + 1/rΣ{_n=1~∞}(b/r)^n *
Pn(cosA), r>b    

はじめの式が余弦定理から得たというのはわかるのですが、次の式がどうして導かれたのか分かりません。「これを使ったからこうなった」というヒントを頂けないでしょうか。よろしくお願い致します。

A 回答 (2件)

母関数を用いたルジャンドル関数の表式の応用になっています。


ルジャンドル関数にはいくつかの表現方法(多項式による直接表現、母関数、多項式の微分、微分方程式 etc.)
があるのでそれらの間の関係を調べてみるといいのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

nikorin様
ご回答ありがとうございました。詳しく教えて下さり、大変助かりました。

お礼日時:2001/09/13 14:47

球関数のLegendreの多項式のところを復習してください。

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この回答へのお礼

brogie様
ご回答ありがとうございました。早速、図書館にいって参考書を借りてきました。
大変助かりましたm(_)m

お礼日時:2001/09/13 14:41

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Q余弦定理と内積

余弦定理の一般的な公式は

a^2=b^2+c^2-2bc・cosθ

と表されますが、なぜピタゴラスの定理(直角三角形)に
-2bc・cosθ
を加える必要があるのでしょうか?

また、
bc・cosθ
だけみるとこれは

<内積>:|a||b|cosθ

とも見て取れる気がします。(あくまで僕個人の意見なんですが)
もしかして余弦定理と内積の公式というのは関係性があるんでしょうか?

そもそも内積の存在意義自体、僕は理解できていません。
僕は文系で物理のスカラーというものを知らないのでそういう人でも分かるような説明があるならば非常にありがたいです。

Aベストアンサー

△ABCにおいて、BC=AC-AB(矢印は省略。BC,AC,ABはベクトルを表すこ
ととする)であり、両辺どうしの内積をとると、
BC・BC=(AC-AB)・(AC-AB)=AC・AC-2AB・AC+AB・AB
これより、
|BC|^2=|AC|^2-2|AB||AC|cos∠BAC+|AB|^2
となります。
∠BAC=90°のときは、cos∠BAC=0なので、
|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2
となって、これはピタゴラスの定理ですね。

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

Qベクトルの内積

ベクトルの内積を勉強していて、ふと思ったのですが、

ベクトルの内積計算において、

3つのベクトルをかけることはできるのでしょうか?

ベクトルA,B,Cにおいて

A・B = |A|・|B|COSθ

となるのと同じように

A・B・C =?

これもどうにかして計算することはできるのでしょうか?

Aベストアンサー

できません。
ベクトルの内積を習っているのなら
内積はスカラー量、つまり方向のない量だということも習ったと思います。
つまり、ベクトルの内積を3つで作ってもそれは
「前になんか係数のついたベクトル」でしかありません。
ただし、
ベクトルには内積の他にもう一つ外積というのも存在しており、
これはベクトル量なので外積であれば3つかけることは可能です。
ちなみに、
内積は記号「・」で表しますが外積は普通に「×」の記号を使います。
さらに、
3つのベクトルA,B,Cにおいて
A×B・Cはベクトル三重積と呼ばれており、空間ベクトルにおいてA,B,Cからなる平行六面体の体積になります。
最後の4行は自信ないですが確かこんな感じだったと思います。

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Qベクトルの内積と面積

ベクトルの内積ってありますよね?
ベクトルの内積はその二つのベクトルの終点同士を
直線で結んでできた三角形の面積となるんでしょうか?
授業で聞いたようなそうでなかったようなうろ覚えで・・・
調べてみましたがθ=90°のときは内積が0で成り立ちませんでしたが、
θ=60°のときは成り立ちました。

Aベストアンサー

なりません。
三角形の面積はS=|a||b|sinθ
内積は(a,b)=|a||b|cosθ
ですよね?

θ=60°で成り立つというのも???です。
45°ならsinとcosが一致するので「たまたま」成り立つのでしょうが。

Qu=g(r)/r r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)のとき、uxx+uyy+uzz

u=g(r)/r r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)のとき、uxx+uyy+uzzをrの関数で表させる問題なんですが、まずux=∂g/∂r(1/r)-g(1/r^2)であってますか?ここから先どうすればいいのか分かりません。Uxxがでれば対象性から求められそうなきがしますが。gはC^(2)級とあったのですがこれはどういう意味ですか?

Aベストアンサー

#2のKENZOUです。
>uxx=(∂ur/∂r)rx・rx+ur・(∂rx/∂x)
右はいいのですが、(∂ur/∂r)rx・rxとなる理由が分かりません。

ux=(∂u/∂r)(∂r/∂x)=ur・rx
uxx=(∂ur/∂r)(∂r/∂x)・rx+・・
  =(∂ur/∂r)rx・rx+・・

Qベクトルの内積って何?

