整数問題 19 島根大学

本題

(1),(2)
左辺は
n³+1=(n+1)(n²-n+1)

に因数分解できる
でも、その先が難儀です
(3)
存在しないことを証明
背理法かな？

現在試行錯誤中です、

以下問題

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質問者からの補足コメント

• 

  本題
  素数の性質をそのまま使い、n²-n+1=1 とする考え方は避けて合同式で全て処理した
  
  そのためか、答案が長くなったのは気に食わない
  
  しかし、整数問題の多くが合同式で考えるのが有効であることも確認できた
  
  (3)
  私がハマっている自分で考えた合同式の技
  まず、等式でイジル前に、合同式で余りが一致している必要がある
  
  そこから、等式を攻めていく
  
  この前も、同じ手法が大変有効だった
  
  参考
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13470951.html
  
  また、rnakamraの(3)の考え方が模範であろう
  
  以下、私の答案
  
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    補足日時：2023/05/31 14:15

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/05/29 11:28

(3)だけ。

p^3=n^3+1>n^3 ∴p>n p-n>0でp,nは自然数だからp-n≧1

n^3+1=p^3
1=p^3-n^3=(p-n)(p^2-np+n^2)=(p-n){p(p-n)+n^2}≧1*(p+n^2)>p
となり、元の式を満たすp,nが存在しないことがわかる。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

模範解答デスネ

私の答案は、補足コメントしました

ご評価、ご指導ください

お礼日時：2023/05/31 14:17

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/29 11:03

(1)

n^3+1=p
(n+1)(n^2-n+1)=p
2≦n+1はpの約数だから
n+1=p
n^2-n+1=1
n^2-n=0
n(n-1)=0
n>0だから
n=1
p=n+1=2

(2)
n^3+1=p^2
(n+1)(n^2-n+1)=p^2
2≦n+1はp^2の約数だから
(n+1=p)または(n+1=p^2)
n+1=p^2と仮定すると
n^2-n+1=1
n^2-n=0
n(n-1)=0
n>0だから
n=1
p^2=n+1=2
p=√2となってpが整数である事に矛盾するから
n+1=p
n^2-n+1=p=n+1
n^2-n+1=n+1
n^2-2n=0
n(n-2)=0
n>0だから
n=2
p=n+1=3

(3)
n^3+1=p^3
(n+1)(n^2-n+1)=p^3
を満たす自然数nと素数pが存在すると仮定すると
2≦n+1はp^3の約数だから
(n+1=p).or.(n+1=p^2).or.(n+1=p^3)

n+1=p^3と仮定すると
n^2-n+1=1
n^2-n=0
n(n-1)=0
n>0だから
n=1
p^3=n+1=2
p=2^(1/3)となってpが整数である事に矛盾するから
n+1≠p^3

n+1=pと仮定すると
n^2-n+1=p^2=(n+1)^2=n^2+2n+1
n^2-n+1=n^2+2n+1
0=3n
0=nとなってnが自然数である事に矛盾するから

n+1=p^2
n^2-n+1=p
(n^2-n+1)^2=p^2=n+1
n(n-1)(n^2-n+2)+1=n+1
n(n-1)(n^2-n+2)=n
(n-1)(n^2-n+2)=1
n-1=1
n^2-n+2=1
n=2
1=n^2-n+2=2^2-2+2=4
となって矛盾するから
n^3+1=p^3
(n+1)(n^2-n+1)=p^3
を満たす自然数nと素数pは存在しない

この回答へのお礼

ご返信が遅くなりまして申し訳ございません

何か久しぶりですね

私の答案は、補足コメントしました

ご評価、ご指導ください

お礼日時：2023/05/31 14:18