この問題がどうしても解けません。
分かる方、どうかお助けください。m(_ _)m

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OA=3, OB=2, ∠AOB=60°である三角形OABの辺ABの3等分点をP,Qとするとき,
→   →
OP と OQ の内積を求めよ。

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oaとは」に関するQ&A: OAラベルとは?

A 回答 (6件)

矢印を書くのが面倒だから、OA,OB,OP,OQはベクトルとする。


条件から、|OA| = 3 ,|OB| = 2 ,OA・OB = |OA||OB|cos60 = 3
OPはOAとOBを1:2に内分するベクトルだから、OP = (2OA+OB)/3
OQはOAとOBを2:1に内分するベクトルだから、OQ = (OA+2OB)/3
OP・OB = (2OA+OB)/3・(OA+2OB)/3
= (2|OA|^2+5OA・OB+2|OB|^2)/9 = 41/9

参考URL:http://www.alpha-net.ne.jp/users2/eijitkn/
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この回答へのお礼

ありがとうございました。本当に助かりました

お礼日時:2001/09/19 07:33

<OA>を点Oから点Aのベクトルとすると、



<OP> = ( 2<OA> + <OB> ) / 3
<OQ> = ( <OA> + 2<OB> ) / 3

になります(線分<AB>の内分点)。

ここから<OP>・<OQ>を計算してOA, OB, <OA>・<OB>を代入してみましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。本当に助かりました。

お礼日時:2001/09/19 07:34

OP などはすべてベクトルを表すとします。



まずは、
 OP = ○OA + △OB
 OQ = ●OA + ▲OB
というように、OP,OQ を OA,OB で書きます。
そうすれば、あとは内積をとるだけです。
 |OA| = 3
 |OB| = 2
 OA・OB = |OA||OB|cos60
という情報があるので出てきますね。
頑張ってみてください。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。おかげさまで解決できました。

お礼日時:2001/09/19 07:34

というわけで、さっきのやり方をやってみると



O(0,0) A(3,0) B(1,√3) P(7/3,√3/3) Q(5/3, 2√3/3)
となるので、

35/9+2/3=41/9
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この回答へのお礼

ありがとうございました。座標を使っても解けるんですね☆

お礼日時:2001/09/19 07:35

最初のBの座標のx,yが逆ですね。

間違えちゃった
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無理やり座標を適用してみるとこうなります。



O(0,0) A(3,0) B(2sin60°,2cos60°)で、B(√3,1)

APQBの順で並ぶとすると、P(a,1/3) Q(b,2/3)と表示できる。

A,Bは直線上にあるから、y=hx+kに代入して、
h=-(3+√3)/6,k=(3+√3)/2を得る。P,Qもy=hx+k上にあるので、

a=2+(√3/3), b=1+(2√3/3)となる。

よって、
→ →
OP・OQ=ab+1/3・2/3=(26+15√3)/9

こんな解き方より、もっとスマートな方法はあるはずですので、
他の方の説き方を参考にしてください。
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oaとは」に関するQ&A: OA事務って何ですか

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Q内積と外積について

内積と外積について

2つのベクトルをA,Bと表し、2つのベクトルのなす角をθとします。
また、A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)です。

内積はA・B=|A||B|cosθと表されこれはスカラー量です。
内積はAのBへの正射影とBの積(もしくは、BのAへの正射影とAの積)と認識しています。
また、A・B=axbx+ayby+azbzとも表されこれはスカラー量です。
A・B=|A||B|cosθ,A・B=axbx+ayby+azbzはどちらも内積の定義なのでしょうか?


外積は|A×B|=|A||B|sinθと表されますが、これもスカラー量ですよね。

外積はベクトル積と呼ばれることもあるようですが、
これは、外積の定義A×B=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-ayax)がベクトルとなるからベクトル積と
言われるのでしょうか?

|A×B|=|A||B|sinθは定義ではないのですか?