角A=90度 AB=5 AC=4 の三角形において次の内積をもとめよ。
というばあいベクトルBA・BC=絶対値のベクトルlBAl・lBClcosαという感じになりますよね。
けど、別の問題では、次のベクトルa,bの内積と、sのなす角θ(0度≦θ≦180度)を求めよ。
ベクトルa=(-1,1) b=(√3 - 1,√3 +1)
という問題では内積は、ベクトルa・b=2 となっています。 コサインはいらないのでしょうか・・・?
成分表示をされてるときはいらないのかな・・・とおもいました。
高3なのですが・・・。あまり深い知識はいらないのですが、この2つの何が違うのか?考え方を教えていただけたらと思います。お願いします。

Aベストアンサー

ベクトルBA・BC=lBAl・lBClcosα
のときの・は普通の(実数)の掛け算です。
これは省略してもかまいません。

→aと→bの内積は(→a)・(→b)
とあらわしこのときの・は内籍を意味します。

(→a)・(→b)=|→a||→b|cosα・・・・・・(*)
が内積の定義(約束)ですが、
内籍を表すときは必ず・(ドット)をつけます。

成分表示だからというのは関係ありません。

→a=(a1,b1),→b=(a2,b2)のとき
(→a)・(→b)=a1a2+b1b2
となるのは定義の(*)式から導かれるものです。

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3
を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

Aベストアンサー

  a[n] = s^n
  b[n] = r^n
より、
  a[n]*b[n] = (s*r)^n
  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
  s*r = 1/2
が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
  s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。

Qベクトルの内積の記号

2つのベクトルの内積の標記の仕方で,
成分での標記が教科書に載っていませんが,
(1,2)・(2,3)=2+6=8
というように成分表示された2つのベクトルの内積を
このようにかいてもいいのでしょうか?
1回だけ問題集で見たことがあります
よろしくお願いします

Aベストアンサー

ANo.4です。

えー?と思いました。
どう考えても、大丈夫ですよー(^^;)

まず、採点する大学の教員は文部科学省の指導や好みのことなんて知りませんし、もし仮に知っていても、採点のときにまでそれを考慮しないですよ。(問題を作るときには注意することが多いですが。)
普通に考えてちゃんと正しい書き方なら、採点のときに減点しません。ご質問のケースは、普通に考えてちゃんと正しい書き方です。

つまり、「・」(ドット)を使って、内積を表現する書き方は、普通に使われていますし、採点する教員もそれは知っているわけですから、大丈夫です。仮に高校で習っていなくてもです。

文部科学省の指導は、学習内容が難しくなりすぎることを抑えようという意味で、教える側や問題を作る側に対する制限であり、受験生にまでそれを強要し、違う書き方をしたら間違いにしてやろうという意図のものではないです。

また、そんなことはないと思うけど、もし仮に採点者の「流儀」に合わなくても、その理由で解答を間違いにしたら、それは一種の「採点ミス」になります。採点ミスがあれば、採点した人は後で言われると自分が困るから、そんなことはしません。答案はちゃんと数年保存されます。

採点者が有り得ないぐらいの余程のとんちきなら何が起きるかわかりませんが、それは正解でも×にされる心配と同じ話です。

別に反論したいわけではないのですが、採点者の心証を気にするなら、きちんと筋道立てて書いてあるかとか、必要な説明が省略されていないかとか、そちらの方が大事なのであり、普通に使われている書き方をしている限り、それについてまで心証の心配はしなくて良いですよ。(そんなにびくびくしなくてもよいということです。)


>      (2)
> (1,2)    =  とはなります。
>      (3)

この書き方は、1行2列の行列と、2行1列の行列の、行列の掛け算で、それはそれで成立っています。逆に、この書き方で「・」を打ったら減点されるかもしれません。普通は行列の掛け算には「・」を打たないので。

一方、(1,2)・(2,3) は、ベクトルA=(1,2)、ベクトルB=(2,3)と定義したときに、A・Bという内積の「・」を使った書き方に、そのまま(1,2)と(2,3)を代入しただけですから、上の書き方となんら矛盾するものではないです。(ベクトルA,Bにはちゃんと上に「→」をつける。大学では太文字にして書くこともあります。)

逆に横ベクトル二つ並べた(1,2)・(2,3)の書き方で「・」が無いと減点される可能性は結構有ります。両方横では、行列としては掛け算できませんし、「・」がないと、どういう演算かが明確ではないので。(内積とは別に「×」を書いて外積というものも存在しています。また全く異なるテンソルの意味にもなりえます。)大学の教科書などで省略されているものもありますが、初学者はきちんと書いたほうがよいです。

「・」を使わない場合には、((1,2),(2,3))の書き方でも内積になります。

なお、英語でも「内積」(inner product)のことを、dot product ということもあるし、外積を cross product と言うことがあるぐらいです。ちゃんと辞書(物理・数学専門の用語辞典)にも載っています。

ちょっとくどくなりましたので、もうこれ以上書きませんが、結論として、横ベクトル二つ並べて内積にするなら「・」を打たないと間違いになりますし、逆に「・」があれば、書き方について心配する理由はありません。他意はございませんので、どうぞあしからず。

ANo.4です。

えー?と思いました。
どう考えても、大丈夫ですよー(^^;)

まず、採点する大学の教員は文部科学省の指導や好みのことなんて知りませんし、もし仮に知っていても、採点のときにまでそれを考慮しないですよ。(問題を作るときには注意することが多いですが。)
普通に考えてちゃんと正しい書き方なら、採点のときに減点しません。ご質問のケースは、普通に考えてちゃんと正しい書き方です。

つまり、「・」(ドット)を使って、内積を表現する書き方は、普通に使われていますし、採点する教...続きを読む

Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む


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