Σa=sa                 k=1からsまでで   
この問題でなぜsaとなるのですか?kはどこに行ってしまったのですか?kとsとaは変数ですか?それとも定数ですか?これはどういう意味をしめしているのですか?だれか教えて下さい。       
    
                          Σ10=100                k=1から10までで、 この問題もなぜこうなるのか
わからないので教えてください。

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A 回答 (6件)

ご質問は、次の意味だと思います。


-------------------------------
Σ[k=1 to s] a という式が書いてある。
※[k=1 to s]は、Σの下にk=1、Σの上にs の意味。
これを計算すると、s a になる。計算には、kを使わない。では、kは何のために書いてあるのか?
-------------------------------

まず、基本から説明します。4枚のカードがあるとします。カードに1番、2番、3番、4番と番号をつけます。それぞれのカードには、数が書いてあります。書いてある数は次の通りです。
1番→15 2番→8 3番→21 4番→6

カードの番号を表わすのに、kという文字を使うことにします。たとえば、k=2だったら、kは2番のカードを表わします。

カードに書いてある数字を表わすのに、A(k) という記号を使うことにします。
※実際は、カッコに入れないで、Aの右下にkを書くのが普通です。

すると、4枚のカードは次のように表わされます。
A(1)=15, A(2)=8, A(3)=21, A(4)=6

--------------

さて、ここで、4枚のカードに書いてある数を合計します。
15 + 8 + 21 + 6 = 50

もちろん、この式で正しいです。しかし、この式は不便です。カードは実際は100枚かもしれないし、1億枚かもしれません。書いてある数字もいろいろ変わります。そんなときでも使える和の記号が発明されました。それがΣ(シグマ)です。

4枚のカードの数を合計するのは、

Σ[k=1 to 4] A(k) = 50

こう書きます。Σの下にk=1と書くのは、「カードの番号をkで表わす。カードの番号は1番から始まる」という意味です。Σの上に4と書くのは、「カードの番号の最後は4番」という意味です。A(k)は、k番のカードに書いてある数を表わします。これなら、1億枚になっても

Σ[k=1 to 100000000] A(k)

と書けばいいし、カードの枚数がわからなくて、枚数を s 枚とするときは

Σ[k=1 to s] A(k)

と書けばよいのです。

----------------------

カードの番号を表わす文字は、kでなくてもかまいません。たとえば、tを使うと
Σ[t=1 to s] A(k)

このkとかtは、カードの番号を表わすのに一時的に使う変数です。合計ができたら、役目は終了です。合計の結果にkやtは含まれません。もし、合計にkやtが現れたら、計算間違いです。

------------------------

次の式を考えます。
Σ[k=1 to 4] (k + 3)

これは、1番のカードには4, 2番のカードには5,というように番号に3を足した数を書いてあるという意味です。答は 4+5+6+7=22となります。
----------------------

ご質問の、
Σ[k=1 to s] a
この式は、1番からs番までのカードがあって、全部のカードに同じ数 a が書いてある。その合計を求めよ、という意味です。

1番からs番までだから、カードはs枚あります。書いてある数は全部aだから、合計は s a です。
計算にkは使わないのですが、それはたまたま全部のカードが同じ数だからです。
--------------------------
k, s, a が変数か、という話ですが、すべて変数です。しかし、kは変数といっても、他の変数とは意味が異なります。s と a は、別のところで定義されるはずの変数です。たとえば、s=24, a=75になりました、合計を求めてください、という具合です。

kは違います。kは、合計するときだけに現れます。最初はk=1, 次にk=2と変化していきます。合計が終わったら、kは役目を終えて、消えてしまいます。「kさんを呼んできて、番号を数える係をさせる」という感じです。

この回答への補足

問題集でΣ(k+1)(k+2)  k=0からn+1という問題がありました。この場合0番からn-1番までの和ということになるのですか?0番は存在しないよな気がするんですけど、自然数でもないし、この場合どうなんでしょうか?

