統計の知識に乏しく大変基礎的な質問なのですが、
 自然対数(ln)とは、どういった解析に使うものなんでしょうか?
 また、その定義みたいなものがありましたら具体的に教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

自然対数の底をeと言います。


eのx乗は微分しても積分してもeのx乗であると言う性質があります。
で、このeと確率の関係ですが、正規分布曲線を表すのにこのeを使います。
本回答の中に数式を記述するのが難しいので数式は省きますが正規分布曲線は平均値(m)と標準偏差(σ)分散(σ2乗)といった定数とeの関数として表現することができます。

eは
e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・・・+1/n!+・・・・
で、e≒2.71828、eは数学者Eulerの頭文字をとったものと言われています。

対数e関連の数学書を読んで頂ければ確率の所も書かれている物があることと思います。
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以下のサイトが参考になります。


=========================================
<指数関数と対数関数>
3を対数の底(base)と呼ぶ.特にこの底が自然定数eとなるとき,それを自然対数(natural logarithm)と呼び,以下のように書く:
log_{e} = ln = log. (35)
(33)の両辺のlnを取ると,
log4 = log(3^x) = x log3. (36)
したがって,(34)と(36)から,
x = log_{3}4 = log4/log3
= 1.261859507.... (37)
========================================
ご参考まで。
 
 

参考URL:http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/Lecture5.html
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Q自然対数eは何に使えるのですか?eが含まれている関数を微分することはで

自然対数eは何に使えるのですか?eが含まれている関数を微分することはできても、これが何に使えるのかわかりません、何に使えるのか教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。色々と用途はありますよ。

まず、eは「自然対数」ではありません。
「ネイピア数」あるいは「自然対数の底」と呼ばれる定数です。
まー、あなただけでなく、間違える人は結構多いですけれども。

私は学生のときに放射性同位体の半減期の件を習いましたが、
半減期Tを用いるならば、
t秒後の個数 = 初期の個数 × (1/2)^(t/T)
というふうに、1/2 を用いればよく、eを用いる必要はありません。
しかし、微分方程式を解くときには、eを使った計算を経由すると楽に解けます。

No.1さんが挙げられているのは、オイラーの公式と呼ばれるものです。
実用でも非常に有用な式ですが、この世の真理(量子力学)を記述する際には欠かせません。
「実数eの純虚数乗」なので、私は初めて見たとき「なんのこっちゃ」と思いましたが、
sinx、cosx のテイラー展開と e^x のテイラー展開とを見比べると正しいことがわかります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

あるいは、オイラーの公式には「計算を楽にする」という「ずるい応用」もあります。
「cos(aθ)をθでn回微分した式を書け」
という問題があるとしましょう。
ストレートにやろうとすると、
0回 cos(aθ)
1回 -a・sin(aθ)
2回 -a^2・cos(aθ)
3回 a^3・sin(aθ)
4回 a^4・cos(aθ)
・・・・・
というふうにややこしくなり、やる気がしないですが、
cosθ = 「cosθ + isinθ の実数部分」 = 「e^(iθ) の実数部分」
としてしまえば、
cosθのn回微分 = 「i^n・e^(iθ) の実数部分」
と一発で式が書けます。
私は、仕事で光学を扱ったころ、この「ずるい」計算方法に助けられました。

虚数単位iは電気工学ではjと書きます。
(電気では電流をiと書く習慣があるので、同じにならないように隣の文字を使っているだけです。)
高校物理や工業高校の電気科の交流回路の計算で「jωc」「jωL」というのが出てきますが、
それは、e^(iωt) に関係します。
つまり、高校生は、オイラーの公式や微分方程式を、知らず知らずのうちに利用しています。

科学や工学への応用だけではありません。
eは、金利の計算でも用いられます。第3章をご覧ください。
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/napier.pdf

