数学(漸化式) 写真の一番上が問題です 答えは「2•3^n−2^n」 なのですが下部の四角で囲んだと

数学(漸化式)

写真の一番上が問題です

答えは「2•3^n−2^n」

なのですが下部の四角で囲んだところから先に進めません

元々の解法が違うのでしょうか？どなたか教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/11 22:30

a[n+1]/2ⁿ=3a[n]/2ⁿ+1

では置換できないので 2ⁿ⁺¹でわって
　a[n+1]/2ⁿ⁺¹=(3/2)a[n]/2ⁿ+1/2
を使う。

すると
　b[n+1]=(3/2)b[n]+1/2 , b[1]=a[1]/2=2
すると
　b[n+1]+1=(3/2)(b[n]+1)
→ (b[n+1]+1)/(b[n]+1)=3/2
→ (b[n]+1)/(b[1]+1)=(3/2)ⁿ⁻¹
→ b[n]+1=(2+1)・(3/2)ⁿ⁻¹
→ b[n]=3・(3/2)ⁿ⁻¹ - 1
→ a[n]={3・(3ⁿ⁻¹/2ⁿ⁻¹)・2ⁿ} - 2ⁿ=2・3ⁿ - 2ⁿ

この回答へのお礼

分かりやすい解説ありがとうございます！

お礼日時：2023/05/11 22:55

No.2 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/05/13 14:16

その四角で囲んだところが合っていれば、

あとは両辺を 2^n 倍するだけなんですが...
残念ながら、違いますね。

a(n)/2^n = b(n) と置いたのだから、　　　　←[1]
a(n+1) = 3 a(n) + 2^n の両辺を 2^n で割って
a(n+1)/2^n = 3 a(n)/2^n + 1,
2 b(n+1) = 3 b(n) + 1 です。　　　　　　　←[2]
特性根は 2x = 3x+1 の解 x = -1 になるので、
[2] を b(n+1) - (-1) = (3/2)(b(n) - (-1)) と変形しましょう。
b(n) + 1 が等比数列なので、
b(n) + 1 = (b(1) + 1)・(3/2)^(n-1)
　　　　= (a(1)/2^1 + 1)・(3/2)^(n-1)
　　　　= (4/2 + 1)・(2/3)(3/2)^n
　　　　= 2(3/2)^n
になります。 [1] を使って a(n) 式に戻すと
a(n) = b(n)・2^n
　　= (2(3/2)^n - 1)・2^n
　　= 2・3^n - 2^n
です。