補足日時:2005/04/25 12:12
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この回答へのお礼

有難うございました

お礼日時:2005/06/09 17:16

No.3補足への回答です。



Σ[k=0 to n+1](k + 1)(k + 2)

これは、
k=0のとき (0 + 1)(0 + 2)
k=1のとき (1 + 1)(1 + 2)
k=2のとき (2 + 1)(2 + 2)
・・・・
k=n+1のとき (n + 1 + 1)(n + 1 + 2)

これ全部の和です。
---------------------
別の例で、たとえば、

Σ[k=-8 to -3](k + 1)(k + 2)

このように書いたら、
(-8 + 1)(-8 + 2)
(-7 + 1)(-7 + 2)
・・・
(-3 + 1)(-3 + 2)
の総和です。

つまり、kがどこからどこまでかがはっきりしていればよく、k=1から始まっている必要はないわけです。
----------------------
別の例です。

Σ[k=0 to 10] 10

この答えは110 です。0番から10番までで、10が11個あるからです。

Σ[k=-4 to 9] 10

この答えは140 です。-4番から9番までで、10が14個あるからです。
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この回答へのお礼

有難うございました

お礼日時:2005/06/09 17:13

No.3です。


真ん中あたりの、下記の部分を訂正します。

カードの番号を表わす文字は、kでなくてもかまいません。たとえば、tを使うと
Σ[t=1 to s] A(k) → Σ[t=1 to s] A(t) 
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この回答へのお礼

有難うございました

お礼日時:2005/06/09 17:14

Σ[k=1,s] a


でkはどこに行ってしまったの?ですが、こう考えてみてはどうでしょう。

Σ[k=1,s] a+k*0
=Σ[k=1,s] a

ですから、

a+0+a+0+a+0+a+0+a+0+a+0+a+0+...a+0
=a+a+a+a+a+a+a+...+a
   ↓
  aがs個
=sa

となると考えれば簡単だと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/25 11:48

まず、Σ10=100(k=1から10)


意味は
10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 (10個)
ですから、答えは100です。(簡単ですね)

同様に
Σa=sa(k=1からsまで)
a+a+a+...+a+a+a(s個)
よって答えは sa です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2005/04/25 11:49

基本的に、Σは数列の和を表すものです。


従って、Σの下にk=1、上に10とあった場合は、数列の第1項から第10項までの和を表すことになります。

次に、Σa_k(_kは下に小さく書かれた「k」という意味/Σの上下は省略)と書かれていた場合、足し算している数列はa_kであることを表しています。kは数列の一般項の変数としての意味があるのです。
(数列の一般校は「a_n=・・・」とnの式で書かれますが、この n は与えられた数というイメージが強いので、この場合にはあまり使われません。)
その意味で、k は変数といえるでしょう。また、s は与えられた数、a は本来は数式の一般項を意味します。ただし、今回の場合は定数です。(その辺は、その式が出てくる前の文章をお読みください。)

さて、問題の式Σaですが、これは、どの項も定数 a である数列を意味しています。したがって、その数列の項を第1項からを第 s 項まで足すと、単純に sa となるのは分かりますでしょうか。

これを、Σ_{k=1}^{10} 10 = 100 (Σ_{k=1}^{10}は、Σの下に「k=1」、上に「10」と書いてあるという意味)で考えれば、どの項も10である数列の第1項から第10項までを足した和という意味ですので、上のΣ_{k=1}^{s} a = sa と同様の理由でこのような計算になるわけです。

Σは数列の足し算をしていると思えば、とりあえずは問題はないでしょう。

この回答への補足

「Σの下にk=1、上に10とあった場合は、数列の第1項から第10項までの和を表すことになります。」
とありますが、問題集でΣ(k+1)(k+2)  k=0からn+1という問題がありました。この場合数列の第0項から第n-1項までの和ということになるのですか?第0項は存在しないよな気がするんですけど、この場合どうなんでしょうか?

補足日時:2005/04/25 11:50
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この回答へのお礼

有難うございました

お礼日時:2005/06/09 17:16

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カオスな歌詞、カオスな歌、カオスな曲・・・

カオスって何ですかー?

