整数問題 11 素数再びの再び ³ 超難題では？

素数 m,n を用いて mⁿ+nᵐ と表わせられる素数をすべて求めよ.

補足

初見、全く手が出ず、、、
こういう時は、先ずは実験

試行錯誤中です、

識者の方々のアプローチを教えていただけると幸いです

質問者からの補足コメント

• 

  先生お体は大丈夫ですか
  
  私も今日の朝退院しました
  
  
  回答読ませて頂きました
  
  ３の倍数に帰着させて素数だから 3 かっこいいですね
  
  私の答案は相当危ないです　　自信がありません
  
  
  先生に
  
  ご評価、ご指導いただけると幸いです
  
  from minamino

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/05 12:52

• 

  mtrajcp
  
  おはようございます。
  
  こんにちは。ですね
  
  散々な答案だと思うのですが
  
  ご教示いただけますと幸いです。

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/05 12:56

• 

  お初です
  
  宜しくお願い致します
  
  早速ですが、私の答案
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/05 13:01

• 

  syotao先生こんばんは
  
  今日も横になっているのが精一杯です
  
  >ｐの値も定めた上での話ですよ
  
  pの値を定めてから図を利用しました
  
  何卒宜しくお願い致します。
  
  from minamino

  
  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/06 13:27

• 

  先生、気遣って頂いて感謝いたします。
  
  慌てて書いた答案なので、読みずらいと思いますが
  
  何卒宜しくお願い致します

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 15:37

• 

  教授こんにちは。
  
  さっそくですが
  
  >y=m^2-2p_1-1,と,y=-2^mの交点1つ
  
  この、2p_1　アンダバーの表記の意味が掴めません
  
  教えてください
  
  何卒宜しくお願い致します

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 15:43

• 

  先生
  
  まだ起きていますか？
  
  早く見ていただければと頑張りました
  
  何卒宜しくお願い致します。

  
  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 20:28

• 

  何度とご指摘ありがとうございます。
  
  考え方を大幅に変更しました
  
  どうか
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 21:02

• 

  先生、遅くまで申し訳ございません
  
  大幅に考え方を勇気を出して変更して
  
  あらためて答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 21:06

• 

  先生、こんにちは。
  
  お待ちしておりました。
  
  早速ですが
  
  >う～ん、残念だけどｍ＞2　で　ｍ²＞2ᵐ　はあやまりです
  
  これは、合成数 4 を除き素数m だけで表記すれば,そうなるであろうとの意味合いです
  
  この後でゆっくり再度答案を作成しますが
  
  私の答案の
  
  「 m が 5 以上のとき、①<② なり不適」
  
  の発言は間違っているのでしょうか？
  
  m>0 において、①と②は2度交わっているのでしょうか？
  
  
  取り急ぎここまでです
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 15:31

No.4 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/03 18:58

mⁿ+nᵐは2より大きい素数だから奇数したがって

ｍ、ｎは一方が偶数で他方は奇数。
いまｎを偶数つまりｎ＝2とすれば
ｍ²＋2ᵐが素数でｍが奇数
さて、一般にｍ≡0、±1（mod.3）だから
かりにｍ≡±1　ならばｍ²≡1、また2≡-1（mod.3）より
2ᵐ≡(-1)ᵐ＝-1（mod.3）したがって
ｍ²＋2ᵐ≡1＋(-1)＝0（mod.3）つまりｍ²＋2ᵐは3の倍数であり
ｍ²＋2ᵐは3よりは大きいから素数になりえない。
したがってｍ≡0（mod.3）つまりｍは3の倍数でｍは素数だからｍ＝3
∴求める素数は3²＋2³＝17
ｍ＝2、ｎ奇数としても結果は同じです。

この回答へのお礼

先生、おはようございます

お元気ですか？

試行錯誤の連続でしたが

以下のように考えてみました

ご評価、ご指導ください

https://imgur.com/a/FisEiWm

お礼日時：2023/05/12 12:29

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/12 16:47

図の通り

この回答へのお礼

何度と教授には、何故 3 を法に取らないのか？と

ご指摘を受けましたが

何故 3 ？と言うのもありましたし、、、、

でも、 (3-1)ⁿ　に気付き、解決に至りました

参考書などでは、問題に関係なく 3 を法をとると有効

などと、いい加減なことを述べる著者もいますが、、、

私は、直感の数学ですので、そういうことがとても大事なのです

お礼日時：2023/05/13 14:04

No.16 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/12 15:55

No.4のお礼欄

まったくそのとおりです
二項定理で展開すればｍは奇数なのでそのとおりになります。
いいところに気付きましたね（^^）

この回答へのお礼

先生、お久しぶりです。

久々の先生からの、お褒めのお言葉

快感です

最近、天気も不安定です。ご自愛くださいませ。

お礼日時：2023/05/13 14:06

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/08 16:58

m^2<2^m　が　なぜ　不適のケースなのか証明してください

ここで不適のケースというのは

m^2+2^m が素数にならない　ケースの事をいうのであって

m^2<2^m　のケースをいうのではありません
問題をすりかえないでください

m=1,2(mod3)のとき
m^2+2^mは3の倍数となって素数とならない事
を証明する解答はすでに
回答している通り

mは奇数だから

2^m=2^(2k+1)=2(3+1)^k=2(mod3)

m=1,2(mod3)のとき

m^2=1(mod3)