あと、役に立つ例としては、電気回路の動作速度にかかわる配線遅延の計算です。
これも、私は仕事でよく使いました。
たとえば、こんな単純な回路です。

Eボルト(一定)-------スイッチ------抵抗R---(V)-----|容量C|-------0ボルト

初期(スイッチを入れる前)のRの左右の電位がともに0ボルトだとしましょう。
そして、スイッチをONにしてからVがどのように変化するかを考えます。
すなわち、Eボルトという電圧がVの部分にどのように充電されていくか(伝わるか)です。

抵抗Rの両端のオームの法則は、
E - V = Ri
コンデンサにたまっている電荷Qは
Q=CV
ところが、回路は一本道なのでiはQの時間変化dQ/dtと等しいです。
よって、両辺を微分すれば、
i = dQ/dt = CdV/dt

以上のことから
E - V = RCdV/dt
簡単な微分方程式なのですが、字数制限に引っかかりそうなので、はしょります。
1-V/E = 1/e^(t/RC) = Vの部分の満充電に対する割合
という答えが出ます。
というわけで、時間がRC秒(抵抗と容量の積)だけ経過すると、
満充電に対する割合は、e分の1、
2RC秒後は、e^2分の1
3RC秒後は、e^3分の1
・・・
無限秒後は、e^∞分の1 ⇒ 1 (100%)
となります。
ですので、仕事仲間と回路の話をするとき、よく
「1RC分で2.7分の1」とか、よく言ってました。
抵抗と容量の積である「RC」は「時定数」と呼ばれます。
オームという単位にファラッドという単位を掛け算すると秒という単位になるということでもあります。

こんにちは。色々と用途はありますよ。

まず、eは「自然対数」ではありません。
「ネイピア数」あるいは「自然対数の底」と呼ばれる定数です。
まー、あなただけでなく、間違える人は結構多いですけれども。

私は学生のときに放射性同位体の半減期の件を習いましたが、
半減期Tを用いるならば、
t秒後の個数 = 初期の個数 × (1/2)^(t/T)
というふうに、1/2 を用いればよく、eを用いる必要はありません。
しかし、微分方程式を解くときには、eを使った計算を経由すると楽に解けます。

No....続きを読む

Q自然対数のLn

パソコンでグラフを作り、計算式を求めたところ、「Ln」というのが出てきました。
全く意味がわからず、困ってます。
決まった数字なのでしょうか?Lnの意味がわからないので、数式が解けません!わかる方!よろしくお願いします!

Aベストアンサー

logは底が10で、常用対数と呼ばれています。
底をe(2.7182818)としたものは自然対数と呼ばれ、「log_e」ではなく「ln」と表記されます。

参考URL:http://www.nn.iij4u.or.jp/~therans/JouyouTaisuu.html

Q微分について(自然対数)

すみません自然対数の微分 y=e^(1/x)のy'=及びy''=をわかる方教えて頂けませんか? 使用する方式も教えて頂ければ幸いです。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

y = e^(1/x) 
⇔log(y) = 1/x

両辺をxで微分すると
y'/y = -1/(x^2)
y' = -1/(x^2) * y ・・・(1)
これでy'が求まります。(yはxの関数にしてください)

y''は(1)式を微分すればOKです。

Q自然対数の「自然」って何ですか?

どこが自然なのかが分かりません。
なんで、このように和訳したのでしょうか?
回答お願いします。

Aベストアンサー

自然対数という言葉の方が先でしょう。
その底がネイピア数に一致したのでeが自然対数の底と呼ばれるようになったのです。

ある量Pの時間変化量がその時のPに比例するという関係が自然界にはよく見られます。
細胞増殖や人口増加などはこれに当てはまります。
マルサスの人口論にも出てきます。
このPの満たす関数がlogP=at です。
半減期も同じ考えのものですがずっと時代が後のことになります。

Q自然対数、指数の微分で質問があります。

問題は二つあり、それぞれ答えは分かっているのですが、どうやってその答えがでるのか分かりません。自然対数と指数の微分、どのようにしたら分かるようになりますか?

