∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角(2倍角)の公式を使わずに、という制限つきでした。
t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2)
dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x)
として、cos(x)で置換積分を試みましたが、
√(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか?
ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は
0→2π でした。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

不定積分の形で書きますが、最初から定積分としても同様です。



部分積分により
∫sin^2(x)dx = -sin(x) cos(x) + ∫cos^2(x)dx
= -sin(x) cos(x) + ∫(1 - sin^2(x))dx

ゆえに
2∫sin^2(x)dx = -sin(x) cos(x) + ∫1 dx
∫sin^2(x)dx = -sin(x) cos(x)/2 + x/2 + C

ここから0→2πの定積分を求めるのは容易です。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

参考になりました。ありがとうございました。
部分積分というものをすっかり忘れていました。

お礼日時:2005/04/21 07:55

以下、積分区間を省略して書くと、



∫sin^2(x)dx = ∫(1-cos^2(x))dx
=2π - ∫cos^2(x)dx 

sin^2(x), cos^2(x)のグラフはともに周期2πで、
位相をπ/2ずらすと同じ形になるので、

∫sin^2(x)dx =∫cos^2(x)dx

よって、2∫sin^2(x)dx = 2π となるから

∫sin^2(x)dx = π 
    • good
    • 0
この回答へのお礼

早々にお答えいただき、ありがとうございます。
∫sin^2(x)dx =∫cos^2(x)dx
という考え方が出ませんでした。
そういえばそうでしたね。

お礼日時:2005/04/21 07:57

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング

おすすめ情報