(´・д・`;)

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どちらかといえば混沌という意味で使われます。
なんか凄いのはわかるけど理解できない
凄く面白いけど常人には作りあげることのできない境地
などの意味です。

カオスな歌詞は…「秀逸だけど確実に作詞者は病人」じゃないでしょうか。
カオスな曲はメドレー系などで複数の曲が同時に演奏されハーモニーが凄いんだけど何が起きてるのかよくわからない、という時に使う気がします。

Qan=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√

an=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√(2k+1))のとき、
lim[n->∞](bn/an)を求めよ。


次のように考えましたが、行き詰まりました。
  1/√2Σ[k=1->n](1/n)*[1/√{(k+1)/n}]÷ Σ[k=1->n](1/n)*{1/√(k/n)} <(bn/an)<1/√2
左辺の式で、区分求積法から、lim[n->∞]としたとき、分母は2となったのですか。
分子に区分求積法が使える形でないと判断し、行き詰まりました。
1つはこの流れの解法でいいのか。もし、よかったら、このあとの処理はどうなるのか。
よろしくお願いします。

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定積分を利用する方法があります。

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bnを、定積分∫[1,n+1]dx/(2x+1), ∫[0,n]dx/(2x+1) で押さえ、

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Qカオスの言葉の意味は?

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[問]Σ[n=0..∞]a_kとΣ[n=0..∞]b_kを共に正項級数とする。
lim[n→∞](a_n/b_n)=0且つΣ[n=0..∞]b_kが収束ならばΣ[n=0..∞]a_kも収束。

を証明したいのですがどうすれば分かりません。

Σ[n=0..∞]a_kが正項級数とlim[n→∞]lim(a_n/b_n)=0より
a_n≦0

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こんばんは。問題に対する質問者さんの考え方は基本的の事柄を理解していないように感じます。解答のアウトラインを説明しますので細部はご自分で解析学の教科書を開いて勉強してください。

lim[n→∞](a_n/b_n)=0 より、ある実数 K>0 が存在して

a_n/b_n < K (for all n>0) …(1)

よって、a_n < Kb_n (for all n>0)

Σ[n=0..∞]b_n が収束するから

Σ[n=0..∞]a_n < Σ[n=0..∞]Kb_n = KΣ[n=0..∞]b_n < ∞ …(2)

したがって、Σ[n=0..∞]a_n は収束する。

以上が解答です。この解答に使われている重要な事柄は

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以上が解答です。この解答に使われている...続きを読む

Q言葉の意味

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今晩です。
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但し,s(n)はこの級数のn項迄の部分和を表す。

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Σ[k=n+1..∞](-1)^(k+1)/k^2

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Qカオスって…?

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「テラカオス」って何のネタなんですか?

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意味を考える時は「テラ」と「カオス」で区切ってくださいね。

テラは単位です。
HDD容量等で使われてるのを見たことないですか?
100MB、100GB、1TB、とか。(右に行くほど大きい)

って事で、テラってのは、凄く大きい感じを表してます。

なので、物凄くカオス、って意味だと思ってください。

カオスも考えるなら、物凄くぐちゃぐちゃになってる、って感じでしょうかね。
もう、収集が付かなくなっててどうしようも無い感じだと思えば良いです。

QParsevalの等式と指示された関数を使ってΣ[k=1..∞]1/(2k-1)^2とΣ[k=1..∞]1/k^2の和を求めよ

[問] (1) 直交系{sin(nx)}は[0,π]で完全とする。Parsevalの不等式は
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxとなる。但し
,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx
(2) Parsevalの等式と指示された関数を使って次の級数の和を求めよ。
(i) Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2,f(x)=1
(ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=x


で(2)の求め方が分かりません。
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2

となったのですがこれからどうすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

偶関数だからというより、nが偶数のとき
 b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx
は n/2周期にわたる積分になるので0です。

Qカオス

具体的に「カオス」ってどういう意味ですか?
(「彼の頭はカオス」を分かりやすく言うとどういう意味ですか?)

Aベストアンサー

カオスって、混沌とした状態を指す言葉ですよね。
彼の頭がカオスというのは、頭の中が混乱していて無秩序な感じ、
もっといえば頭の中がめちゃくちゃで、まともに物を考えられない
様子のことを言っているのだと思います。

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。


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