五次の超魔方陣を左右に一度ずつコピーした数の列をさらに上下に一度ずつコピーしてできる、全体で225個からなる数の表をこしらえる。この数表から、連続した5行5列のマスを任意に切り出す。このとき、この5行5列のマスはやはり超魔方陣になっている。この理由が何でしょうか?五次に魔方陣はなんとか出来ました。 
11 24 7 20 3  これをコピーして225個から数の表を作ったのですが、そこ
4 12 25 8 16  からよく分かりません。どうすれば説明できるでしょうか?
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A 回答 (1件)

その問題はずいぶんややこしい書き方をしていますが、結局は以下のようなことですよね。



5次の魔法陣・・・なんだか「5次元」の魔法陣と紛らわしいですね、5×5の魔法陣、のほうがよさそうですが・・・・の各要素を

A11 A12 A13 A14 A15
A21 A22 A23 A24 A25
A31 A32 A33 A34 A35
A41 A42 A43 A44 A45
A51 A52 A53 A54 A55

と表すことにします。魔法陣ですから当然に、それぞれ縦の合計、横の合計は全て等しいものとします。
題意の操作(上下左右斜隣に同じものを並べて、任意に5×5を切り出す)というのはずいぶんまどろっこしい書き方ですが、
つまりは上からでも下からでも適当な行、例えば上の2行

A11 A12 A13 A14 A15
A21 A22 A23 A24 A25

を切り取って下に並べて

A31 A32 A33 A34 A35
A41 A42 A43 A44 A45
A51 A52 A53 A54 A55
A11 A12 A13 A14 A15
A21 A22 A23 A24 A25

とし、さらには左でも右でも適当な列を切り取って(ここでは例えば左1行)

A31
A41
A51
A11
A21

を右に並べ直して

A32 A33 A34 A35 A31
A42 A43 A44 A45 A41
A52 A53 A54 A55 A51
A12 A13 A14 A15 A11
A22 A23 A24 A25 A21

という操作をして新しい魔法陣を作ったことと本質的に同じです。
さてこの最後の行列の縦横を調べてみると、例えば一番上の行なら

A32 A33 A34 A35 A31

となって、並べ方こそ入れ替わっていますが元の魔法陣の3行目と要素は同じです。ですから足せば、元の魔法陣の3行目と同じ数になります。
縦についても同じで、例えば4列目は

A35
A45
A55
A15
A25

でこれまた元の魔法陣の2列目と要素は同じです。ですから合計は変わりません。

従ってある5×5の魔法陣から題意の操作で新しい魔法陣を作っても、それはまた魔法陣となるわけです。(列、行の要素を並べ替えてはいるが、特定の行や列の中ではその順序が入れ替わるだけで要素そのものは変わらないため)

この話は5×5の魔法陣に限らず、任意のn×nの魔法陣に対して成立します。
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この回答へのお礼

分かりやすく説明していただきありがとうございます。

お礼日時:2001/09/16 15:16

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5 16 9 14 21
24 19 3 1 18

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 いつも大変お世話になっております。

 今まであまり意識したことがなかったのですが、3÷3×3の計算において、
左から順に計算すれば問題はないと思います。+-のみの混合計算で、原則
左から計算するのでしょうが、実際は+同士、-同士を計算して、その後それらの計算
をするとか、+-の組み合わせで値をなるべく小さくして計算を進めるなど
原則通りの必要はないと思います。
 また、×のみの計算でも原則通り(左から)ではなく、計算しやすい組合せで
計算を進める方が多いのではと思います。
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 お忙しいところ、大変申し訳ございませんがよろしくお願いします。

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をするとか、+-の組み合わせで値をなるべく小さくして計算を進めるなど
原則通りの必要はないと思います。
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Aベストアンサー

乗算には乗数、被乗数の関係があり、
除算には除数、被除数の関係があります。

乗算は、実数a,bとして、ab = ba のように可換です。この場合、乗算は可換ですので、結局どちらが乗数、被乗数でも良いことになります。
しかし除算に関しては、可換とは言えません。a÷b = b ÷a は一般には成り立ちませんよね。つまり、除数、被除数が決まっていることになります。

これらを踏まえて、改めて式を見ましょう。

質問の式で言うと、3÷3×3の最初の3が被除数、2番目の3が除数です。
ということは、3÷3×3の最後の3は最初の3にかかっていることになります。
ですから、後ろの掛け算を先に計算してしまうと3÷(3×3)で、除数がもとの3倍になってしまっています。

この場合、最初の式を”見やすくかつ式の意味を変えないように”書きかえるならば、除数、被除数の関係を考慮して、
3×3÷3とするべきです。
このように書き変えたら、最初の2つを先に計算しようと、後の2つを先に計算しようと答えは同じになります。

ですから、結論を言いますと、乗数、被乗数、除数、被除数の関係を考慮して、きちんとした順番のものであった場合(この質問で言うと書きなしたもの)掛け算を先に行おうが、割り算を先に行おうが答えはきちんと一致します。
すべては、乗数、被乗数、除数、被乗数の関係を無視した結果起こる矛盾なのです。

説明が下手でしたが、お役にたてれば幸いです。
今一度、乗数、被乗数、除数、被乗数の関係を見直してみてください。
しっかりと掛け算の意味、割り算の意味が分かるようになるはずです。

乗算には乗数、被乗数の関係があり、
除算には除数、被除数の関係があります。

乗算は、実数a,bとして、ab = ba のように可換です。この場合、乗算は可換ですので、結局どちらが乗数、被乗数でも良いことになります。
しかし除算に関しては、可換とは言えません。a÷b = b ÷a は一般には成り立ちませんよね。つまり、除数、被除数が決まっていることになります。

これらを踏まえて、改めて式を見ましょう。

質問の式で言うと、3÷3×3の最初の3が被除数、2番目の3が除数です。
ということは、3÷3×3の最後...続きを読む

Q5×6の魔方陣について

弟の冬休みの宿題の中に紛れ込んでいた問題について、分からなかったので兄の威信のためにご協力ください。

問題をテキストの通り載せます。


 2 3 6 7 9 だけを使い、縦、横、ななめの合計が全て27になるように、下の魔方陣を完成させてください。

添付データのようにすでに5箇所に数字が書き込まれています。問題文の説明が正直分かりにくいのですが、縦が六マスあるので、数字は指定されているものならば何度も使用できると考えられます。

ただ、「ななめ」にかんしては、意味が分からなかったので5マス数えられる4箇所を27にすればいいのではないかと考えています。4マスや3マスでも27に出来ますが、間違いなく矛盾が起こってしまい崩壊してしまいますので無視することにしました。……恐らくですが。

エクセルで色々いじってみたのですが、分からなくなってしまいました。

ななめの意味が分からない、無理だ、と言う場合、よろしければ縦と横だけでも結構ですのでご協力おねがいします。

Aベストアンサー

#1です。

縦計の合計=27×5=135が何を表しているか分かりますか。
これは、5×6=30個の数の合計が135ということです。

大量の数値を集計するときに、適当に分割して小計を出して、さらにそれらを合計するというのは、普通に行われる方法です。

縦計の合計も横計の合計も、どちらも30個の数の合計ですから、それが異なるというのはありえないことです。


問題が間違っていないとしたら、先生の意図としては、不可能であることを論理的に説明できるかを試しているか、もしくは単に先生が勘違いしているかですね。


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