だから

m^2+2^m=1+2=3=0(mod3)

だから

m^2+2^mは3の倍数となって素数とならない

No.14 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/08 16:13

あなたの引用先にぼくのPCでは何のグラフも表示されない。

ごめんね。

No.13 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/08 16:01

（m>0 において、①と②は2度交わっているのでしょうか？）

そうです。ｍ＝2、とｍ＝4で①②はまじわります。
そしてまじわるたびにグラフの上下が入れ替わります。
だからこれら2つのグラフのこのような特性だけから
「 m が 5 以上のとき、①<② なり不適」
とはいえません。

No.12 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/08 14:19

う～ん、残念だけどｍ＞2　で　ｍ²＞2ᵐ　はあやまりです。

ｍ²、2ᵐ　の大小関係は
0＜ｍ＜2でｍ²＜2ᵐ
ｍ＝2で　ｍ²＝2ᵐ
2＜ｍ＜4でｍ²＞2ᵐ
ｍ＝4で　ｍ²＝2ᵐ
ｍ＞4でｍ²＜2ᵐ　です。
これは対数関数の微分法で証明できます。
だからなぜｍ²＞2ᵐと限定しなければならないのかぼくにはわからない。

この回答へのお礼

グラフは
https://www.geogebra.org/graphing?lang=ja

で正しいでしょうか？
何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/08 15:58

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/07 21:47

補足2023/05/07 21:02について

m≧5　のとき　m^2<2^m となる事の証明が無いので間違い
m^2<2^m のとき　m^2+2^m が素数にならないことの証明が無いので間違い

m≧5　のとき　m^2<2^m となる事を証明してください
m^2<2^m のとき　m^2+2^m が素数にならないことを証明してください

m=1,2(mod3)のとき
m^2+2^mは3の倍数となって素数とならない事
を証明するほうが簡単なのになぜしないのですか

この回答へのお礼

補足回数が少ないのでこちらで

>m≧5　のとき　m^2<2^m となる事を証明してください

これは、明らかで許される範囲では？ないでしょうか


>m^2<2^m のとき　m^2+2^m が素数にならないことの証明が無いので間違い

不適のケース(m^2<2^m)について調べて意味があるのしょうか？


>m=1,2(mod3)のとき
m^2+2^mは3の倍数となって素数とならない事
を証明するほうが簡単なのになぜしないのですか


模範解答を見てみたいです

何卒宜しくお願い致します

from minamino

お礼日時：2023/05/07 22:19

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/07 17:26

補足20230505 12:56について

y=m^2-2p-1
y=-2^m
の交点
は
1つのpに対して
m>0の範囲で多くて1つであるけれども

p=1のとき,y=m^2-2*1-1,と,y=-2^mの交点1つ
p=2のとき,y=m^2-2*2-1,と,y=-2^mの交点1つ
p=3のとき,y=m^2-2*3-1,と,y=-2^mの交点1つ
p=4のとき,y=m^2-2*4-1,と,y=-2^mの交点1つ
p=5のとき,y=m^2-2*5-1,と,y=-2^mの交点1つ
p=6のとき,y=m^2-2*6-1,と,y=-2^mの交点1つ
p=7のとき,y=m^2-2*7-1,と,y=-2^mの交点1つ
p=8のとき,y=m^2-2*8-1,と,y=-2^mの交点1つ
p=9のとき,y=m^2-2*9-1,と,y=-2^mの交点1つ
…
と複数ある可能性を否定できないから間違いです

m=1,2(mod3)とならない事を証明してください

この回答へのお礼

>>m≧5　のとき　m^2<2^m となる事を証明してください

即座に数学的帰納法で証明は困難なことではありませんが

証明の必要性に疑問を感じます

では

minamino

お礼日時：2023/05/07 23:14

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/07 14:35

補足20230505 12:56について

y=m^2-2p-1
y=-2^m
の交点
は
1つのpに対して
m>0の範囲で多くて1つであるけれども

y=m^2-2p_1-1,と,y=-2^mの交点1つ
y=m^2-2p_2-1,と,y=-2^mの交点1つ
y=m^2-2p_3-1,と,y=-2^mの交点1つ
y=m^2-2p_4-1,と,y=-2^mの交点1つ
…
と複数ある可能性を否定できないから間違いです

m=1,2(mod3)とならない事を証明してください