交点の軌跡の問題です。軌跡についての質問なのですが、「実数kが動くとき、2直線 y= - k(x+1) と ky=x - 1 の交点の軌跡を求め、それを図示せよ。」という問題なのですが、2式から、kを消去した式が求める答えだということはわかるのですが、なぜそれが、交点の軌跡になるのかいまいちよくわかりません。よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

交点の軌跡というのは、二直線の共有点の集合ですから、その座標xとyは、必ず二つの式


y= - k(x+1) と ky=x - 1を満足します。
この場合、二つの式 y= - k(x+1) と ky=x - 1 は、三つの変数x,y,kの「関係」を示すことに
なります。各変数は、様々な値をとるけれども、どのような値をとったにしても、この二式の
「関係」は保たれるということです。
この二式からkを消去した式x^2+y^2=1は、その中で、xとyの「関係」だけを引き出したもの
です。x,y,kがどのような値をとっても、xとyの間にはこの「関係」が保たれるわけです。
つまり、交点の座標は必ずこの式で表される円の上にあります。

ところで、この円の上にある点は、必ず元の二式の交点として表されるでしょうか。答はNo
です。(x,y)=(-1,0)の点は、この円の上にありますけれど、それが交点となるような二直線
y= - k(x+1) と ky=x - 1は存在しません。

ですから、求める答は
x^2+y^2=1 (x,y)は(-1,0)ではない
です。
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございました。
もう一度、関係に注目して考えたいと思います。
私はx^2+y^2=1 だと思って、「(-1,0)ではないです。」
飛ばして利他のですが、きっちり、文字消去の時は注意を払いたいと思います。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/15 01:00

こんにちは!


素直に交点の座標を求めると
X=(-K^2+1)/(K^2+1)
Y=-2K/(K^2+1)
となります。X、Yを変数Kで表したわけです。
そして、2式からKを消去してXYの関係式にするわけです。
この場合、単位円になるはずです。X^2+Y^2=1
なので、どこでKを消去するかではないですか?
ただし、計算するときは気をつけて丁寧にしてくださいね!
例えば、ky=x-1 をkで割るときなどは
kが0のときとそうでないときと場合分けしてくださいね。(miDumoさんみたいに)
この問題ではXYの分母が必ず正なので関係ないけど。
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この回答へのお礼

なるほど、パラメーターから考えても理解できました。できるだけ、いろんな考え方えを理解できるようにしたいです。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/09/15 00:51

実数kが存在すれば、2直線y=-k(x+1),ky=x- 1より、交点(a,b)が存在する。


⇔交点(a,b)が存在するならば、逆にb=-k(a+1)…(1),kb=a- 1…(2)を満たす実数kが存在する。
(1)*bに(2)を代入して、
⇔b^2=-(a- 1)(a+1) (必要十分であることを注意しよう。⇒は代入。逆はa- 1=kbとすれば、成立)
よって、交点の軌跡は
y^2=-(x- 1)(x+1)=-x^2+1

以上
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この回答へのお礼

ありがとうございます、お返事していただいて。
なるほど、交点を(a,b)とおいて、交点から考えるのですね。その交点に、乗っている2つの直線の式をそれぞれ代入して、それを連立したら、確かに交点の軌跡になるというような実感ができて理解できました。ありがとうどざいます。

お礼日時:2001/09/15 00:43

実際に交点の座標を求めると、x座標とy座標がそれぞれkの関数として求まりますよね。


交点がkの変化と共に動き回って軌跡となるわけですが、これは軌跡のパラメータ表示であるというわけです。
ですからkを消去すると軌跡を直接表す式になります。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。なるほど、求めた解答は、軌跡のパラメータ表示であるというわけですか。

お礼日時:2001/09/15 00:31

2直線 y= - k(x+1) と ky=x - 1 は 



y=-kx-k
y=1/kx-1/k
となるはず。

2直線kの値が変化することにより、傾き、Y切片も変化しますよね。
2直線の傾きはそれぞれ-k、1/kと違う値と言うことだけでもその交点はkの連続変化とともに移動し軌跡になる。。。

とおもう(笑
なにぶんクイズがてら文系が書いた答えだから(^^;
間違い承知でかきました(汁 添削して下さい・・・・
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

>2直線の傾きはそれぞれ-k、1/kと違う値と言うことだけでもその交点はkの連続変化とともに移動し軌跡になる。。。

すいません、うーん、ごめんなさいよくわかりません。
理解力がなくてごめんなさい。kの値の変化によって、
解答の式の「x^2 + y^2 = 0 (-1,0)をのぞく」に
どのようなの変化を与えているのかなと思いました。
kが消えてるのに不思議だなと思いました。

お礼日時:2001/09/15 00:17

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