相加・相乗平均での不等式に証明で等号成立の仕方がわかりません。教えてください。

A 回答 (4件)

元の式が(a+b)/2>=√abだと仮定して・・・


両辺2乗して
(a^2+2ab+b^2)/4>=ab
(a^2-2ab+b^2)/4>=0
(a-b)^2>=0
(a-b)がどんな値であってもその2乗は常に0以上であるから、
(a-b)^2>=0はあらゆるa,bに対して成り立ち、
よって(a+b)/2>=√abもあらゆるa,bに対して成り立つ。
等号成立は(a-b)^2>=0で等号が成立すればいいので、
a=bのとき
Q.E.D.
・・・じゃなかったでしたっけ?
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「不等式に」、というのは、ある不等式で、ということでしょうか。


回答2,3は、一般的に「相加平均、相乗平均」の説明ですが、そういう質問だったのでしょうか。
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kohmaさんが書かれたことで良いと思います。


具体的な値を入れてみれば一目瞭然と思います。

(3+3)/2 = √3×3

従って自信「あり」です。内容的には何も追加してませんが^^;
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不等式の等号成立の条件って、


ex. a,bが正の整数のとき次の不等式を
証明し、等号の成り立つ場合を言え。

a+b/2 >= √ab >= 2ab/a+b

とか、なんか指定があるんじゃなかったっけ??
そうだったらわかるかもしれないです。
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Q2次不等式の解答についての質問です。

2次方程式 x²-2x+2=0 の答えは複素数範囲で「x=1±i」で、2次不等式 x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」のようですが、この不等式の答えとして、やはり複素数範囲で「x<1-i、1+i<x」というのは不適なのでしょうか?

Aベストアンサー

この話は結構深刻で、深刻な問題ほど学校は対応しない傾向にあり、悩みが後を引くことがあります。しかしあるときなんとなく考え違いしていたことに気が付いて、納得できることがあります。

>2次不等式 x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」のようですが、
xy平面においてy=x²-2x+2のグラフを書くとx軸と交わることがなくどこでも
  y>0
よって x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」となるわけです。

だけど解の公式で求めたx=1±iが使えないじゃないかという疑問は尤もです。

しかしここで考えましょう。このxy平面でx=1±iはどこなんだと見まわすと、実は居場所がない。つまり別の世界の数字だということです。

そこでそもそも不等式とかもっと基本的な大小の概念は実数の世界のもので、虚数(複素数)の入り込む余地はないのです。この点をしっかり押さえておいてください。「虚数に大小はない。」

将来、横軸に実数、縦軸に虚数を取ったガウス平面というものを習うかもしれませんが、それは実数のみを扱うxy平面と矛盾するものではありません。

Q数IIで不等式の証明や相加相乗平均の関係を用いて証明するのに、等号成立

数IIで不等式の証明や相加相乗平均の関係を用いて証明するのに、等号成立の場合も考えるのはなぜですか。

Aベストアンサー

A<=B というのは、A<B または A=B ということです。
たいていの場合は Bの方が大きいけれど、たまに等しくなることもある。
その特別な場合がどのようなときに成立するのか興味はありませんか?

つねに A<B なら特別な場合というのは特にありません。AよりBが大きい で終わりです。
でも、等号が成り立つ可能性があるなら、どのような時に成り立つのか気になるし、気にして欲しいのが数学の問題を出す側の気持ちです。

Q一次不等式の解の存在条件(整数解の個数)

模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。

[問]
xについての連立不等式
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
がある。
この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。

===============================
[模範解答]
「a<0」、「0<aかつa-3<0」、「3<a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、
「0<aかつa-3<0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。
※ 他三つの場合は省略。

【a=3の場合】
(イ)かつ(ロ)はx<0と同値で不適
----
【0<aかつa-3<0の場合】
(イ)と(ロ)は次のようになり、不適
(イ): x<3(a-3)
(ロ): x≦a
===============================

【a=3の場合】の説明について
どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

【0<aかつa-3<0の場合】の説明について
なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

よろしくお願いします。

模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。

[問]
xについての連立不等式
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
がある。
この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。

===============================
[模範解答]
「a<0」、「0<aかつa-3<0」、「3<a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、
「0<aかつa-3<0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。
※ 他三つの場合は省略。

【a=3の場合】
(イ)かつ(ロ)はx<0と同値で不...続きを読む

Aベストアンサー

>【a=3の場合】の説明について
>どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

a=3と置くと

ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)

3x<3×3(3-3) ---(イ)
(3-3)x≧3(3-3) ---(ロ)

3x<3×3×0 ---(イ)
0x≧3×0 ---(ロ)

x<0 ---(イ)
0x≧0 ---(ロ)

(ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。

「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。

(イ)さえ成り立てば「連立する」のです。

(イ)は、最終的に

x<0

になっちゃってますから「(イ)かつ(ロ)」は「x<0と同じ」って事です。

>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

「x<0であるxは無限にある」ので「連立不等式を満たす整数がちょうど3個」という条件に合いません。

「条件に合わない」から「不適」と言っているのです。

「なぜ不適なのか」と言われたら「x<0であるxは無限にあって、3個だけじゃないから不適」なのです。

xが-1でも、-2でも、-3でも、-4でも、何でも成り立つでしょう?

>なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

【0<aかつa-3<0の場合】
って事は
【0<aかつa<3の場合】
です。

【0<aかつa<3の場合】
を満たすaは、1と2だけです。

aが1の場合

(イ): x<3(a-3)
(ロ): x≦a

(イ): x<3(1-3)
(ロ): x≦1

(イ): x<3×2
(ロ): x≦1

(イ): x<6
(ロ): x≦1

(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。

つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。

これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。

さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね?

それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。

aが2の場合

(イ): x<3(2-3)
(ロ): x≦a

(イ): x<3(2-3)
(ロ): x≦1

(イ): x<3×1
(ロ): x≦1

(イ): x<3
(ロ): x≦1

(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。

つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。

これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。

さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね?

それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。

これで「aが1の場合は不適、aが2の場合も不適」と判りました。

なので「ここで導き出された二式から不適と判断できる」のです。

出題者が欲しい正解は

「aが○○の時」

です。

aに○○を入れた時、成り立つxが無限個あったり、0個だったり、1個だったり、2個だったり、4個以上だったら駄目なんです。

aに○○を入れた時、成り立つxは、x=◎、x=△、x=□の3個しかない、って場合だけ「aが○○の時」ってのが正解になるのです。

>【a=3の場合】の説明について
>どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

a=3と置くと

ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)

3x<3×3(3-3) ---(イ)
(3-3)x≧3(3-3) ---(ロ)

3x<3×3×0 ---(イ)
0x≧3×0 ---(ロ)

x<0 ---(イ)
0x≧0 ---(ロ)

(ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。

「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。
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Q相加相乗平均を使った不等式の証明

a,b,c,d≧0、のとき

(a+b+c+d)/4≧4√abcd ←(4√は4乗根です)

等号はa=b=c=dのとき

の証明で、相加相乗平均を使うと思うんですが、どぅやって使えばいいのかわかりません。

Aベストアンサー

これは、4変数の相加相乗平均の不等式というものですね(一般のn変数で成り立ちます)。

(a+b)/2≧(ab)^(1/2) (等号成立:a=b)
これが、(2変数の)相加相乗平均の不等式でした。
相加相乗平均の不等式で、積を和に、和を積に変えることが出来るわけですから、まず4つの変数を2個ずつにわけて相加相乗平均を用い、2個に見なせるようにします。それで出来た2個に対してもう1度相加相乗平均の不等式を用いれば良いわけです。

(a+b+c+d)/4=(((a+b)/2)+((c+d)/2))/2
<aとb、cとd、それぞれについて相加相乗平均の不等式を用いて>
≧((ab)^(1/2)×(cd)^(1/2))^(1/2)
<(ab)^(1/2)と(cd)^(1/2)について相加相乗平均の不等式を用いて>
≧((ab)^(1/2)×(cd)^(1/2))^(1/2)
=(abcd)^1/4
となります。等号成立条件は2回使った相加相乗平均の不等式の等号成立条件の共通部分で、a=b=c=dとなります。

Q不等式

僕は数学の不等式系の問題や単元がものすごくキライで苦手です。
不等式が出てきたら一瞬にして集中力も切れ勉強する気がなくなります。
今、不等式の表す領域をチャートで勉強していたのですが全くわかりません。
それにやる気までなくなりました。
不等式の苦手意識を克服する方法はありませんか?
今高三理系で受験生です。

Aベストアンサー

苦手意識を作ってしまった事が諸悪の根源です。それを断ち切るには、最初に戻って一から勉強しなおすことです。数学Iで不等式を習いますから、教科書の問を順に解いていくことをお勧めします。不等式の扱いは他の分野に比べて特に難しいところはありません。復習して最初からやり直すことで何ら難しい分野ではないことが分かると思います。

 さて、不等式の表す領域ですが、これはがよくわからないのは不等式の難しさとは別のところにあると思います。特に不等式の表す領域におけるxとyの表す式の最大値最小値問題が難しいのは不等式が苦手なのとは別の次元にあります。

