半径b、質量Mの円盤を、重心から距離hの点に円盤に垂直な軸をつけて回転台に取り付けて振動させて周期と慣性モーメントを測定しました。hを重心から遠ざけていくと、周期と慣性モーメントが大きくなりました。イメージはわくのですが、なぜなのでしょう?
 説明できる方いましたら教えてください。あと円盤からどのように力が働いているのかも教えていただければうれしいです。 お願いします。

A 回答 (2件)

 


 
 訂正です。hの2乗が抜けてました。

  ω = √(gh/(b^2/2+h^2))
 
 
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 回転の運動方程式は
  T = I(d2θ/dt2)
ですよね。
トルクT = hMgsinθ≒hMgθ、Mgsinθは質点の振り子と同じ重力の復元力です。それに腕の長さを掛けたのがトルクですね。 式は質点の振り子と全く同じゆえ簡単に解けて、振動の周波数は
  ω= √(gh(M/I))
です。


 円盤の慣性モーメントは、
回転中心が重心(円の中心)のとき
  Io = (1/2)Mb^2
回転中心が h ずれると
  I = Io+Mh^2 スタイナーのセオリー
です。


よって
  ω = √(gh/(b^2/2+h))


(質問にあなたの考察や見解がないので ここから自分で。 その上での質問か、結果の考察(式は単調増加でないでしょ?)を補足に書いてください。丸投げ質問は消されることが多いので次からは自分の考えも少し書いてください。)
 
 
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この回答へのお礼

詳しく説明していただきありがとうございます。
考察してみます。

お礼日時:2005/04/23 23:53

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Q回転力と モータトルク と 慣性モーメント の違いがつかめません。

モータの場合
入力電力 = 機械出力  + 損失
入力電力W = 電圧V x 電流A
機械出力W=回転速度[rad/s]  x 回転力 [Nm]
モータ効率=出力/ 入力 x 100

と本に解説がありましたが、

回転力と モータトルク と 慣性モーメント の違いがつかめません。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

回転力というのは、あんまりきかない言葉ですが、おそらくトルクの日本語訳なんでしょう。というわけで、「回転力」=「モータトルク」です。

「トルク」がモータが物体を回転させようとする力の大きさを表すのに対して、
慣性モーメントは、(モータにつながっている)物体の「回転しにくさ」を表しています。
慣性モーメントが大きな(回転しにくい)物体を回転させるのは、強力な(出力トルクが大きい)モータが必要です。

「トルク」と「慣性モーメント」の関係は、
「力」と「質量」の関係と全く同じです。
重たい(質量が大きい)物体は、大きな力をかけないと動きません。
慣性モーメントが大きなものは、大きなトルクをかけないと回転しません。

Q円柱と円盤の慣性モーメント

ふたつの違いがわからないため質問させていただきます。

左の図で、直交軸の定理を利用すればMR^2/4になることはわかるのですが、

右の図もZ軸があるのですが、答えはMR^2/2です。

この二つの慣性モーメントは回る方向が違っているのでしょうか?
問題にはどういう方向で回るかは書いていませんでした。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

説明しようと思ったのだが、この掲示板は数式が書きづらいので・・Texで書いても人にはわからないので、良いサイトがあるので紹介します。
円盤の慣性モーメントその(1) ( http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node23.html )
円柱の慣性モーメント ( http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node29.html )
 端的に言うと、Mは質量だから

Q慣性モーメントについて教えてください!!

慣性モーメントについて教えてください!!
慣性力I1,質量m1の物体に回転軸から距離r1(重心位置)を加速度aで動かしたものと、
慣性力I2,質量m2の物体に回転軸から距離r2(重心位置)を加速度aで動かしたものでどちらが早く1回転するかが求められません。

F=ma,N=Ia式から求めれるのでしょうか。
また、回転軸にトルクT1がかかっている場合はどうなるのでしょうか。

分かりにくい質問で申し訳ないですが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

No1の回答者です。
>ということは、r1×m1×a-T1となるということですね。
えーと、T1で引いているように見えますが・・・

r1×m1×a、r2×m2×aをT1に置き換えるだけでいいです。
つまり
  I1×(dω1/dt)=r1×m1×a・・・(1、1)
  I2×(dω2/dt)=r2×m2×a・・・(1、2)

