正数a、bに対し次の関数の最大値、最小値(もしあれば)を求めよ (1)x ^a(1-x)^b (0≦

正数a、bに対し次の関数の最大値、最小値(もしあれば)を求めよ

(1)x ^a(1-x)^b (0≦x≦1)
(2)x^a + x^-b (x>0)

どう求めればいいのですか？平均値の定理を使うんですか？教えていただきたいです

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/19 21:46

(1)

　f=x^a(1-x)^b

　f≧0
は自明。
　f=0 → x=0,1 ・・・・①


0<x<1 とする。
　f'=ax^(a-1)・(1-x)^b+(x^a)b(1-x)^(b-1)・(-1)=0
→ ax^(a-1)・(1-x)^b=b(x^a)(1-x)^(b-1)
→ a(1-x)=bx → x=a/(a+b)

　f(a/(a+b))=(a^a)(b^b)/(a+b)^(a+b)・・・・②

ここで、有界閉集合([0,1])上の連続関数fは必ず最小最大を
持つから、①により、最小は
　f(0)=f(1)=0。

また、開集合((0,1))上の微分可能関数fの最大最小は極値・
停留点(f'=0)でもあるから、②が最小最大の候補。ところが
②は0より大きいから、②は最大値となる。

極値判定の微分が面倒なので別方法を使った。

(2)
f=x^a+x^(-b)

x → ∞のとき、f → ∞なので最大値は無い。

同様に
　f>0
は自明。

　f'=ax^(a-1)-bx^(-b-1)=0 → x=(b/a)^(1/(a+b))・・・③
ちなみに
　f((b/a)^(1/(a+b)))=(b/a)^(a/(a+b))+(a/b)^(b/(a+b))

この極値の判定であるが、これ以上の微分は面倒なので
別のほうほうを考える。
　x → +0, ∞で f → ∞・・・・④
である。もし、③が極大なら、このxの両側に、この値より
小さいf値がある。すると④から極値がもう２つ存在するが、
極値は③の１つだけなので、これは極小となる。

したがって、③が最小値(述べたように最大は無い)。

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/07/19 19:42

まず、与えられた関数の最大値や最小値を求めるために、微分を使用します。

平均値の定理は必要ありません。

(1) 関数 f(x) = x^a(1-x)^b (0≦x≦1) の最大値と最小値を求めます。

まず、関数 f(x) を微分します。
f'(x) = ax^(a-1)(1-x)^b - bx^a(1-x)^(b-1)

最大値や最小値を求めるために、f'(x) = 0 を解きます。
ax^(a-1)(1-x)^b - bx^a(1-x)^(b-1) = 0

この方程式を解くことで、極値が存在する x の値を求めることができます。

ただし、解析的に解くことは難しいため、数値的な解法（ニュートン法など）を使用することが一般的です。

(2) 関数 g(x) = x^a + x^(-b) (x>0) の最大値と最小値を求めます。

同様に、関数 g(x) を微分します。
g'(x) = ax^(a-1) - bx^(-b-1)

最大値や最小値を求めるために、g'(x) = 0 を解きます。
ax^(a-1) - bx^(-b-1) = 0

同様に、解析的に解くことは難しいため、数値的な解法を使用することが一般的です。

以上の手順により、与えられた関数の最大値や最小値を求めることができます。ただし、解析的な解法が存在しない場合や数値的な解法が必要な場合もあるため、注意が必要です。