相加・相乗平均での不等式に証明で等号成立の仕方がわかりません。教えてください。

A 回答 (4件)

元の式が(a+b)/2>=√abだと仮定して・・・


両辺2乗して
(a^2+2ab+b^2)/4>=ab
(a^2-2ab+b^2)/4>=0
(a-b)^2>=0
(a-b)がどんな値であってもその2乗は常に0以上であるから、
(a-b)^2>=0はあらゆるa,bに対して成り立ち、
よって(a+b)/2>=√abもあらゆるa,bに対して成り立つ。
等号成立は(a-b)^2>=0で等号が成立すればいいので、
a=bのとき
Q.E.D.
・・・じゃなかったでしたっけ?
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「不等式に」、というのは、ある不等式で、ということでしょうか。


回答2,3は、一般的に「相加平均、相乗平均」の説明ですが、そういう質問だったのでしょうか。
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kohmaさんが書かれたことで良いと思います。


具体的な値を入れてみれば一目瞭然と思います。

(3+3)/2 = √3×3

従って自信「あり」です。内容的には何も追加してませんが^^;
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不等式の等号成立の条件って、


ex. a,bが正の整数のとき次の不等式を
証明し、等号の成り立つ場合を言え。

a+b/2 >= √ab >= 2ab/a+b

とか、なんか指定があるんじゃなかったっけ??
そうだったらわかるかもしれないです。
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Q数IIで不等式の証明や相加相乗平均の関係を用いて証明するのに、等号成立

数IIで不等式の証明や相加相乗平均の関係を用いて証明するのに、等号成立の場合も考えるのはなぜですか。

Aベストアンサー

A<=B というのは、A<B または A=B ということです。
たいていの場合は Bの方が大きいけれど、たまに等しくなることもある。
その特別な場合がどのようなときに成立するのか興味はありませんか?

つねに A<B なら特別な場合というのは特にありません。AよりBが大きい で終わりです。
でも、等号が成り立つ可能性があるなら、どのような時に成り立つのか気になるし、気にして欲しいのが数学の問題を出す側の気持ちです。

Q相加相乗平均を使った不等式の証明

a,b,c,d≧0、のとき

(a+b+c+d)/4≧4√abcd ←(4√は4乗根です)

等号はa=b=c=dのとき

の証明で、相加相乗平均を使うと思うんですが、どぅやって使えばいいのかわかりません。

Aベストアンサー

これは、4変数の相加相乗平均の不等式というものですね(一般のn変数で成り立ちます)。

(a+b)/2≧(ab)^(1/2) (等号成立:a=b)
これが、(2変数の)相加相乗平均の不等式でした。
相加相乗平均の不等式で、積を和に、和を積に変えることが出来るわけですから、まず4つの変数を2個ずつにわけて相加相乗平均を用い、2個に見なせるようにします。それで出来た2個に対してもう1度相加相乗平均の不等式を用いれば良いわけです。

(a+b+c+d)/4=(((a+b)/2)+((c+d)/2))/2
<aとb、cとd、それぞれについて相加相乗平均の不等式を用いて>
≧((ab)^(1/2)×(cd)^(1/2))^(1/2)
<(ab)^(1/2)と(cd)^(1/2)について相加相乗平均の不等式を用いて>
≧((ab)^(1/2)×(cd)^(1/2))^(1/2)
=(abcd)^1/4
となります。等号成立条件は2回使った相加相乗平均の不等式の等号成立条件の共通部分で、a=b=c=dとなります。

Qコーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。

コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。

http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%b3%a1%bc%a5%b7%a1%bc%a1%a6%a5%b7%a5%e5%a5%ef%a5%eb%a5%c4%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

上のHPのコーシー・シュワルツ不等式の相加相乗平均での証明法についてです。

中ほどのルートを外すところですが、

実際は
http://cid-b9bcb472398930c5.photos.live.com/self.aspx/%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%82%a2%e3%83%ab%e3%83%90%e3%83%a01/%e7%84%a1%e9%a1%8c%e3%81%ae%e7%94%bb%e5%83%8f%e3%82%b3%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%bc.png

(a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB

のように分子に絶対値が付くと思うのですが。

しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると

Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2
となり、

コーシー・シュワルツの不等式式より厳しい不等式が出てきます。

どこかが間違えてると思うのですが、どこだか分かりません。

どなたか問題点が分かりましたら教えてください。
よろしくお願いします。

コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。

http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%b3%a1%bc%a5%b7%a1%bc%a1%a6%a5%b7%a5%e5%a5%ef%a5%eb%a5%c4%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

上のHPのコーシー・シュワルツ不等式の相加相乗平均での証明法についてです。

中ほどのルートを外すところですが、

実際は
http://cid-b9bcb472398930c5.photos.live.com/self.aspx/%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%82%a2%e3%83%ab%e3%83%90%e3%83%a01/%e7%84%a1%e9%a1%8c%e3%81%ae%e7...続きを読む

