X=sin π t
y=2cos 2π t

これらをそれぞれ微分してグラフを書けという問題なのですが、「t」が含まれるから物理なのでしょうか?

それとX=sin π tの微分は「X'=cos π t」だと思うのですがどうでしょうか?
また、こちらの微分に大変悩んでいます。
y=2cos 2π tの微分は「y'=-4πsin 2π t」だと予想するのですがグラフを書く際に「-4π」では上限?が決められなくて書くことができないと思うので、この解答はありえないと思うのですが、ほかの解答が考え付かなくて困っています。
みなさんのお力をお貸し下さい。

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A 回答 (4件)

 


 
>> tで微分ですか? <<

 ですね。


  y = 2cos(2πt)
  ↓
  y'= -4πsin(2πt)

がせっかく大正解なのに、

  X = sin(πt)
  X' = cos(πt)

はもったいない!



>> グラフを書く際に「-4π」では上限?が決められなくて書くことができないと思う <<
 sin(t) とか sin(πt) とかは書けますよね、+1と-1の間を振動する絵ですよね。
そして、
2sin(t) は、2倍だから +2と-2の間を振動。
-1sin(t)なら、-1倍だから、sinが+1のとき全体は-1、sinが-1のとき全体は+1。つまり、マイナスが付くと波形の振幅(しんぷく)が上下反転です。(参考までに時間tにマイナスが付くと波形が時間方向に反転です。)

じつは一番心配なのですが、πは約 3.14 だと習ってますか?
 
 
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こんにちは。

回答作成中に他の方のよい回答が出てしまいましたが,せっかく書いたので(^^;

問題自体は数学の問題と思いますが,物理的な意味もちょっと入っているみたいですね。

微分の正解,不正解は,ここでは言わない方がよいでしょうか(^^;

ちなみに,式に出てくる"π"は変数ではなくて「円周率=3.14~」を表す記号ですので,「4πでは上限が決められない」ということはないですよね?
質問の感じから,もしかしてπを変数と思っていないかな,と感じましたので,念のため。

以下,半分余談ですが,tという名前の変数を使っている意味について。
例えば,
・x=sinπt
という関数のグラフを書くと,t=0でx=0,そこから上がって下がってt=1でまたx=0,今度は下がって上がってt=2でx=0,以降これの繰り返しになりますよね?(言葉で書くと変な感じですが)

このグラフは,物理的な現象でいうと,周期2・振幅1で単振動する点の様子を,横軸に時間・縦軸に変位量,という形で表現したものです(もしも単振動というのを習っていなかったらごめんなさい)。
つまり,このグラフの横軸には「時間(time)」という物理的な意味を持たせる事ができるため,tという名前の変数を使っているのだと思います。

言い方を変えて,
・x=sinπtであらわされる単振動の振幅と周期を答えよ
となれば,これは物理の問題です。
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このxとyはそれぞれ別の問題から出てきたのですか?


一つの問題でtが変化するときの軌跡(グラフではない)をxy平面に書け、という問題ではないのですか?(これは数IIIでよくあるパラメータを用いた問題ですが。)

また、sin πtをtで微分するとπ cos πtになりますよ。
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三角関数のグラフということであれば数学ですね。



波形の時間変化ということで、
具体的な物理現象を解析する目的であれば物理と言えなくもないですが、用いるのは数学の知識ですね。

微分は両方とも合っています。

y'=-4πsin 2π t

のグラフは、
sin関数が-1から1の値をとることから、

最大値4π、最小値4πのグラフになります。

書き方は、y = 4πsin 2π tのグラフを描いて、
上下を逆さにすればでき上がります。
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Q単振動のエネルギー保存則の導出について 運動方程式

単振動の運動方程式から、エネルギー保存則を導出する過程について分からない所があります。

 運動方程式:my''+ky=0 の両辺にy'をかけて変形する
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 d/dt (my'^2)/2 + d/dt (my'^2)/2 ・・・(1) (ここまでは、理解できます)

この後の操作が、参考書によって、(1)式を時刻t1からt2まで積分すると書いている場合と、時刻0からtまで積分すると書いている場合がありました。

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k = 1;
L = 1;

// 初期値
x0 = [L, 0]' ; // [ ]' は転置
t0 = 0;

// 連立微分方程式の係数行列
w = k/m;
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y = ode(x0, t0, t, df);

// yも行列なので、物体の位置は1行目の要素をとればよい
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以上がScilabでの考察なのですが、「初期値」とは何なのでしょうか??
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No.1です。「補足」を見ました。

ご質問は単に「一般式に初期条件を入れて、その条件下での変位、速度の式を作る」だけのことなので、一体何が分からないのか理解できません。

(1) 画像に書かれた初期条件の場合

一般式
 x(t)=Acosωt+Bsinωt
に t=0 を代入して
 x(0) = A = θ0
より
 x(t)=θ0*cosωt+Bsinωt
これを微分して
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + B*ω*cosωt
t=0 のとき
 v(0) = B*ω = v0
より
 B = v0/ω

よって
 x(t)=θ0*cosωt+(B/ω)*sinωt
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + v0*cosωt


(2) 質問文に書かれた初期条件の場合

一般式
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 x(t)=Acosωt+θ0*sinωt
これを微分して
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t=π/2ω のとき
 v(π/2ω ) = -A*ω*sin(π/2) + θ0*ω*cos(π/2) = -A*ω = v0
より
 A = -v0/ω

よって
 x(t) = -(v0/ω)*cosωt+θ0*sinωt
 v(t) = v0*sinωt + θ0*ω*cosωt


そもそも単振動の基本はきちんと勉強しましたか?