1、f(x)=X^e
答え 2^xln2

2, g(y)=e^y y^e
答え  e^y^e-1(y+e)

2の問題は、途中のg'(y)=e^y^e+e^yy^e-1 まで分かりました。あっているかは分かりませんが。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1、f(x)=X^e

eは自然対数の底ですか。それならば

f'(x)=ex^(e-1)

です。

2, g(y)=e^y y^e

式の構造がわかりません。

g(y)=(e^y)×(y^e)

ですか。それなら

g'(y)=(e^y)×(y^e)+(e^y)×(ey^(e-1))=(e^y)(y^(e-1))(y+e)

Q複素関数z=re^(iθ)の対数関数log(z)=ln(r)+iθのl

複素関数z=re^(iθ)の対数関数log(z)=ln(r)+iθのlog(z)の底は何でしょうか?
また、上式の主値であるLog(z)の底も教えてください。(同じと思いますが・・・)

複素関数入門という本では「左辺で、底は何も書かない。」と載っていたのですが、何かあるけど省略したという意味ですよね?
底がない対数なんて聞いたことないですから。
右辺のlnはeが対数だとは一目瞭然で、それは教科書にも載っていました。
ちなみに僕はlogとかかれていたら10を底とするのが基本だと思っています。

ご回答よろしくお願いします!

Aベストアンサー

>ちなみに僕はlogとかかれていたら10を底とするのが基本だと思っています。

違います.数学ではlogと書かれれば普通は底は「e」です.自然対数のことです.
常用対数を使うことはほとんどありません.
自然対数をlnと書くのは少数派です.
なお分野が違えば,底を「2」にするのが常識のところもあります.

さて本題.
複素関数での対数関数は多価関数で普通とはちょいと違うわけですが,
枝をきちんと選べば結局のところ級数展開できるわけだし,
あんまり「底」は気にしません.
とはいっても,実際の底は「e」なのですが
Log(Z)みたいに書いた場合,
Logという名前の関数のことだと理解する方がいいでしょう.

Q自然対数の微分、関数

関数f(x)=logxがあり,曲線y=f(x)上の異なる2点をA(a,f(a)),
B(b,f(b))とする。また,点A,Bにおける曲線の法線をそれぞれl,mとする。ただし,
対数は自然対数とする。'
(1)l,mの方程式を求めよ。
(2)l,mの交点をCとする。bがaに限りなく近づくとき,Cが近づく点C。のx座標は
2a+1/aであることを示せ.
(3)(2)の点C。について,線分AC。の長さをLとする。aが正の値をとって変化するとき,
Lを最小にするaの値を求めよ。

(3)の問題が分かりません。解答の回答宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>AC間は√{(2a+1/a)-a)^2+(log(2a+1/a)-loga)^2}だというのは分かります。

このLの式が間違っているため、この先の計算が進まないのです。(問題集や出題される問題は必ず解けるようにできています。解けない時は計算ミスを疑ってください。)

Lの式の元になった点Aと点Cの座標が正しか確認してください。

正しいLの式は
L=√[{a+(1/a)}^2 +(a^2 +1)^2]

√が入ったまま最小値を求めようとすれば計算が複雑になるだけですのでL^2で考えた方が良いですね。
最小を考えるときはL^2で考えても最小を与えるaの値は同じになります。

後はA#2のヒントどおりやればできると思います。

Q複素数z,wについてlog(z,w)=ln(w)/ln(z)(底の変換公式)が成り立つそうですが、こ

複素数z,wについてlog(z,w)=ln(w)/ln(z)(底の変換公式)が成り立つそうですが、これはどのようにして証明されるのですか?

