因数分解で・・・

(1) (a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3

(2) (1)の結果を利用して、次の式を因数分解せよ。
　　　　　　a^3+b^3+c^3-3abc

という問題です。
(1)の結果を利用して、
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc　と変換したのですが、その先の答えにたどり着けません。ヒントでも良いので解き方を教えていただけると助かります。

答えは、(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)です。
どうぞよろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： bluespace 回答日時： 2005/04/24 19:41

a3+b3+c3-3abc

= (a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc ← (a+b)3-3ab(a+b)=a3+b3

　a+b=x と置く。

= x3+c3-3abx-3abc
= x3+c3-3ab(x+c)-3abc
= (x+c)3-3xc(x+c)-3ab(x+c)
= (x+c){(x+c)2-3xc-3ab}
= (a+b+c){x2-xc-3ab+c2}
= (a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc-3ab+c2)
= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

この回答へのお礼

答えまでの途中式を詳しく書いて頂き、どういう風に考えていくかが本当に良く分かりました。
回答、ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/24 21:27

No.3 回答者： mao1978-exile 回答日時： 2005/04/24 19:39

例えば仮に、

(a+b) = X
ab = Y
と、式を置き換えて見ましょう。考えやすくなります。

(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 -3abc
=X^3 -YX +c^3 -3Yc
これを並び替えて・・・
=X^3 +c^3 -3YX -3Yc

何か見えてきませんか？

この回答へのお礼

置き換えをすることでごちゃごちゃしていた式がわかりやすくなりました。
アドバイス、ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/24 21:26

No.2 回答者： yoikagari 回答日時： 2005/04/24 19:26

eatern27さんに追加

a^3+b^3+c^3-3abc={(a+b)^3+c^3}-3ab(a+b+c)ですから
(a+b)^3+c^3を因数分解の公式
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)を利用して因数分解すると共通因数a+b+cが出てきます。

この回答へのお礼

eatern27さんの追加として頂いたため、よりわかりやすくなりました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/24 21:24

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2005/04/24 19:23

=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc

={(a+b)^3+c^3}-3ab(a+b)-3abc

={(a+b)^3+c^3}-3ab(a+b+c)

として、{}の部分に(1)の結果を使うとか？

この回答へのお礼

ヒントをくれたため、自分で考えながら解くことができました。
アドバイス、ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/24 21:23