「ある試行で事象Aの起こる確率をPとする。この試行を独立にn回繰り返すとき、事象Aがちょうどk回起こる確率は、
nCk p^k・(1-p)^(n-k)」 だというのはわかるのですが、
その期待値の Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)というのがよくわかりません。シグマがあったり nCk p^k・(1-p)^(n-k) のまえについているkがあったりするのは理解に苦しむのですが。例えば、k=3のときを考えてみると、Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)の式のkのところに3を代入すればよいのですよね。そうすると、
「from k=0 to n」のところのk=0 にも入れるのでしょうか。「from 3=0 to n」になってしまうと思うのですが。
よろしくお願いします。

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A 回答 (9件)

●期待値の意味


くじを引いて、
0円貰える確率 (すか) P0
10円貰える確率 P1
50円貰える確率 P2
1000円貰える確率 P3
とすると、貰える金額の期待値は?
E = (0円)×P0+(10円)×P1+(50円)×P2+(1000円)×P3

何度も何度もこのくじを引いたとき、1回あたり平均幾ら貰えるか、を表すのが期待値Eですね。
これ、納得行きますか?

・だとすれば、
ボールが幾つか入っている箱をひとつ選ぶ。箱の中にボールが
0個入ってる確率P0
1個入ってる確率 P1
2個入ってる確率 P2
3個入ってる確率 P3
とすると、入っているボールの数の期待値は
E = (0個)×P0+(1個)×P1+(2個)×P2+(3個)×P3

これも分かる?

●Σの意味
Σって言うのは 足し算をいっぱいやるのを省略して書く略記法です。
E = (0個)×P0+(1個)×P1+(2個)×P2+(3個)×P3
と書く代わりに
E = Σ{k=0~3} (k個)×Pk
と書いても同じ事だ、ということですね。
ここに出てくるkという文字は、Σの中だけで意味がある。kの代わりにjを使って
E = Σ{j=0~3} (j個)×Pj
と書いても、全く、完璧に全く、同じ意味です。

・じゃあ、
ボールが0~n個入っている箱をひとつ選んで、
0個入ってる確率P0
1個入ってる確率 P1
 :
n個入ってる確率 Pn
なら、入っているボールの数の期待値は
E = (0個)×P0+(1個)×P1+ … +(n個)×Pn
だから
E = Σ{k=1~n} (k個)×Pk
と書いても良い。
E = Σ{j=1~n} (j個)×Pj
と書いても良い。

これもご納得戴ける?

●「k=3の時を考える」とは?
「E = Σ{j=1~n} (j個)×Pj
において、k=3の時の期待値は?」
というご質問ですと、「は?kって何でしょうか?」が答です。

E = Σ{k=1~n} (k個)×Pk
の場合、kという文字は、Σの中だけで意味がある。ですから、
「E = Σ{k=1~n} (k個)×Pk
において、k=3の時の期待値は?」
というご質問でも、「は?kって何でしょうか?」が答なんですが、そこは百歩譲って考えてみましょう。

E = Σ{j=1~n} (j個)×P
という式においてkとは、どういう意味があるかというと、kは箱に入っているボールの数ですよね。だから、
「E = Σ{k=1~n} (k個)×Pk
において、k=3の場合の期待値は?」
と問うのは

「箱に入っているボールの数が3の場合に、箱に入っているボールの数の期待値は?」
と尋ねたのと同じ意味です。
 よく読んでみて。めちゃくちゃですね。ビョーキの質問です。

 強いて答えれば、つまり、確率が
P3 = 1、P0=P1=P2=P4=P5=.....=Pn = 0
という場合の期待値
E= Σ{k=1~n} (k個)×Pk
を問うているとしか解釈できませんので、
「箱に3個入っていると分かって居るんなら、箱に入っているボールの数は3です。」
とでも言うしかない。

