等差数列{an}(n=1,2,3,・・)の初項から第n項までの和をSnとする。Snを大きい順に並べると第3項までがそれぞれ22,21,20となるとき、この数列の一般項{an}を求める({an}は無限数列)んですけど、どうすればいいのかわかりません。

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A 回答 (3件)

#2さんの考察の通りですが、最後の詰めが違うような気がして


私なりに式をできるだけ使わないで考えてみました。

d≧0のときは、anはいずれ正になる。
そこから先は足せばたすほど大きくなるから最大値なし

よってd<0

この場合初項は正でないといけない。
あるところまで(第k項)までは正で、その次から負で、
0になるところがあるとダメなことは#2さんが説明
しているとおり。

このときS_kが最大で22
S_(k-1)、S_(k+1)の順になるか
S_(K+1)、S_(K-1)の順になる。
akは引き算すれば求まるので

ak=2,次が-1(公差-3)
ak=1,次が-2(公差-3)
のどちらか。

後は計算するのが面倒なので順に並べてみたら
10,7,4,1,-2
が適するようです。
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公差dの等差数列a_n=a_1+(n-1)dについて


S_n=(n/2)(a_1+a_n)=(n/2){2a_1+(n-1)d}
=n{a_1+(n-1)d/2}=(d/2)n{n+(2a_1/d-1)}
縦軸S_n,横軸nとしてグラフを描くと,
d>0のときは下に凸の二次関数でnは1から無限大まで値をとるので最大値はなし.d=0のときは原点を通る直線になり最大値が22にはなりえない.残るはd<0のときに限定されます.このとき,二次関数S_nのグラフで考察するのは困難なので,別の視点で見てみます.a_nは等差数列でd<0ですから,a_1>0でないと和が22,21,20にはなりえません.
結局,限定された条件a_1>0,d<0として考えればいいことになります.
すると,a_nはnの増加に伴って正の値a_1から負の値の方向へ向かっていく事になりますが,a_n<0となるnからS_nは減少していきます.この様子は二次関数S_nのグラフと比較して見てみても分かりやすいかと思います.
あとは定石解法で結局大きい順に
初めてa_n<0となるnの値をp(p≧2)とすると(a_p=0のときは最大値が22,22の2つ存在するからa_p≠0)和の最大値はS_(p-1)=22で,残りは条件より
順に値が小さくなってゆくからS_p=21,S_(p+1)=20.
まとめると
a_p=a_1+(p-1)d<0 …(1),
S_(p-1)={(p-1)/2}{a_1+a_(p-1)}={(p-1)/2}(a_1+a_p-d)=22 …(2),
S_p=(p/2)(a_1+a_p)=21 …(3),
S_(p+1)={(p+1)/2}{a_1+a_(p+1)}={(p+1)/2}(a_1+a_p+d)=20 …(4)

(3)式を(2)式に代入して
{(p-1)/2}(42/p-d)=22⇔(42/p-d)=44/(p-1) …(2)'
(3)式を(4)式に代入して
{(p+1)/2}(42/p+d)=20⇔(42/p+d)=40/(p+1) …(4)'
(2)'+(4)'によってdを消去すると
84/p=44/(p-1)+40/(p+1)
21(p-1)(p+1)=11p(p+1)+10p(p-1)
これを解くとpが出てきます.自然数の解が出ればいいですが….
このpを(2)',(4)'のどちらかに入れてdが決まり(3)式でa_1も求まります.これらの値は(1)を満たすものを選べばきっとできるでしょう.
計算ミスもしているかもしれないので,自分で確かめて見て下さい.分からない所があったら補足下さい.
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>Snを大きい順に並べると第3項までがそれぞれ22,21,20となる



S1,S2,S3,S4・・・
を大きい順に並び替えると、最初の3項が
22,21,20
となっている

という意味ですか?
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