線形代数についての問題です。 A = 1 -2 -2c+1 2 -1 -c+2 1 -c+2 2c

線形代数についての問題です。
A =
　　1　　-2　　-2c+1
　　2　　-1　　-c+2
　　1　　-c+2　2c
　　3　　0　　　0,

b =
　　2
　　2
　　1.

(2)c=1とする。このとき、Ax=Abを満たす3次元ベクトルx
のうち、ノルムが最小のものを求めよ。

A =
　1　　-2　　-1
　2　　-1　　1
　1　　1　　2
　3　　0　　3

Ax = Ab　⇔　A(x-b) = 0　⇔　x-b ∈ Ker A
より、c = 1 での Ker A を求めればよいらしいのですが、
写真のように解いてみたのですが、回答が違いました。
どこが間違っているのでしょうか。教えてほしいです。

質問者からの補足コメント

• 写真のように変形しました。

  
    補足日時：2023/05/20 20:16

• このように変形しました。

  
    補足日時：2023/05/20 21:51

No.7 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/21 00:37

x = (2,2,1) + u₁(1,1,-1)　{u₁は任意} と

x = (3,3,0) + u₂(-1,-1,1)　{u₂は任意} は、
u₂ = 1 - u₁ で移り合うだけの
Ax = b の同じ解でしょ。

で、その中で「ノルムが最小のもの」を求めるにはどうするの？
｜x｜² = (3 - u₂)² + (3 - u₂)² + (0 + u₂)² を最小にする u₂ を求めればいいでしょ。
二次関数の最小値は解る？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

｜x｜² = 3u₂²-12u₂+18=3(u₂-2)²+6から
u₂=2の時、最小。
その時のベクトルx=(1,2,2)になりました。

お礼日時：2023/05/21 11:06

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/21 00:24

問題は「Ax=Ab となる『ノルム最小の』x を求めろ」でしょ?

そこで終わりのはずがないじゃん.

この回答へのお礼

『ノルム最小の』この部分はどのように考慮すればいいですか？教えて下さい。ノルムは長さというのは分かります。

お礼日時：2023/05/21 00:30

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/20 23:16

u, v, w だと今度は後ろのベクトルにかかる u と衝突する.

ただ, 今の問題ではその x を求めてそれで終わり, ってわけじゃないんだ. その「変形」したあとの処理はやらないの?

この回答へのお礼

その後の処理とは何でしょうか。

お礼日時：2023/05/20 23:47

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/20 23:15

←補足(05/20 21:51)

No.2 も言ってるとおり、その「このように変形しました」の前の
一番最初の → の話をしてるんだけど、今回の補足では
問題の箇所がシレッと訂正されて、結果正解へと至っているね。
今回も、赤字の箇所は全然問題ではないんだけど。

この回答へのお礼

前回回答していただいた際の答えは、
x = (2,2,1) + u(1,1,-1), ただし u は任意の実数
となっていますが、私が解いた答えでも正解なのでしょうか。

お礼日時：2023/05/20 23:49

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/20 21:55

問題が「Ax=Abを満たす3次元ベクトルxのうち、ノルムが最小のものを求めよ。

」といっているのであれば, その成分として x を使うのはおかしくないかな?

そして, そのように変形してそのあとは?

この回答へのお礼

x,y,zをu,v,wにしてもだめでしょうか？

お礼日時：2023/05/20 21:57

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/20 21:34

#1 は

そこに至るまでに既に間違ってるんじゃね～の?
って指摘だと思うんだ.

「A を基本変形すると」のすぐあとの「⇒」の前後をチェックしてみてはいかがかと.

この回答へのお礼

その通りでした。

お礼日時：2023/05/20 21:51

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/20 19:20

基本変形の

　　1　　-2　　-1
　　0　　3　　3
　　0　　3　　3
　　0　　0　　6
が間違っていると思います。
どのような変形操作を行いましたか？

この回答へのお礼

前回の質問からありがとうございます。
補足にあるような過程で変形しました。

お礼日時：2023/05/20 20:18