以上、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

内積の定義は、
固有値がどれも正の値であるような
対称行列 G を係数として、
a・b = (aの転置) G b
です。(右辺は行列積です)
G の各成分の値は、a,b が属するベクトル空間の
基底のとりかたしだいで変わりますが、
上手い基底を選ぶと、G が単位行列になる
ようにできます。その基底のもとで、
内積の成分表示は、三次元の場合、
a・b = ax・bx+ay・by+az・bz
と書けます。こっちの式のほうが、
本来の定義に近いですね。

cosθ が入ったほうの式は、
内積ではなくて、「なす角」の定義ですよ。
コーシー・シュワルツの不等式によって、
内積÷ベクトルの大きさの積は
-1 ~ 1 の値であることがわかるので、
それが =cosθ となるような実数 θ を
決めることができるのです。
そのような θ を、二つのベクトルの「なす角」
と呼びます。

外積の定義は、ベクトル値のほうが正解。
スカラーのほうは、外積ベクトルの大きさに
適当な符号をつけたもので、
外積そのものとは、違います。

内積の定義は、
固有値がどれも正の値であるような
対称行列 G を係数として、
a・b = (aの転置) G b
です。(右辺は行列積です)
G の各成分の値は、a,b が属するベクトル空間の
基底のとりかたしだいで変わりますが、
上手い基底を選ぶと、G が単位行列になる
ようにできます。その基底のもとで、
内積の成分表示は、三次元の場合、
a・b = ax・bx+ay・by+az・bz
と書けます。こっちの式のほうが、
本来の定義に近いですね。

cosθ が入ったほうの式は、
内積ではなくて、「なす角」の定義ですよ...続きを読む

Q半直線同士で囲まれたAOB があります。∠AOB=15°このAOB内に

半直線同士で囲まれたAOB があります。∠AOB=15°このAOB内に光源Pをとり、光をOB→ OAで反射させます。OA OBでは、それぞれ別に、同じ角度で反射するとき、最大何回反射おこりますか?
また、最大反射回数より2回反射がすくないとき、∠AOBのとりうる範囲は何度ですか

Aベストアンサー

最大反射回数は
12
回です
n回目に反射した点をQ_n
最初の入射角∠PQ_1B
0°<∠PQ_1B<15°
最後の反射方向点R
とすると
0°< ∠PQ_1B=∠Q_2Q_1O <15°
15°< ∠AOB+∠Q_2Q_1O=∠Q_1Q_2A=∠Q_3Q_2O <30°
30°< ∠AOB+∠Q_3Q_2O=∠Q_2Q_3B=∠Q_4Q_3O <45°
45°< ∠AOB+∠Q_4Q_3O=∠Q_3Q_4A=∠Q_5Q_4O <60°
60°< ∠AOB+∠Q_5Q_4O=∠Q_4Q_5B=∠Q_6Q_5O <75°
75°<∠AOB+∠Q_6Q_5O=∠Q_5Q_6A=∠Q_7Q_6O <90°
75°< 180-∠AOB-∠Q_7Q_6O=∠Q_6Q_7O=∠Q_8Q_7B <90°
60°< ∠Q_8Q_7B-∠AOB=∠Q_7Q_8O=∠Q_9Q_8A <75°
45°< ∠Q_9Q_8A-∠AOB=∠Q_8Q_9O=∠Q_10Q_9B <60°
30°< ∠Q_10Q_9B-∠AOB=∠Q_9Q_10O=∠Q_11Q_10A <45°
15°< ∠Q_11Q_10A-∠AOB=∠Q_10Q_11O=∠Q_12Q_11B <30°
0°< ∠Q_12Q_11B-∠AOB=∠Q_11Q_12O=∠RQ_12A <15°