  I1×(dω1/dt)=T1・・・(1、1)
  I2×(dω2/dt)=T1・・・(1、2)
として計算すれば良いと思います。
トルクTは、力のモーメントNと同義です。
  N=r×F=T
ちなみに回転の運動方程式は
  I(dω/dt)=r×F=T
です。
以上です。参考になれば幸いです^^

Q円盤の慣性モーメントについて質問です

円盤の問題でわからなくて困っています
質量の限りなく小さな半径「r」の円盤があり、円板の外周に90度間隔で質量「m」の重りを4つ付加した場合の円板の慣性モーメント「I」の求め方を教えてください!

Aベストアンサー

 慣性モーメントは、ある回転軸を決めれば、そこからの距離rに質量mの重り(大きさは無視できるとする)があれば、mr^2(^2は2乗を表す記法で、エクセルでも使える)になります。

 重りがいくつもあれば、Σmr^2と表されます(Σは本当は上下に何をいくつ足すかを記して、全部の和を表す記号)。

 回転軸を固定するなら、それでよいのですが、お示しの問題はおそらく、自由に回転したときの慣性モーメントを求めるという問題です(そうでなければ、たとえばずっと遠くに固定した回転軸でも構わなくて、いろいろあり過ぎてしまう)。重りを●で表すと以下の感じですね。

  ●
●┼●
  ●

 これが固定されずに回るなら、この画面に対して水平に回るか(┼ →X→┼ のようになる)、上下の●は動かずに左右の●が画面に対して垂直に動き出すか(┼の縦の|は真っ直ぐ立ったまま横棒の―がくるくる回る)の2種類があります。それ以外の回し方をしようとしても安定せず、その二つのどちらかに落ち着きます。

 画面に対して水平に回るなら、質量mの●が中心からrの距離に4つですから、慣性モーメントIはmr^2が4つ、つまり4mr^2です。設問者が意図しているのは、おそらくこちらでしょう。

 しかし、上下の●二つが動かない(自転はする)場合も考えておいてもいいかと思います。もし設問者がそう意図していないとしても、そう考えていけない理由はないからです。その場合は、2個の●が中心からrの距離で回るわけですから、2mr^2です。

P.S.

 実はまだあります。斜めで回るのでもよいのです。

● ●
 *
● ●

 これで、*の縦棒を軸として回る場合です。これも自由に回転させた場合に可能な回り方です。

 この場合、●の*の縦棒から距離となります。それぞれが90度の角度でしたから、●は回転軸から(sin45°)×rだけ離れています。sin45°=1/√2を使って、4×m{(sin45°)×r}=4mr^2/√2=2√2×mr^2となります。

 これはP.S.としてお示ししたのはわけがあります。4mr^2>2√2×mr^2>2mr^2ですね。この先習うかもしれませんが、安定して回転するためには、慣性モーメントの値が最大か、最小になる必要があります。最初の二つは慣性モーメントの値が最大、最小になるものですので、そのように回せば、多少乱されてもあまり姿勢が変わらず、安定します。

 このP.S.で扱った回り方では、慣性モーメントの値が中間です。この回り方をしていて、少しでも乱されたら(例えば、空気中だと必ず乱される)、回り方がどんどん変化してしまいます。安定させるためには使えない回り方ということで、最初の二つに対して参考までにお示ししました。

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 重りがいくつもあれば、Σmr^2と表されます(Σは本当は上下に何をいくつ足すかを記して、全部の和を表す記号)。

 回転軸を固定するなら、それでよいのですが、お示しの問題はおそらく、自由に回転したときの慣性モーメントを求めるという問題です(そうでなければ、たとえばずっと遠くに固定した回転軸でも構わなくて、いろいろ...続きを読む

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q時間変化する円柱の慣性モーメント

お世話になります。

「円柱の慣性モーメント」
http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/circular_cylinder.html

