等差数列{an}(n=1,2,3,・・)の初項から第n項までの和をSnとする。Snを大きい順に並べると第3項までがそれぞれ22,21,20となるとき、この数列の一般項{an}を求める({an}は無限数列)んですけど、どうすればいいのかわかりません。

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n/a 意味」に関するQ&A: N/Aの意味

A 回答 (3件)

#2さんの考察の通りですが、最後の詰めが違うような気がして


私なりに式をできるだけ使わないで考えてみました。

d≧0のときは、anはいずれ正になる。
そこから先は足せばたすほど大きくなるから最大値なし

よってd<0

この場合初項は正でないといけない。
あるところまで(第k項)までは正で、その次から負で、
0になるところがあるとダメなことは#2さんが説明
しているとおり。

このときS_kが最大で22
S_(k-1)、S_(k+1)の順になるか
S_(K+1)、S_(K-1)の順になる。
akは引き算すれば求まるので

ak=2,次が-1(公差-3)
ak=1,次が-2(公差-3)
のどちらか。

後は計算するのが面倒なので順に並べてみたら
10,7,4,1,-2
が適するようです。
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公差dの等差数列a_n=a_1+(n-1)dについて


S_n=(n/2)(a_1+a_n)=(n/2){2a_1+(n-1)d}
=n{a_1+(n-1)d/2}=(d/2)n{n+(2a_1/d-1)}
縦軸S_n,横軸nとしてグラフを描くと,
d>0のときは下に凸の二次関数でnは1から無限大まで値をとるので最大値はなし.d=0のときは原点を通る直線になり最大値が22にはなりえない.残るはd<0のときに限定されます.このとき,二次関数S_nのグラフで考察するのは困難なので,別の視点で見てみます.a_nは等差数列でd<0ですから,a_1>0でないと和が22,21,20にはなりえません.
結局,限定された条件a_1>0,d<0として考えればいいことになります.
すると,a_nはnの増加に伴って正の値a_1から負の値の方向へ向かっていく事になりますが,a_n<0となるnからS_nは減少していきます.この様子は二次関数S_nのグラフと比較して見てみても分かりやすいかと思います.
あとは定石解法で結局大きい順に
初めてa_n<0となるnの値をp(p≧2)とすると(a_p=0のときは最大値が22,22の2つ存在するからa_p≠0)和の最大値はS_(p-1)=22で,残りは条件より
順に値が小さくなってゆくからS_p=21,S_(p+1)=20.
まとめると
a_p=a_1+(p-1)d<0 …(1),
S_(p-1)={(p-1)/2}{a_1+a_(p-1)}={(p-1)/2}(a_1+a_p-d)=22 …(2),
S_p=(p/2)(a_1+a_p)=21 …(3),
S_(p+1)={(p+1)/2}{a_1+a_(p+1)}={(p+1)/2}(a_1+a_p+d)=20 …(4)

(3)式を(2)式に代入して
{(p-1)/2}(42/p-d)=22⇔(42/p-d)=44/(p-1) …(2)'
(3)式を(4)式に代入して
{(p+1)/2}(42/p+d)=20⇔(42/p+d)=40/(p+1) …(4)'
(2)'+(4)'によってdを消去すると
84/p=44/(p-1)+40/(p+1)
21(p-1)(p+1)=11p(p+1)+10p(p-1)
これを解くとpが出てきます.自然数の解が出ればいいですが….
このpを(2)',(4)'のどちらかに入れてdが決まり(3)式でa_1も求まります.これらの値は(1)を満たすものを選べばきっとできるでしょう.
計算ミスもしているかもしれないので,自分で確かめて見て下さい.分からない所があったら補足下さい.
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>Snを大きい順に並べると第3項までがそれぞれ22,21,20となる



S1,S2,S3,S4・・・
を大きい順に並び替えると、最初の3項が
22,21,20
となっている

という意味ですか?
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Q数学の等差数列・等比数列について教えて頂きたいです。 (1)等差数列{an}の初項から第3項までの和

数学の等差数列・等比数列について教えて頂きたいです。

(1)等差数列{an}の初項から第3項までの和が45で、第6項から第10項までの和が195である。{an}の一般項を求めなさい。

(2)等比数列{an}の初項から第3項までの和が7で、第4項から第6項までの和が56である。{an}の一般項を求めなさい。(ただし公比は実数)