 数学の解答を読んで分からないのは、その解答が何をしているか気づかないからです。では、なぜ気付かないのかというと経験が少ないからです。チャートを勉強しているときに、解答を読んで分からなければ、むしろ自力で解いてみるといいです。人の解答を読むより、自分で解くほうがむしろ簡単です。(解答が読めない人の場合)指針など、解法の要点を理解したらあとは自分で解いてみたらどうでしょうか。

このアドバイスが参考になれば幸いです。

Qコーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。

コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。

http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%b3%a1%bc%a5%b7%a1%bc%a1%a6%a5%b7%a5%e5%a5%ef%a5%eb%a5%c4%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

上のHPのコーシー・シュワルツ不等式の相加相乗平均での証明法についてです。

中ほどのルートを外すところですが、

実際は
http://cid-b9bcb472398930c5.photos.live.com/self.aspx/%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%82%a2%e3%83%ab%e3%83%90%e3%83%a01/%e7%84%a1%e9%a1%8c%e3%81%ae%e7%94%bb%e5%83%8f%e3%82%b3%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%bc.png

(a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB

のように分子に絶対値が付くと思うのですが。

しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると

Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2
となり、

コーシー・シュワルツの不等式式より厳しい不等式が出てきます。

どこかが間違えてると思うのですが、どこだか分かりません。

どなたか問題点が分かりましたら教えてください。
よろしくお願いします。

コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。

http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%b3%a1%bc%a5%b7%a1%bc%a1%a6%a5%b7%a5%e5%a5%ef%a5%eb%a5%c4%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

上のHPのコーシー・シュワルツ不等式の相加相乗平均での証明法についてです。

中ほどのルートを外すところですが、

実際は
http://cid-b9bcb472398930c5.photos.live.com/self.aspx/%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%82%a2%e3%83%ab%e3%83%90%e3%83%a01/%e7%84%a1%e9%a1%8c%e3%81%ae%e7...続きを読む

Aベストアンサー

>(a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB のように分子に絶対値が付くと思うのですが。
>しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると
>Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2 となり、 .....
   ↓
|(a_i)(b_i)|≧(a_i)(b_i) だから、
  Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2≧{Σ[i=1→n](a_i)(b_i)}^2
となるのでしょう。
    

Q数1 不等式

不等式がちっともわからないのでアドバイスお願いします。

※2乗は~で表させていただきます

xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
     x~2-ax-2a~2ー(2)  (aは定数)

1、不等式(1)を解いて下さい

これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。


2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

全然解らないです((汗

3、不等式(1)、(2)を同時に満たすxの整数値がちょうど2個存在するときaのとりうる値の範囲を求めてください

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

>xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
1、不等式(1)を解いて下さい
これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。

そうですね。skyline-gtr-32さんの答えどおりでいいです。

x^2-2x=x(x-2)≦0なので
0≦x≦2という答えの範囲になります。

>2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

まず、(2)の不等式を因数分解します。

x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)<0・・・(☆)
なんですよね。
さて、
(x-p)(x-q)<0という不等式の答えの範囲は、
p<qという条件つきならば、p<x<q
が答えになりましたよね?

(☆)を見てみると、-aと2aの大小比較をして、
(小さいほう)<x<(大きいほう)
というのが答えになるのが分かると思います。

-aと2aはどちらが大きいのでしょうか?
2a<-aとすると、3a<0となるので、a<0となって0<a<1に矛盾します。
-a<2aとすると、0<3aとなって、これは0<a<1にあてはまりますから
-aのほうが2aより小さいです。
したがって、答えは

-a<x<2aとなります。

さらに、(1)(2)を同時に満たす、ということは

0≦x≦2
-a<x<2a・・・(★)
の2つを同時に満たしている、ということですね。
ここで、0<a<1ですから
(★)は-1<a<x<2a<2ということになりますから、0≦x≦2との共通部分は
0≦x<2a
ということになります。

>3、不等式(1)、(2)を同時に満たすxの整数値がちょうど2個存在するときaのとりうる値の範囲を求めてください

0≦x<2a
の中に、整数解が2個あるようにするには、
x=0,x=1が入ればいいので
1<2a
つまり(1/2)<a
0<a<1の条件と合わせれば、1/2 <a<1
ということになると思います。

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

>xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
1、不等式(1)を解いて下さい
これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。

そうですね。skyline-gtr-32さんの答えどおりでいいです。

x^2-2x=x(x-2)≦0なので
0≦x≦2という答えの範囲になります。

>2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

まず、(2)の不等式を因数分解します。

x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)<0・・・(☆)
なんですよね。
さて、
(x-p)(x...続きを読む

