方程式x^2-2xy-3y^2+8y+k=0 のグラフが2本の直線を表すとき、2本の直線の式とkの値は?
という問題なのですが、
解説に、これが1次式の積に因数分解できるとき、
2直線を表すとかいてあったのですが、なぜでしょうか?教えてください、よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

もし、x^2-2xy-3y^2+8y+kが


 (1次式f)×(1次式g)
というふうに因数分解できたとします。
すると、
 (1次式f)×(1次式g)=0
ですから、
 (1次式f)=0、(1次式g)=0・・・(1)
となります。

「1次式=0」という式は直線の式ですから、(1)は2つの直線「(1次式f)=0」と「(1次式g)=0」を意味していることになり、つまりは、もとの式が2つの直線を表してることになります。
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x^2-2xy-3y^2+8y+k


=(x+y-2)(x-3y+2)
と因数分解できたとすると
x^2-2xy-3y^2+8y+k=0を満たす点(x,y)は
(x+y-2)(x-3y+2)=0も満たしますね。
つまり、点(x,y)は、2本の直線
x+y-2=0 と x-3y+2=0 .... (1)
のどちらかの一方、または、両方を満たす点でも
あるわけですね。
言い換えれば、点(x,y)は2本の直線上の点というわけです。どちらの直線上にあるかは分かりませんが、2本の直線のどちらの上の任意の点(x,y)でもありうるとき、点(x,y)は、(1)の2本の直線を表すというわけですね。

因数分解自体は、xの2次式と見なして、因数分解をすればいいですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
わかりました。

お礼日時:2005/04/22 20:12

一次式の積に分解されるということは次の形になるわけですね。


(ax + by + c)(sx + ty + u) = 0
これはつまり、
(1) ax + by + c = 0 または (2) sx + ty + y = 0
が成り立つということと同じです。(最初の式のかっこの中をそれぞれ A, B と置き換えたら、A×B=0 ですから、A = 0 または B = 0 ですよね。)
ここで改めて (1) (2) それぞれの式を見ると、どちらも直線の方程式ですよね。だから最初の式がこれら (1) と (2) で表される2本の直線を表していたわけです。
(ただし a = b = 0 の場合は (1) は不定になります。s = t = 0 の場合の (2) も不定。そもそも x と y の係数が両方とも 0 だったら、1次式じゃなくて0次式です。)
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