Aベストアンサー

>(a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB のように分子に絶対値が付くと思うのですが。
>しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると
>Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2 となり、 .....
   ↓
|(a_i)(b_i)|≧(a_i)(b_i) だから、
  Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2≧{Σ[i=1→n](a_i)(b_i)}^2
となるのでしょう。
    

Q相加相乗平均の証明がわかりません

(問)a>0,b>0の時、(a+b)(1/a+4/a)を証明せよ。

(証明)
左辺=1+4a/b+b/a+4
=5+4a/b+b/a

ここで、相加相乗平均より
4a/b+b/a≧2√4a/b×b/a=4

よって、(a+b)(1/a+4/a)≧9

等号成立はa=bかつ1/a=4/a

つまり、2a=b

『つまり、2a=b』
の部分で1/a=4/aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが
b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。
等号成立のとこから間違ってしまっているのか、単なる計算ミスなのかがわかりません。

回答の方をよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

計算から察するに、問題は、「a>0,b>0のとき、(a+b)(1/a + 4/b)≧9を証明せよ」ですよね。
そして、等号成立は、相加相乗平均の等号成立条件から、4a/b = b/a ですよね。

質問の部分の「
『つまり、2a=b』
の部分で1/a=4/aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが
b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。」の部分がどこか計算ミスをされているのだと思います。

ちなみに、2a=b という等号成立条件は、どのような計算で出たのでしょうか。。。
本命題の等号成立条件 4a/b = b/a の両辺に ab を掛けると、4a^2 = b^2 となり、a>0,b>0 だから、2a=bとなりますが、2a = b は別の解法で導出したのでしょうか。。。

記号を使った証明の検算としては、具体的な数値を入れてみるという手があります。
たとえば、
a=1,b= a=1 のときは、左辺=(1+1)(1+4)=10>9 等号成立しない。
a=1,b=2a=2 のときは、左辺= (1+2)(1+2)=9 等号成立!!
a=1,b=4a=4 のときは、左辺= (1+4)(1+1)=10>9 等号成立しない。
という検算をやってみて、
2a=bという条件が等号成立の条件として正しそうで、
a=bや4a=bという条件では、等号が成立しない、すなわち、a=bや4a=bという条件を導出する過程でどこか勘違いや計算ミスを犯しているということになり、その導出過程を徹底的に洗い出すことになります。
(これは、等号成立の条件の証明ではなく、あくまで検算です。)

記号を使った証明問題は、一般的な証明を行った後で、具体的な数値を入れて正しいかどうかを検算するクセをつけておくといいと思います。

計算から察するに、問題は、「a>0,b>0のとき、(a+b)(1/a + 4/b)≧9を証明せよ」ですよね。
そして、等号成立は、相加相乗平均の等号成立条件から、4a/b = b/a ですよね。

質問の部分の「
『つまり、2a=b』
の部分で1/a=4/aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが
b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。」の部分がどこか計算ミスをされているのだと思います。

ちなみに、2a=b という等号成立条件は、どのような計算で出たのでしょうか。。。
本命題の等号成立条件 4a/b = b/a の両辺に...続きを読む

Q相加・相乗平均を使う不等式

相加相乗平均を使う不等式の問題で分からないものがあります。

a,b,c,dは全て正の数として

*(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を証明する問題では、左辺を展開した後に相加相乗平均を使って証明をしてますよね。

ですが
*(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
のときには
a+2b≧2√2ab
2c+d≧2√2cd
を証明して二つをかけ合わせますよね?

このとき方の違いはどうしてでしょうか?

上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・

Aベストアンサー

「等号成立条件が同時に成立できるか」どうか、が相加相乗を2回使っていいかどうかの分かれ目です。

(a+2b)(2c+d)≧8√abcd
は、
a+2b≧2√2ab (等号成立条件は、a=2b)
2c+d≧2√2cd(等号成立条件は、2c=d)
で、a,b,c,dとの間に何の関係(制限)がないとすれば、a=2bと2c=dは同時に成りたつようにできます。
こういう場合には、2回に分けてもOK

(a+2/b)(2b+1/a)≧9
を相加相乗を2回使って解きたいというのは、つまり、
a+2/b ≧ 2√(2a/b)  (等号成立条件は、a=2/b)
2b+1/a ≧ 2√(2b/a) (等号成立条件は、2b=1/a)
で、これをかけて、(a+2/b)(2b+1/a)≧8 ていうことだと思いますが、
2つの等号成立条件
a=2/b
2b=1/a
というのが同時に成り立つことはありません。なんで、2つの式を単に掛け算した時にでてくる (a+2/b)(2b+1/a)≧8 の、最小値8は実際には取ることができません。


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