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量子力学の階段型ポテンシャルによる波束の反射において、波束の重心は古典的な粒子の反射と異なり、遅れて反射されるという問題で生じた疑問です。1次元で考えて、波束は k=k0 にピークをもつ関数 g(k) によって、g(k)exp{i(kx-ωt)} のすべての k に渡る積分の形で表しています。

この問題の中で、波束の重心の位置は指数関数の指数部の kx-ωt の k=k0 における微分係数を 0 としたときの x の値であるという説明がされていました。反射後の波束である、g(k)exp{i(kx-ωt+θ)} (θは波数 k の波に対する位相の変化)の積分に対しても同じ条件によって波束の重心の位置を求めていました。

なぜこのように位相の微分係数によって波束の重心の位置を求めることができるのでしょうか?ご教授願います。

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A 回答 (3件)

「物理的な意味付け」の定義がわからないのでどのように答えてよいかわからないのですが


I=|∫dk g(k)exp[i(k-k0)(x-(∂ω/∂k)t)]|^2=I(x-(∂ω/∂k)t)
は物理的に見て波束の強度です。つまり、実際、波束の運動がそうなるので計算でもその値を用いるのではないでしょうか?(おっしゃるように逆算です)

逆にf(x-vt)exp[i(k0x-ω(k0)t)]のようなf(x)で包絡するような波をフーリエ変換すると
∫f(ξ)exp[-i(k0-k)ξ]dξ × exp[-i(ω0+(k-k0)v)t]
となって
ω=ω0+(k-k0)v
となる分散が得られます(ここで、ω0=ω(k0))。なので、v=∂ω/∂k
というのはどうでしょうか?つまり波束として近似できる波はこのような線分散で良く近似できなければならないという意味です。
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この回答へのお礼

ただ逆算なのでしょうかという質問に対して、波束の近似条件まで説明してくださるとは・・・。丁寧なご説明ありがとうございます。

まだ後半部分の説明の式に対しては自分なりの理解と整理ができていないのですが、最後の結論が疑問の回答となるものだと思います。もう少し時間をかけて考えてみることにします。

お礼日時:2005/04/25 02:21

 波動関数の絶対値の2乗は、粒子の存在確率を与えます。

g(k)がk=k0で大きな値を持つのですから、k=k0でのdω/dkは、存在確率の大きな部分がこの速さで進んでいくことを意味します。つまり、古典的な意味の粒子の速度を表しています。実際、エネルギーと角速度の関係E=h'ω、運動量と波数ベクトルの関係p=h'kから(h'=h/2πとします)、dω/dk=dE/dp=p/m=vとなります。
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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。

お礼日時:2005/05/02 19:19

波束というぐらいで最初はなんか束の形しているのでしょう。

それが分散がある(波数によって位相の進むスピードが違っている)ために束があるスピードで動くように見えます。ということで

波の形(x,t)=∫dk g(k)exp[i(kx-ω(k)t)]
~exp[i(k0 x-ω(k0)t)]∫dk g(k)exp[i(k-k0)(x-(∂ω/∂k)t)]
※~はk0から1次のオーダーまでの近似。(∂ω/∂k)はk0での値



I=|∫dk g(k)exp[i(k-k0)(x-(∂ω/∂k)t)]|^2

がx-(∂ω/∂k)tの関数になっている(つまり、x-(∂ω/∂k)tの値が同じならxとtがどんな値でもIは同じになる)

ということは、束が崩れない範囲であれば、x-(∂ω/∂k)t=constで動いているように見えるので、初期値を原点とすればご質問のような計算になるかと思います。
ということです。
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます。

私も回答のなかのようにωを k0 の周りに展開して計算すると x-(∂ω/∂k)t = const で動いているように見える、ということはテキストなどにも書いてあったので知っておりました。少々説明不足でした。申し訳ありません。

そうなるとやはり位相の k0 での微分係数が 0 というのは、上での計算の結果からの逆算でしかないのでしょうか?確かに計算ではこのような結果になるのですが、物理的な意味付けは何かできるのでしょうか?

お礼日時:2005/04/24 20:46

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