Aベストアンサー

初項をA、公差をBとすると
A+(A+B)+(A+2B)=45→3(A+B)=45
(A+5B)+(A+6B)+(A+7B)+(A+8B)+(A+9B)=195→5(A+7B)=195
よって
A+B=15
A+7B=39
より
A=11,B=4となるので
an=11+4(n-1)=7+4n

初項をA、公比をBとすると
A+AB+AB^2=7→A(1+B+B^2)=7
AB^3+AB^4+AB^5=56→AB^3(1+B+B^2)=56
よって
B^3=8より
B=2,A=1
よって
an=2^(n-1)

QA={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c

A={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c}}のとき、A∩Bは{Φ}なのかそれとも{a,b}などを含むのかどうかがわかりません。 わかる人がいらっしゃるなら教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

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ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
Aの元は、Φと{{a,b},{a,c}}}の2個。
Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
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Q公差または公比の集合が等差数列や等比数列になっている数列

こんにちは
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このような数列は何数列というのですか。
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でも検索しても、そんな名前は見つかりませんでした。
数年前までは高校生だったのに私の記憶も大したこと無いですね。

Aベストアンサー

zyousukeさん、こんばんは。
お返事、ありがとうございます。

>階差数列とは、ある一定の性質を持った数列という概念ではなく、ある数列に対して、その数列の公差の集合そのものを指していたのですね。

そうそう!そういった感じです。
ただ「公差」というのは、「等差数列で、隣り合う2つの項の差」をいいます。
公、というのは、等しい、というイメージがあります。
ですから、一般の数列のある項と、その一つ前の項の差は、「公差」とはいわないです。
(けっこう細かくてすみません。ちょっと違和感あったもので・・)
zyousukeさんのいわんとしているところは、分かりますよ!それでいいのです。

>例えば数列1,2,3,4,5,6の階差数列は1,1,1,1,1という具合でしょうか。

そうです、そうです。
もともとが、等差数列である、1,2,3,4,5・・・は
ある項と、その一つ前の項との差を取ってみると
(階差をとってみると)
1,1,1,1,1・・と等しい数字が並ぶはずですよね。

>「階差数列が、等差数列になっている、数列」は何数列というのですか。

そうですね・・・これに何という名前がついているかは聞いたことがありません。
もしかして、ネーミングされていたら私の勉強不足です、すみません。
あくまでも、階差数列が、等差数列になっているような(特徴を持った)数列、
という風にとらえていただければいいかと思います。

PS.階差数列の階とは、段階の階です。
ある項から、次の項にいく段階だと思ってください。
その差を考えてみたときに、zyousukeさんが知りたいような
等差数列の特徴を持っていたり、等比数列の特徴を持っていたりすることがある、ということなんですね。
階差数列が、そのような特徴を持つとき、もともとの数列をnを用いて表すことができます。
ですから、一見、何の特徴もない数列の一般項を考えよ、という問題が出たときは
階差数列を考えて見ると、大変有効である場合が多いです。

ご参考になればうれしいです。

zyousukeさん、こんばんは。
お返事、ありがとうございます。

>階差数列とは、ある一定の性質を持った数列という概念ではなく、ある数列に対して、その数列の公差の集合そのものを指していたのですね。

そうそう!そういった感じです。
ただ「公差」というのは、「等差数列で、隣り合う2つの項の差」をいいます。
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ですから、一般の数列のある項と、その一つ前の項の差は、「公差」とはいわないです。
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Q数列{an}の初項から第n項までの和を・・・

数列{an}の初項から第n項までの和をsnとするとき、関係式sn=2a[n]+nが成り立っている。このとき、次の問いに答えよ。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私が最初にかいた回答が, OKWave の判断で削除されました。
OKWave は、次のような回答を奨励しているようです。

(1)
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これより, a[n] = 2a[n-1] - 1

(2)
a[n+1] = 2a[n] - 1
これより, b[n] = 2b[n-1] = -2^n

(3)
公式より, a[n] = -2^n + 1

何かのお役に立てましたか?
何のお役にも立てず、本当に申し訳ありません。

Q等比数列であり等差数列でもある数列

私は文系なのですが、理系の友人が「等比数列でもあり、等差数列でもある数列がある」と言っていました。
わからなかったので答えを聞いたところ、答えを教えてくれましたがそれを聞いても私はどうも釈然としません。
実際にこういった数列は存在するのでしょうか?