●なお、Pkの値が式 nCk p^k・(1-p)^(n-k) で与えられている、ということは以上の話とは何の関係もございません。それ以前の所に誤解があるみたい。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。簡単なものからだんだん複雑なものへ御説明してくださって理解しやすかったです。
「E = Σ{k=1~n} (k個)×Pkの場合、kという文字は、Σの中だけで意味がある。」というお言葉も重く考えたいと思います。

>「箱に入っているボールの数が3の場合に、箱に入っているボールの数の期待値は?」と尋ねたのと同じ意味です。

すいません、自分でもおかしいなと思います。期待値を近いしていなかったようで。おかしいなと気づくのができたことを喜びたいなと思います。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/09/17 02:17

>よく確率の問題で、「x=k(k=0,1,2…,n)」というように書きますよね。

この場合のxとkの関係はどのような関係なのでしょうか。x(x=0,1,2…,n) と書いてはだめなのでしょうか。

別にいいと思いますよ。ただ一般にxは連続量でとびとびの値は表わさないことが多いということじゃないですか。
テストを採点する側は基本的に論理的ならば丸をつけるので表現がおかしいなどとは言わないんじゃないですか。(但し、中学3年の図形の証明は厳しいこと言う先生が多いそうです)
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

>ただ一般にxは連続量でとびとびの値は表わさないことが多いということじゃないですか。

なるほど、そうだったのですね。長年の疑問がはれて良かったです。どうもありがとうございます。kと置く理由がわかったので、これからは、「x=k(k=0,1,2…,n)」と置くようにしたいと思います。

お礼日時:2001/09/18 00:37

さて、問題は解決したので、Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)を簡単に解こう。



(p+q)^n=Σ(from k=0 to n)nCk p^k・(q)^(n-k)(∵二項定理)
の両辺をpで微分すると、
n(p+q)^(n-1)=Σ(from k=0 to n)k・nCk p^(k-1)・(q)^(n-k)
両辺にpをかけて、
np(p+q)^(n-1)=Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(q)^(n-k)
q=1-pと置くと
Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)=np(p+1-p)^(n-1)=np
一般に二項定理に関係する問題と微分積分は非常に相性がよい。
いろいろ試してみるとよい。

以上
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この回答へのお礼

なるほど、そのような方法もあるのですね。全然思いつきませんでした。こんなところで微分が出てくるんですね。ストックとしてこのような考え方も使えればいいなと思います。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/09/17 02:37

<まとめ>


siegmundさんやstomachmanさんが書いておられるように、k=3の場合だけでは、期待値にはならない。
この場合の期待値は、私が書いているように「何回起こると期待されるか」という意味だ。そこで問題文を言い換えよう。

「ある試行で事象Aの起こる確率をPとする。この試行を独立にn回繰り返すとき、
事象Aは何回起こることが期待できるか」という問題を解く。
<解>
nCk p^k・(1-p)^(n-k) =f(k)として、
Σ(from k=0 to n){k*f(k)}=np…(∵期待値の定義!!!から。)
だからkに関係なく決まるのもうなづけるでしょう。問題文に与えられているのはnとpだけなんだから。

以上
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。期待値というと得点や金額しか頭に思い浮かんでこなかったのですが、もっとイメージをふくらまして、何回起こるかという期待値なども同じように期待値として考えていきたいとおもいます。

>「ある試行で事象Aの起こる確率をPとする。この試行を独立にn回繰り返すとき、事象Aは何回起こることが期待できるか」という問題を解く。
<解>
nCk p^k・(1-p)^(n-k) =f(k)として、
Σ(from k=0 to n){k*f(k)}=np…(∵期待値の定義!!!から。)だからkに関係なく決まるのもうなづけるでしょう。問題文に与えられているのはnとpだけなんだから。

あらためて期待値の定義を見て、どういうことなのかわかりました。解答はnに確率変数を取って加法定理で違う道から期待値を出したものだったのですね。ありがとうございます。この考え方をわすれないようにしたいと思います。

お礼日時:2001/09/17 02:27

siegmund です.



どうも期待値にまだ誤解があるようです.