高校レベルならこちら。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tannhuriko.html

大学レベルならこちら。
https://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/SimplePendulum.pdf

これを学んだ上で、どこが分からないのか、何を知りたいのかを説明してください。

No.1です。「補足」を見ました。

ご質問は単に「一般式に初期条件を入れて、その条件下での変位、速度の式を作る」だけのことなので、一体何が分からないのか理解できません。

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Q運動方程式が立てられない(ばねの単振動)

添付した問図の問題で、運動方程式が立てられなくて困ってます!

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こんにちは。

まず、最初に申し上げますが、
その模範解答を書いた人は、阿呆だと思います。
なぜならば、l1が1つ決まればl2も1通りで決まるので、
運動方程式の中には、l1とl2の両方を書く必要がないからです。

また、
そもそも「自然長」をl1、l2 と指定しているのに、
伸び縮みしたバネの長さもl1、l2と書いているのも阿呆です。
(ですから下の回答では、大文字でL1、L2 と書くことにします。)


1.
まず、あまりよくない解き方を示します。

ばね1によるおもりへの力は、-k1(x-L1)
これは、簡単。

次に、
ばね2によるおもりへの力は、右から左に見て
-k2((全長-x-L2)=-k2(L2+L1-x-L2)
だけれども、これを左から右に見たときは符号が逆になるから
+k2(L2+L1-x-L2)

この考え方は、右方向がプラスだとする考え方をしないで計算してから、後から戻すということなので、
かなり変な考え方です。

よって、2つのばねによるおもりへの合計の力は
-k1・(x-L1)+k2(L2+L1-x-L2) ←ご質問文にある式
 = -k1・(x-L1)+k2(L1-x)
 = -k1・(x-L1)-k2(x-L1)
 = -(k1+k2)(x-L1)
結局、L2は消えて、L1だけ残りました。


2.
今度は、よい解き方です。
ばね1もばね2も自然長のときのおもりの位置をゼロとする座標をy(=x-L1)と置けば、
・ばね1によるおもりへの力は、-k1・y
・ばね2によるおもりへの力は、-k2・y

よって、2つのばねによるおもりへの力の合計は、
-k1・y - k2・y = -(k1+k2)y
 = -(k1+k2)(x-L1)


ちなみに、
m[xの二回微分]
は、
m・d^2 x/dt^2
と書けばよいですよ。


以上ご参考になりましたら幸いです。

こんにちは。

まず、最初に申し上げますが、
その模範解答を書いた人は、阿呆だと思います。
なぜならば、l1が1つ決まればl2も1通りで決まるので、
運動方程式の中には、l1とl2の両方を書く必要がないからです。

また、
そもそも「自然長」をl1、l2 と指定しているのに、
伸び縮みしたバネの長さもl1、l2と書いているのも阿呆です。
(ですから下の回答では、大文字でL1、L2 と書くことにします。)


1.
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中学の者ですが、なんとか独学でここまで理解しています。
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それを読みながら勉強しているのですが、
ある問で、
微分方程式m(d^2x/dt^2)=-kt
の解は
x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt)   (ただしω=√(k/m) )
の形で表わされることを示せ
というのがありました。
微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に
x=C*sin(ωt+D)   (CとDは定数)
としました。
ここからどうやって示すべき式に持っていくのでしょうか。
見当がつきません。
それから、速度をあらわす式vを時間tで表わし、
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aとωを用いて表せというのもありました。
これは与えられた
x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) 
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どなたか詳しく教えていただけませんか。お願いします。

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とりあえずよくつかわれる解法です。
与えられた式は
m(d^2x/dt^2)+kx=0・・・(1)
です。
ここで、x=exp(λt)…(※)とおいて(1)に代入すると
mλ^2+k=0・・・(2)
の関係が得られる。
これの根はλ+=+j√(k/m)=jω、λ-=-j√(k/m)=-jωです。(ω=√(k/m)とおきました)

これらから得られる解(λ+,λ-を(※)に代入)を線形結合して、
x=A*exp(jωt)+B*exp(-jωt)
です。
(No.4さんのリンク先の、2階の場合 を参考にしてください)


質問者さんのような解法でいくなら、
x=C*sin(ωt+D)
=C*sinωt*cosD+C*cosωt*sinD
=Asinωt+Bcosωt(C*cosDも、C*sinDも定数なので、A,Bに置き換えました)
これにNo.3さんリンクのオイラーの公式を当てはめてみてください。


速度はおっしゃるとおりの解法で兵器です。xを時間微分して、初期条件を代入すれば、係数が決まります。


問題の意味というのは難しいですが・・・ 質問の微分方程式は、単振動の微分方程式(調和振動)と呼ばれています。物理において基本的な微分方程式の1つであるため、これを解けるようにしておくことはとっても意味があります。(ニュートンの運動方程式はxの二階微分方程式ですよね!!)
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2問目は、初期条件によって、係数が定まることを教えたいのかと思います。(係数が定まるということは、ある初期条件のもとでの物体の運動(x)が一意に表現できる ということ。)

とりあえずよくつかわれる解法です。
与えられた式は
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です。
ここで、x=exp(λt)…(※)とおいて(1)に代入すると
mλ^2+k=0・・・(2)
の関係が得られる。
これの根はλ+=+j√(k/m)=jω、λ-=-j√(k/m)=-jωです。(ω=√(k/m)とおきました)

これらから得られる解(λ+,λ-を(※)に代入)を線形結合して、
x=A*exp(jωt)+B*exp(-jωt)
です。
(No.4さんのリンク先の、2階の場合 を参考にしてください)


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