(ちなみに友人から聞いた答えを書いてしまうと、その答えに対する議論になってしまいそうなので、後ほどどなたかの回答に対するお礼の欄で掲示するという形をとらせていただきたいと思います。申しわけありませんがご理解ください。)

Aベストアンサー

すべてのnに対して,a_n=1 というのは条件を満たすと思いますが,いかがでしょうか。
公比=1の等比数列であり,公差=0の等差数列にもなっていますよね。

「そんなの数列じゃないよ!」という考え方もあるでしょうが,たとえば等比数列の和を求める公式でも,公比が1の場合とそれ以外の場合とでわざわざ区別しているくらいですから,公比が1の等比数列や公差が0の等差数列も立派な数列の仲間でしょう。

と書きましたが,ポイントを外していたらどうしよう,という不安があります。
どういうレベルでの回答を求めておられるのでしょうか。
高校数学の範囲なのか,それとも大学レベル以上の専門的で突っ込んだ議論が必要なのか。
そのへんが分からないのです。

>ちなみに友人から聞いた答えを書いてしまうと、その答えに対する議論になってしまいそうなので、
とおっしゃっていますが,こういった曖昧な形で質問を投げかけると,かえってポイントのずれた回答を招く元になると思います。
それに,なんだか,回答者が試されているようです。「私がなぜ釈然としなかったか,当ててみなさい」と。
むしろ「どういう答えなのか」「それに対してどこが釈然としないのか」を明記していただけないでしょうか。

すべてのnに対して,a_n=1 というのは条件を満たすと思いますが,いかがでしょうか。
公比=1の等比数列であり,公差=0の等差数列にもなっていますよね。

「そんなの数列じゃないよ!」という考え方もあるでしょうが,たとえば等比数列の和を求める公式でも,公比が1の場合とそれ以外の場合とでわざわざ区別しているくらいですから,公比が1の等比数列や公差が0の等差数列も立派な数列の仲間でしょう。

と書きましたが,ポイントを外していたらどうしよう,という不安があります。
どういうレベルでの...続きを読む

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
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を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

Aベストアンサー

  a[n] = s^n
  b[n] = r^n
より、
  a[n]*b[n] = (s*r)^n
  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
  s*r = 1/2
が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
  s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。

Q等差数列と等比数列の問題です。

数学の問題です。
1.次の等差数列の和を求めなさい。 (1) 初項3, 末項-27, 項数16 (2) 初項-3, 末項19, 項数12
次の等比数列の和を求めなさい。 (3) 初項4, 公比3, 項数4 (4) 初 項-2, 公比1/2,

Aベストアンサー

等比数列の和は,初項と末項を足して項数を掛けて2で割ったものです.
(1)(3-27)*16/2=-24*8=-192
(2)(-3+19)*12/2=-16*6=-96

(3)4(3^4-1)/(3-1)
=2*(81-1)
=160

(4)-2{(1/2)^n-1}/{(1/2)-1}
=4{(1/2)^n-1}

Q数列{an}、{bn}の共通項から数列作成問題

よろしくお願いします。
an=8n-2
bn=6n+2
とする。

数列{an}と{bn}に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列{cn}
を作る時、cnの初項と公差を求めよ。

という問題で

anの第m項と、bnの第n項が等しくなるから、
8m-4=6n+2
⇔2(2m-1)=3n

これより2と3は互いに素だからn=2k
と表せられる。
よってbnのnに2kを代入して、
cn=b2k=6(2k)+2=12k+2
ゆえにcn=12n+2


と解きましたが間違っておりました。

解答では、
an=8n-2=8(n-2)+14
bn=6n+2=6(n-2)+14
と変形できる。am=bnとすると8(m-2)+14=6(n-2)+14
よって
4(m-2)=3(n-2), m≧2、 n≧2
4と3は互いに素だから、kを自然数として
m-2=3(k-1)
よってm=3k-1からcnはanの第3k-1項であり、
8(3k-1)-2=24k-10=14+(k-1)*24
したがって初項14、公差24である。

と解いてありました。

私の解答のどこがいけないのか、解答は一体何をやっているのか
を教えて下さい。
よろしくお願いします。

よろしくお願いします。
an=8n-2
bn=6n+2
とする。

数列{an}と{bn}に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列{cn}
を作る時、cnの初項と公差を求めよ。