立方体のさいころの6面のうち,3面に数字1が書いてあり,
2面に数字2,1面に数字3が書いてあるとします.
数字の期待値は?

1の目が出る確率が 1/2,これからの期待値への寄与が 1×(3/6) = 1/2
2の目が出る確率が 1/3,これからの期待値への寄与が 2×(2/6) = 2/3
3の目が出る確率が 1/6,これからの期待値への寄与が 3×(1/6) = 1/2

目の数字の期待値は
(1/2) + (2/3) + (1/2) = (5/3)

です.

「k=3 のように固定して考えられますよね。とすると、期待値は、
k×f(k)のような気がするのですが」
上の記述から明らかと思いますが,k×f(k) は期待値ではなくて,
k を固定したときの期待値への寄与分です.
上の例では,3の目からの寄与の 3×(1/6) = 1/2 に相当します.
期待値はすべての可能な k について和を取ったものです.
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この回答へのお礼

>上の記述から明らかと思いますが,k×f(k) は期待値ではなくて,
k を固定したときの期待値への寄与分です.
上の例では,3の目からの寄与の 3×(1/6) = 1/2 に相当します.
期待値はすべての可能な k について和を取ったものです.

お返事どうもありがとうございます。期待値がどういうものかわかりました。確率の分野は苦手で、一回できた物でももう一回やってみると、答えが違ったり考え方が間違ったりします。期待値の問題も前に理解したはずなのですが、わからなくなってしまって、考えていくうちにどんどん変な方向に考えが及んでしまいました。よく復習して、似たような問題を解いておきます。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/17 02:08

重複試行の確率と期待値の融合問題だったのか。


そもそもこの期待値はなにを表わすのか。
n個のサイコロを同時になげるとき、ある事象を満たすサイコロの個数をx個とする。
その事象の確率はxによって決まるのでf(x)と置く。(当然でしょう?)
x=k(k=0,1,2…,n)のときの確率は
f(k)=nCkp^k・(1-p)^(n-k)(どのサイコロを満たさせるかでnCk通り。pはある事象の確率)
ある事象を満たすサイコロの個数は期待値で表わされるので、(なぜならば「どのくらいのサイコロ個数が期待されるか」と考えられるから。「期待金額」という言葉がある。だからさしあたり、「期待個数」と言おう)
期待個数x=Σ(from k=0 to n)k*f(k)=Σ(from k=0 to n)k*nCkp^k・(1-p)^(n-k)

以上
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。やっとわかりました。なるほど、そうだったのですね。「期待個数」ですか。なるほど、わかりました。ところで、関係のない話なのですが、
よく確率の問題で、「x=k(k=0,1,2…,n)」というように書きますよね。この場合のxとkの関係はどのような関係なのでしょうか。x(x=0,1,2…,n) と書いてはだめなのでしょうか。

お礼日時:2001/09/17 02:03

一部訂正。

だから置き換えは細心の注意を払わなければならないんだ。

「np(1+1-p)^(n-1)(∵二項定理)」 を
「np(p+1-p)^(n-1)(∵二項定理)」と直してください。

自分で言ってて間違えるくらいだからやっぱり添え字の置き換えをしないで、一度展開して考えた方がいいかもしれない。
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Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)


=Σ(from k=1to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)
=Σ(from k=1to n)n*n-1Ck-1*p^k・(1-p)^(n-k)(∵knCk=n*n-1Ck-1)
=nΣ(from k=1to n)n-1Ck-1*p^k・(1-p)^(n-k)
=npΣ(from k=1to n)n-1Ck-1*p^(k-1)・(1-p)^(n-k)
=npΣ(from k=0to n-1)n-1Ck*p^k・(1-p)^(n-k-1)(こういう添え字の置き換えは危険なのだがこの場合はうまくいった。つまり一段下げたのである)
=np(1+1-p)^(n-1)(∵二項定理)
=np