ここのページを参考に、図①に関しての慣性モーメントを求めることはできましたが、

突如として、図②のようにθ軸まわりに回転を始めたとすると、
φ軸回りの慣性モーメントは時間とともに変化してしまいます。

円の半径を a 高さを l 質量をMとしたとき、
φ軸回りの慣性モーメントは
Ma^2/2 と ( a^2/4 + l^2/12)M の間の周期的な値になると思うのですが、

まず、図②自体の静止している状況におけるφ軸回りの慣性モーメントが分からないことと、

θ軸回りの回転によるφ軸回りの慣性モーメントの周期的な変化を、
一般的な関数として表現することは可能でしょうか?

Aベストアンサー

円柱と回転軸の相互関係が変わらない(このままφ軸まわりに回転する)なら、
円柱の三つの主軸に対する回転軸の方向余弦をl, m, nとして,
この円柱のφ軸まわりの慣性モーメントは

Iφ = I1 l^2 + I2 m^2 + I3 n^2

I1 = I2 = Ma^2/4 + Ml^2/12
I3 = Ma^2/2

で時間によらない。

一般に,慣性モーメントが時間で変わるのは面倒なので,
空間系で時間で変わるようなら主軸系で運動を記述する。

Q重心の慣性モーメント

質量がM、長さが2aの棒の慣性モーメントは重心がどこにあっても1/3Ma^2ですか?違ければこの場合の慣性モーメントの求め方を教えてください。

Aベストアンサー

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
I=∫ρr^2dr[r=0~2a]です。

"重心がどこにあっても"というのは、密度が一様でない
ことに相当しますけど、そのときはρ(r)が与えられる
はずです。そしたらI=∫ρr^2drで計算できます。
このrは、回転軸からどれだけ離れているか、をあらわすものです。回転軸から距離rのところの
微小質量ρ(r)drに、r^2をかけて、それをすべての領域
で加え合わせたものというイメージです。

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
I=∫ρr^2dr[r=0~...続きを読む

Q慣性モーメント

慣性モーメントの問題で困ってます。
質量M、長さLの棒があり、質量M/2の質点Aを一端に取り付け、ほかの一端にM/4の質点Bを取り付けた(合計7M/4)。質点Aから距離aにある棒状の点を通って棒に垂直な軸を考え、この軸を回転させるときの軸の周りの慣性モーメントは求めることができたのですが、慣性モーメントが最小になるためのaの値がわかりません。今までの力のモーメントから慣性モーメントに変わって困っています。どうかモーメントが最小になる条件も踏まえて教えていただけないでしょうか?ちなみに計算した慣性モーメントは{(7L^2-18La+21a^2)M/12}です。(たぶん合ってるはず・・・)

Aベストアンサー

たしかに,#1様ご回答のとおり,微分を使うほうが簡単だと思います.
ということで,別のとき方ですが,

計算したものが合っているとして,
I={(7L^2-18La+21a^2)M/12}
=[{(a-(9/21)L}^2 + 7/21L^2-(9L/21)^2] * 21 * M/12
= [{(a-(3/7)L}^2 + (22/147)L^2] * 21 * M/12

とaについての二次形式に変形できます.#1様すでにご回答のとおり,
a=(3/7)Lで最小値をとる,下に凸な二次曲線(放物線)です.
最小値は,(a-(3/7)L =0 のときの値ですので,
 Imin= (22/147)L^2 * 21 * M/12 = (11/42)ML^2

計算間違っているかも知れませんが,
いいたいのは,二次形式にしてカッコの中がゼロになる条件を見つけるということです.

検算にでもどうでしょうか.

それでは.

Q重心と慣性モーメントの矛盾を判定

重心と慣性モーメントを(x,y,z),(Ixx,Iyy,Izz,Ixy,Iyz,Izx)と与えたときに、重心とカンセイモーメントが矛盾していないかを判別する式があるのですが、それを教えてくれませんか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

重心を基点とするそれぞれのモーメントを合算して0になれば無矛盾


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