という問題で

anの第m項と、bnの第n項が等しくなるから、
8m-4=6n+2
⇔2(2m-1)=3n

これより2と3は互いに素だからn=2k
と表せられる。
よってbnのnに2kを代入して、
cn=b2k=6(2k)+2=12k+2
ゆえにcn=12n+2


と解きましたが間違っておりました。

解答では、
an=8n-2=8(n-2)+14
bn=6n+2=6(n-2)+14
と変形できる。am=bnとすると8(m-2)+14=6(n-2)+1...続きを読む

Aベストアンサー

#1です。

>2と3は互いに素だからn=2k
>代入して2(2m-1)=3*2k
>⇔m=(3k+1)/2
>mは自然数だからk=2t-1(t=1,2,3…)
>よってn=2k=4t-2
>cn=b(4t-2)=6(4t-2)+2=24t-1

そうですね。
もう少し丁寧に言葉は補った方がよいですね。
逆にくどくなるかもしれませんが、記述式であれば以下のような感じで。
---------------------------------------------------
数列 {a(n)}の第 m項と、数列 {b(n)}の第 n項が等しくなるとすると、
8m- 4= 6n+ 2
2(2m- 1)= 3n ・・・(1式)

2と 3は互いに素だから、nは 2の倍数となり、
n= 2k(k= 1, 2, 3, ・・・)と表される。

(1式)に代入して、2(2m-1)= 3* 2kより m= (3k+1)/2
mは自然数であるから、kは奇数でなければならない。
これより、k= 2t- 1(t= 1, 2, 3, ・・・)と表される。


(1式)を満たす nは n= 2(2t- 1)(t= 1, 2, 3, ・・・)と表され、
数列 {c(n)}の一般項は
c(t)= b(2(2t-1))= 6*2(2t-1)+ 2= 24t- 10

と表される。

よって、数列 {c(n)}の初項は 14、公差は 24となる。

#1です。

>2と3は互いに素だからn=2k
>代入して2(2m-1)=3*2k
>⇔m=(3k+1)/2
>mは自然数だからk=2t-1(t=1,2,3…)
>よってn=2k=4t-2
>cn=b(4t-2)=6(4t-2)+2=24t-1

そうですね。
もう少し丁寧に言葉は補った方がよいですね。
逆にくどくなるかもしれませんが、記述式であれば以下のような感じで。
---------------------------------------------------
数列 {a(n)}の第 m項と、数列 {b(n)}の第 n項が等しくなるとすると、
8m- 4= 6n+ 2
2(2m- 1)= 3n ・・・(1式)

2と 3は互いに素だから、nは 2の倍数となり...続きを読む

Qc>0のとき、初項1+c、公比1+cの等比数列{an}と、初項1+c、公差cの等差数列{bn}につい

c>0のとき、初項1+c、公比1+cの等比数列{an}と、初項1+c、公差cの等差数列{bn}について、不等式an>bn(n=2.3....)が成り立つことを示しなさい
解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

an=(1+c)*(1+c)^(n-1)=(1+c)^(1+n-1)=(1+c)^n
bn=(1+c)+c*(n-1)=1+c+cn-c=1+cn
n≧2の時
an=(1+c)^n=1+cn+…+c^n>1+cn=bn

QAn={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)について…(続く)

【問題】An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)につい数列{An}は単調増加であることを示せ。すなわちAn<A(n+1)を示せ。またAn<3であることも示せ。
(※ただし,二項定理を利用せよ。)
よろしくお願いします。
二項定理にあてはめてみたのですが…そっからさっぱりです^^;

Aベストアンサー

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)>An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
 <1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
ここで、
1/n!=1/1*2*3*・・・*n<1/2^(n-1)
ですから、
An< 1 +1+1/2^(2-1)+1/2^(3-1)+・・・+1/2^(n-1)
= 1 +{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
= 1 +2{1-(1/2)^n}
= 3 -(1/2)^n
< 3
となります。
limをとってやれば、自然対数の底e<3であることが分かりますね。
また、A1=(1+1/1)^1=2であることから2<eでもあります。
e<3を示す時に、もう少し精度を増してe<2.75にすることもできます。

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)>An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
 <1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
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