自分で手探りで考えるのもいいもんだよ。
以上
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。僕の本では、
Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)
の問題を解かせたあとで、「これはある試行で事象Aの起こる確率をPとする。この試行を独立にn回繰り返すとき、事象Aがちょうどk回起こる期待値である」となっていました。ということは、この結果のnpから考えると、kの値は関係ないのでしょうか。う~ん、まだ期待値が理解できていないような気がします。

お礼日時:2001/09/16 04:04

期待値とはどういうものかをよく理解されていないようです.



k=0 である確率が f(0)
k=1 である確率が f(1)
k=2 である確率が f(2)
.....
だったら,k の期待値は
0×f(0) + 1×f(1) + 2×f(3) + ... = Σ {k×f(k)}
です.
今は f(k) が
nCk p^k・(1-p)^(n-k)
になっているわけです.

「例えば、k=3のときを考えてみると」
がそもそも間違いです.
k はいろいろな値を取る可能性がありますから,k を固定しちゃっちゃいけません.
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございました。なるほど、そのような形になっていたのですね。丁寧に解説してくださったおかげで、大変よくわかりました。ありがとうございます。

>k はいろいろな値を取る可能性がありますから,k を固定しちゃっちゃいけません.

例えば、Σ {k×f(k)} ではなくて、 k×f(k)だったら、
kは一般項だと思うので、k=3 のように固定して考えられますよね。とすると、期待値は、
k×f(k)のような気がするのですが、シグマすることの意味は何でしょうか。すいません、わかった気になっていたのですが、まだ少しわかりません。

お礼日時:2001/09/16 03:56

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この問題は、
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2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分ける場合の数は、上の1)、3)、5)を掛算して得られる。ここで、疑問の「組の区別がある/ない」は、1)、3)のコンビネーションによって発生しているのではなく、2)、4)、5)の「取り出した順に並べる」という手順にしたがって1)、3)、5)を「掛け合わせる」という計算によって発生しています。で、「場合の数を掛け合わせて得られる」のが順列ですよね。
通常、順列というと、例えば「1から9の数字から3つを順に選んで並べる」とすると、1つめの数字の選び方が9通り、2つめの選び方が8通り、3つめが7通りですから、順列は9×8×7。ですが、何か特別な条件をつけて、1つめの数字の選び方が5通り、2つめも5通り、3つめが4通りなどとなることも有り得るわけで、その場合の順列は5×5×4です。というように、「場合の数を掛け合わせていく」のが順列ですよね。この問題も、1つ目の選び方が15C5通り、2つ目の選び方が10C5通りで、3つ目の選び方が1通りだから、順列は15C5 × 10C5 × 1 なわけです。

ということで、コンビネーションの計算がグループを区別している原因なのではなく、(コンビネーションで)取り出した人のグループを並べたという順列の行為(場合の数を掛け合わせたという計算)が区別の原因です。

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分...続きを読む

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
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Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
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それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

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面倒なので外測度を単にλで表します。
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任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
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ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

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どうせ 1個しか取り出さないんだから, コンビネーションでもパーミュテーションでも同じことだよね.

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すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q数A確率m個からn個を取り出す

こんにちは。

5個の玉(それぞれ1~5の数字が書かれています)があるとします。この中から同時に2個を選ぶ確率を教えてください。


すべての選び方は5C2通り、場合の数も5C2で、確率は1になってしまうんですが、そんなことないですよね・・・?
どこが違っていますか??

あと、5個の白玉から1個を無作為に選ぶときの確率を、上のようにコンビネーションを使って分数形で表すとどうなりますか?。(コンビネーションを使わないで表せば確率は、1/5になりますか?)