最大反射回数は
12
回です
n回目に反射した点をQ_n
最初の入射角∠PQ_1B
0°<∠PQ_1B<15°
最後の反射方向点R
とすると
0°< ∠PQ_1B=∠Q_2Q_1O <15°
15°< ∠AOB+∠Q_2Q_1O=∠Q_1Q_2A=∠Q_3Q_2O <30°
30°< ∠AOB+∠Q_3Q_2O=∠Q_2Q_3B=∠Q_4Q_3O <45°
45°< ∠AOB+∠Q_4Q_3O=∠Q_3Q_4A=∠Q_5Q_4O <60°
60°< ∠AOB+∠Q_5Q_4O=∠Q_4Q_5B=∠Q_6Q_5O <75°
75°<∠AOB+∠Q_6Q_5O=∠Q_5Q_6A=∠Q_7Q_6O <90°
75°< 180-∠AOB-∠Q_7Q_6O=∠Q_6Q_7O=∠Q_8Q_7B <90°
60°< ∠Q_8Q_7B-∠AOB=∠Q_7Q_8O=∠Q_9Q_8A <75°
45°< ∠Q_9Q_8A-∠AOB=∠Q_8Q_9O=∠Q_10Q_9B <60°
30°...続きを読む

Q内積、外積の意味

こんにちは。
学生から離れて少し経ちますが、すっかり上記のことを忘れてしまいました。

タイトルの通り、内積、外積の意味を教えていただきたいのです。
内積は結局これを意味していて、外積はこれのことだ!
というように。

式は分かりますが、いまいちその意味がわかりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

内積:
一方のベクトルを他方のベクトルへ正射影させた値と、
その他方のベクトルの絶対値との積で表したスカラー値
を求めることです。

外積:
2つのベクトルが2辺をなす平行四辺形の面積の値と
同じ大きさで、2つのベクトルで作られる平面に
垂直なベクトル(向きは右手系か左手系で逆になる)
を求めることです。

Q上低 AD=2、下底 BC=3、AB=1,∠B=60°の台形ABCD

上低 AD=2、下底 BC=3、AB=1,∠B=60°の台形ABCDがある。BC→の向きの単位ベクトルをu→、BA→の向きの単位ベクトルをv→とするとき
(1)BD→、CD→をu→、v→で表せ
(2)BD→、CD→のなす角をαとしてSinαを求めよ。
(3)また、AD,CDの中点をそれぞれM.Nとするとき、BD→・MN→を求めよ。

→回答
(1)はとけました。 こたえはーu→+v→です。
(2)もとけました。
(3)がとけませんでした。

(3)の回答を教科書で確認したら、
BD・MN=(v→+2u→)・(3/2×U→ー1/2 ×v→)と式が出来てました。

BDは(1)BA+ADを求めると、(図をかいてみると解りました)v→+2u→となるのがわかったのですけど、MNがどうして(3/2)U -(1/2)vとなるのか解りませんでした。どなたか教えてください。
宜しくお願いします!!>_<

Aベストアンサー

MN→=BN→-BM→・・・(1)です。
MはADを1:1に内分するから、分点のベクトルの公式で
BM→=(BA→+BD→)/2・・・(2)
同様に、NはCDを1:1に内分するから、
BN→=(BC→+BD→)/2・・・(3)
(2),(3)を(1)に代入すると、
MN→=(BC→+BD→)/2-(BA→+BD→)/2
   =(BC→)/2-(BA→)/2
ここで、BC→=3u→、BA→=v→なので、
MN→=(3/2)u→-(1/2)v→  となります。

Q内積、外積の発想はどのようにしてなされたのですか?

意識的にしろ、無意識的にしろ、内積や外積が考えられたのには、何かしらの背景があると思うのですが、歴史的に見て、また、その当時の社会的背景などをかんがみて、これらの概念はどのように生まれたのでしょうか?