Q相加相乗平均の証明がわかりません

(問)a>0,b>0の時、(a+b)(1/a+4/a)を証明せよ。

(証明)
左辺=1+4a/b+b/a+4
=5+4a/b+b/a

ここで、相加相乗平均より
4a/b+b/a≧2√4a/b×b/a=4

よって、(a+b)(1/a+4/a)≧9

等号成立はa=bかつ1/a=4/a

つまり、2a=b

『つまり、2a=b』
の部分で1/a=4/aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが
b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。
等号成立のとこから間違ってしまっているのか、単なる計算ミスなのかがわかりません。

回答の方をよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

計算から察するに、問題は、「a>0,b>0のとき、(a+b)(1/a + 4/b)≧9を証明せよ」ですよね。
そして、等号成立は、相加相乗平均の等号成立条件から、4a/b = b/a ですよね。

質問の部分の「
『つまり、2a=b』
の部分で1/a=4/aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが
b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。」の部分がどこか計算ミスをされているのだと思います。

ちなみに、2a=b という等号成立条件は、どのような計算で出たのでしょうか。。。
本命題の等号成立条件 4a/b = b/a の両辺に ab を掛けると、4a^2 = b^2 となり、a>0,b>0 だから、2a=bとなりますが、2a = b は別の解法で導出したのでしょうか。。。

記号を使った証明の検算としては、具体的な数値を入れてみるという手があります。
たとえば、
a=1,b= a=1 のときは、左辺=(1+1)(1+4)=10>9 等号成立しない。
a=1,b=2a=2 のときは、左辺= (1+2)(1+2)=9 等号成立!!
a=1,b=4a=4 のときは、左辺= (1+4)(1+1)=10>9 等号成立しない。
という検算をやってみて、
2a=bという条件が等号成立の条件として正しそうで、
a=bや4a=bという条件では、等号が成立しない、すなわち、a=bや4a=bという条件を導出する過程でどこか勘違いや計算ミスを犯しているということになり、その導出過程を徹底的に洗い出すことになります。
(これは、等号成立の条件の証明ではなく、あくまで検算です。)

記号を使った証明問題は、一般的な証明を行った後で、具体的な数値を入れて正しいかどうかを検算するクセをつけておくといいと思います。

計算から察するに、問題は、「a>0,b>0のとき、(a+b)(1/a + 4/b)≧9を証明せよ」ですよね。
そして、等号成立は、相加相乗平均の等号成立条件から、4a/b = b/a ですよね。

質問の部分の「
『つまり、2a=b』
の部分で1/a=4/aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが
b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。」の部分がどこか計算ミスをされているのだと思います。

ちなみに、2a=b という等号成立条件は、どのような計算で出たのでしょうか。。。
本命題の等号成立条件 4a/b = b/a の両辺に...続きを読む

Q不等式の問題

息子と共に不等式を勉強しています。問題レベルはx-3 ≤ 4 程度です。
今息子の頭は初めての不等式でこんがらがってます。そこで回答付きの問題をネットにて探しています。
一次不等式の問題、何かいいサイトありますか?
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

あ~難しいですよね・・・

これなんかどうでしょう?

参考URL:http://www7a.biglobe.ne.jp/~mkun/Mathematics/renhutou.htm#1

Q相加・相乗平均を使う不等式

相加相乗平均を使う不等式の問題で分からないものがあります。

a,b,c,dは全て正の数として

*(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を証明する問題では、左辺を展開した後に相加相乗平均を使って証明をしてますよね。

ですが
*(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
のときには
a+2b≧2√2ab
2c+d≧2√2cd
を証明して二つをかけ合わせますよね?

このとき方の違いはどうしてでしょうか?

上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・

Aベストアンサー

「等号成立条件が同時に成立できるか」どうか、が相加相乗を2回使っていいかどうかの分かれ目です。

(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
は、
a+2b≧2√2ab (等号成立条件は、a=2b)
2c+d≧2√2cd(等号成立条件は、2c=d)
で、a,b,c,dとの間に何の関係(制限)がないとすれば、a=2bと2c=dは同時に成りたつようにできます。
こういう場合には、2回に分けてもOK

(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を相加相乗を2回使って解きたいというのは、つまり、
a+2/b ≧ 2√(2a/b)  (等号成立条件は、a=2/b)
2b+1/a ≧ 2√(2b/a) (等号成立条件は、2b=1/a)
で、これをかけて、(a+2/b)(2b+1/a)≧8 ていうことだと思いますが、
2つの等号成立条件
a=2/b
2b=1/a
というのが同時に成り立つことはありません。なんで、2つの式を単に掛け算した時にでてくる (a+2/b)(2b+1/a)≧8 の、最小値8は実際には取ることができません。


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