間違いを指摘して、正しい解答を教えていただきたいです。
ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5個の玉から2個取り出す確率、と書くと条件がないため、確率は100%(どんな時も2個取れる)になります。

2個取り出す玉に条件をつけると確率は変化します。
例えば書いている数字の合計が5になる、1の玉が含まれる、取り出した合計が残ってる合計以上になる、などなど。

白玉1個を取り出す確率は5分の1ながら、こちらも明確な条件がなければ、結局はどれを引いても同じにしか見えません。1(5)分の1(5)となんら変わりのない結果となってしまいます。

QΣ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ

[問]Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ。
[解]
(i) p>0の時,
1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0
よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より
Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
のタイプの級数をディリクレ級数といいます。冪級数の収束半径のようなものがあり、pの実部がσより大きいと収束し、pの実部がσより小さいと発散するような実数σが存在します。pの実部がσのときは収束することもあれば発散することもあります。
この問題の場合σが負または0であること以上のことはわかりません。a_nによってσは異ります。

Q確率の問題で

確率の問題で「トランプ52枚から3枚引いて、そのうち2枚がハートの確率を求めよ」とあり、答えは
(13C2*39C1)/52C3=117/850ですが、
私は、
一回目ハート、2回目ハート、三回目その他=(13/52)*(12/51)*(39/50)
だと思いました。一回目がその他でも掛け算なので影響しないかと・・・
確率の問題のコンビネーションの使い方を教えてください。また私のような解き方で解く問題はどういったものでしょう?

Aベストアンサー

質問者さんの言われるのは順列です。
並び方を考えています。
1番、2番、3番がハート、ハート、その他に限定されると順列です。
入れ替えを許して
ハート、その他、ハート
その他、ハート、ハート
を同じものと考えると組み合わせとなります。

QΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4となる為のnの大きさは?

皆様、宜しくお願い致します。下記の問題でたいそう難儀しております。

[問]与えられたΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4
となる為にはどのくらい大きい自然数nが選ばれねばならないか決定せよ。
但し,s(n)はこの級数のn項迄の部分和を表す。

という問題なのですがこれはどのようにして解けばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

全部答えるとルール違反なので方針だけ。

Σ[k=n+1..∞](-1)^(k+1)/k^2

の絶対値が 10^(-4) よりも小さくなる条件を求めればよい。

Q数学 確率の問題

9枚のカードがあり、カードの表にはそれぞれ「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「10」の数が書かれている。
また、裏にはすべて「1」が書かれている。
これらのカードを投げたときに、それぞれのカードの表が上側になる確率と裏が上側になる確率は、ともに1/2であるとする。
9枚のカードすべてを同時に投げて、各カードの上側に現れた数をすべて掛けあわせた値を得点とする。
次の問に答えよ。

(1)得点が8点になる確率を求めよ。
(2)得点が偶数になる確率を求めよ。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。

という問題でコンビネーションが使えない理由を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

ANo.1です。
済みません。(3)の場合分けをミスりましたので、
以下の通り訂正します。ご迷惑をおかけしました。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。
(ア)「8」が表の全ての場合:確率=1/2
(イ)「8」「6」「10」が裏、「4」「2」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ウ)「8」「2」「10」が裏、「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(エ)「8」「6」「2」が裏、「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(オ)「8」「2」が裏、「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(カ)「8」「6」が裏、「2」「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(キ)「8」「10」が裏、「2」「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ク)「8」「4」が裏、「2」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ケ)「8」が裏、「2」「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
求める確率は以上の合計=(1/2)+8*(1/2)^5=24/32=3/4・・・答え

QS=Σ^∞_(n=1) 1/(n^2) と置くとき、不等式 1/(n^

S=Σ^∞_(n=1) 1/(n^2) と置くとき、不等式 1/(n^2)<1/{n(n-1)} が成り立つことを利用して、5/4<S≦2 を示せ。
はさみうちの原理を使うと思うのですが、よくわからないので、途中式とかも教えてください。よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

はさみうちの原理は使いません。


S=1/1+1/4+・・・
からS>5/4は明らかです。

1/{n(n-1)}=1/(n-1)-1/n
なので、
S=Σ^∞_(n=1) 1/(n^2)
=1+Σ^∞_(n=2) 1/(n^2)
<1+Σ^∞_(n=2) {1/(n-1)-1/n}
=1+(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+・・・・
=2


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