私は大学1年生なので、かっちりした数学を学習しておらず、厳密な定義などを言われても分からないのですが、こんな感じで生まれた、または、こんな疑問からの発想で生まれたんじゃないかな、というような意見を教えていただければと思います。もちろん、歴史を絡めていただけると、なおありがたいです。

よく、内積は物理の仕事から、外積は物理の力のモーメントからなどと言われていますが、なんだか納得できません。
線形空間などに計量できるように内積を導入するなどと見ましたが、どういう意味か全くわかりません。だれか教えてくれませんか?
また、内積や外積はベクトルについて考えていれば自然に考えが生まれるなど、詳細を書かずに一般論を言われている方もいましたが、一体その「自然」とは?
確かに自然数について考えて入れば加法や減法といった演算は自然に考え付くのかなと想像はできますが、それは自然数というものを人間が直感によって理解しやすいものだからなのではないでしょうか?ベクトルへの人間の理解とは全く程度が異なるような感じがして、なんだかこの手の回答は理解できませんでした。


どこが自然なのか?何を考えて内積や外積に気がついたのか?
なにか知っていましたら教えていただければと思います。
また、内積や外積について、そのように定めたことによって得られたものなどを、内積という概念が導入された経緯とともに教えていただければとても助かります。


※現代において厳密に整備された概念や、内積をもとにして生み出された概念、また公理的な概念による説明などはこの質問の意図するところではありません。自然数とは何かと聞かれて、ペアノの公理を説明するような回答は望んではいないということです。あくまで「直感」的な立場の回答をお願いいたします。また、簡単に思いつくような、検索欄に「内積 歴史」などによって調べて出てきた日本語でのネット上のページや、知恵袋、okwaveといった質問投稿サイトでの同様の質問はいろいろと見てみましたし、大学の図書館で言及しているものがないかをパラパラと調べてみましたが、結局知りたい情報はありませでした。(英語のサイトは、英語があまり得意ではなく、挫折してしまったので、そちらの情報などで役に立つものがあるのかもしれませんけれども・・・)
どなたか内積の歴史などについて言及している本をご存じではありませんか?
知っていましたら是非教えてください。


回答、よろしくお願いいたします。
皆さまの回答、お待ちしております。

意識的にしろ、無意識的にしろ、内積や外積が考えられたのには、何かしらの背景があると思うのですが、歴史的に見て、また、その当時の社会的背景などをかんがみて、これらの概念はどのように生まれたのでしょうか?

私は大学1年生なので、かっちりした数学を学習しておらず、厳密な定義などを言われても分からないのですが、こんな感じで生まれた、または、こんな疑問からの発想で生まれたんじゃないかな、というような意見を教えていただければと思います。もちろん、歴史を絡めていただけると、なおありがた...続きを読む

Aベストアンサー

内積や外積、ベクトルの起源は、ハミルトンの四元数です。四元数の純虚数空間の数をベクトルと呼びます。
ベクトルの積を求めます。
z=bi+cj+dk
w=qi+rj+sk
とすると、
z*w
=(-bq-cr-ds)
+(cs-dr)i
+(-bs+dq)j
+(br-cq)k
となります。
このz*wの実数部分が内積のマイナス1倍であり、虚数部分が外積になっているのがわかります。このため、四元数の積を簡単に表すために内積や外積が生まれました。
ベクトルについては今使われる意味に変わっていきましたが、そこでも内積や外積は特に物理を通じて役立つものだったため四元数の概念が衰退した後も定着していくことになります(四元数自体もかなり復権していますが)。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qベクトル、内積、外積など

ベクトル、内積、外積など

はじめまして、私は情報系の分野を専門的に学習している学生です。
情報分野ではそれなりの知識を持っているので、あえて数学的な
質問をさせていただきます。

  ・三次元平面上に点ABCがあります。

  ・点ABCを含む平面上に点Pがあります。

三角形ABC内に点Pが存在することを確かめるには、
どのようにすればよいでしょうか?