Aベストアンサー

<<ln(e^XY)=XYは多価性を考えると成り立たないような気がするのですが正しいのでしょうか?>>

ln(e^XY)はe^u=e^XYとなるようなuと定義されてるので、(e^u)/(e^XY)=1,e^(u―XY)=1より
u―XY=2(パイ)ni, u=XY+2(パイ)ni (nは任意の整数、i は虚数単位)となるので
u=ln(e^XY)は、いわれるとおり一通りには決まりません。ただlnの意味を主値とすれば
e^(u―XY)=1よりu―XY=0 u=XYつまり ln(e^XY)=XYです。

log(z,w)は、おなじように、z^u=wで定義される関数ですが、z^u=e^(ulnz)と定義されてるので
この場合もlnを主値にとれば e^(ulnz)=w、ulnz=lnw、u=lnw/lnzつまりlog(z,w)=lnw/lnz
と一通りには決まる。
ということで、多価関数lnのどれかの枝(えだ)をひとつに決めたうえで成立つ式と
考えるべきでしょう。

以下はぼくの聞き捨てにすぎませんが.....

しかしこれはlnを普通の複素平面上の関数と考えるから生じる問題で、何ですかそのう
リーマン面とかいう面を考えて、lnをその上での1価関数と考えれば、表題の式は
完全になりたつのかも知れません。
くわしくは、複素多価関数論とかリーマン面とかいう題の本を参照されたらとおもいます。

<<ln(e^XY)=XYは多価性を考えると成り立たないような気がするのですが正しいのでしょうか?>>

ln(e^XY)はe^u=e^XYとなるようなuと定義されてるので、(e^u)/(e^XY)=1,e^(u―XY)=1より
u―XY=2(パイ)ni, u=XY+2(パイ)ni (nは任意の整数、i は虚数単位)となるので
u=ln(e^XY)は、いわれるとおり一通りには決まりません。ただlnの意味を主値とすれば
e^(u―XY)=1よりu―XY=0 u=XYつまり ln(e^XY)=XYです。

log(z,w)は、おなじように、z^u=wで定義される関数ですが、z^u=e^(ulnz)と定義さ...続きを読む

Q自然対数の微分

こんにちは。
今、y=e^2x+e^x^2
を微分するのですが、どうしても
おかしな答えしか出てきません。
どのようにすればよいでしょうか?
ちなみにこたえはy’=2e^2x+2xe^x^2
のようです。

Aベストアンサー

>自然対数の微分
ネイピア数(自然対数の底)を基数とする指数関数の微分です。

肩に式を書けませんので
肩に付く式(指数部)とそうでない式を区別するために
指数部と基数部(指数部でない式の部分)の境
を明確にするために括弧でくくって式を書いてください。

y={e^(2x)}+e^(x^2)

と解釈していいですか?

そうだとして微分すると

y'=[d{e^(2x)}/d(2x)](2x)'+[d{e^(x^2)}/d(x^2)](x^2)'
={e^(2x)}*2+{e^(x^2)}*(2x)
=2{e^(2x)}+2xe^(x^2)

となるので
答えはあっていますね。

Qどうして ln1 は 0なのか?(自然対数)

L(z)= ln |z| + iarg(z)  (arg(z)は 0~2πの範囲) 

この式のzに、それぞれ 

L(-1)
L(1-i)
L(-1+i)
・・・を当てはめて計算せよという問題があります。

答えは、添付画像の通りで、ほぼ納得できたのですが、

【どうしてln1が、消えているのか】が 理解できずに困っています。

数学の基礎知識が足らずにすみませんが、私の理解は「lnとは自然対数のことである」といったレベルです。対数については、大体知っていますが、 自然対数となると何か特別なことをするのかどうか? わからなくなってしまいます。

私の今の予想は、 ln1とは、 log1^1 = 0 となるような、何らかのことが起こっている・・・というものです。 

自然対数をネットでいろいろ調べたのですが、このあたりの計算方法についての解説を独学することができませんでした。

アドバイスをお願いします。 

Aベストアンサー

いかなる数を0乗しても1になるので、log 1 では 10の0乗=1 だから、log1=0。

同様に、ln 1 では ネイピア数 e の0乗=1 だから、ln1=0。


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