またこれには以下のような制約があります。

  ・パソコン上で計算するので、なるべく計算回数
   (特に乗算、除算)を抑えたい。

  ・パソコン上では三角関数などは級数なので精度、
   処理速度、共に両立できない。

なので、なるべく少ない計算量で、四則演算のみを用いた
解法が必要です。

以下は私の考えた手順ですが、

  (1)ベクトルBcとBa(もしくはBp)との外積によりベクトルNを得ます。

  (2)ベクトルNとBcとの外積によりBcに直行するベクトルBc´を得ます。

  (3)ベクトルBc´とBpとの内積が負ならば、点Pは線分B-Cの外に位置します。

  これをB-C、C-A、A-Bと行うことで判定します。

これでは外積を2回、内積を1回計算する必要があり、計算量が多いので
より簡潔な手法が必要です。




(本当に数学って大切ですね、もっと勉強しておけばよかった(^^;)

ベクトル、内積、外積など

はじめまして、私は情報系の分野を専門的に学習している学生です。
情報分野ではそれなりの知識を持っているので、あえて数学的な
質問をさせていただきます。

  ・三次元平面上に点ABCがあります。

  ・点ABCを含む平面上に点Pがあります。

三角形ABC内に点Pが存在することを確かめるには、
どのようにすればよいでしょうか?

またこれには以下のような制約があります。

  ・パソコン上で計算するので、なるべく計算回数
   (特に乗算、除算)を抑えたい。

  ・パソ...続きを読む

Aベストアンサー

点Pが点ABCを含む平面上にあるなら、
ベクトルAbとApとの外積、ベクトルBcとBpとの外積、ベクトルCaとCpとの外積
この3つのベクトルは平面の法線ベクトルなので、同じ方向か逆方向のベクトルになります。

3つとも同方向なら点Pは三角形ABC内です。

2つのベクトルが同方向か逆方向かは内積の正負で判断できます。

Q直角三角形ABCがあります(∠B=90°)AB=3cm、BC=4cm、

直角三角形ABCがあります(∠B=90°)AB=3cm、BC=4cm、CA=5cm(斜辺)。またその三角形の内側に接している2つの正方形があります。
1つは、辺AB上に点D、辺BC上に点F、辺CA上点Eをとる正方形です。(DB=BF=FE=ED)
もう1つは、辺FC上に点H、辺CE上に点I,J、辺EF上に点Gをとる正方形です。(HI=IJ=JG=GH)

(1)大きな正方形の1辺の長さを求めなさい。
(2)小さな正方形の1辺の長さを求めなさい。

三角形ABCと相似になる三角形を見つけるのはわかるのですが、そこからどう求めていいのか教えてください。

Aベストアンサー

(2)ですが・・小さい正方形の一辺の長さをycmとしてそれについている2つの三角形△EGJと△GFH
の相似比で求められると思います

まず△GFHの辺GFの長さをxcmするとここに登場する三角形は相似で、辺の比は3:4:5なので
GF:GH=x:y=3:5になります
これより5x=3y
x=(3/5)y

次に辺EFの長さは(1)より12/7cmなので辺EGは(12/7-x)cmになりますので
EG:GJ=(12/7-x):y=5:4
これより5y=4(12/7-x)
5y=48/7-4x

x=(3/5)yを代入して
5y=48/7-4×(3/5)y
5y=48/7-(12/5)y
(37/5)y=48/7
y=(48/7)×(5/37)
=240/259

となります。NO2さんと同じ答えになると思います
y=240/259cm

Q内積と外積の物理的意味を教えてください

内積と外積の物理的意味がわからないです。
内積は結果がスカラーになり、外積は方向と大きさをもつベクトルになるということはわかるのですが、「物理的意味」ということがよくわかりません。

Aベストアンサー

すいません、URL張り忘れました。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/product.html

Q「空間において,異なる2定点A,Bがあるとき,P=Aまたは∠BAP=90°である点P全体は平面をなす

「空間において,異なる2定点A,Bがあるとき,P=Aまたは∠BAP=90°である点P全体は平面をなす」
上の事実を用いて空間においてn→を0→でない定ベクトルとするとき,ベクトル方程式

n→・x→+d=0(dは定数)は平面を表すことを証明せよ。


……という問題なんですが、さっぱり分かりません。教えてください。
ちなみに、「n→」は「ベクトルn」という意味です。分かりづらくてすみません。

Aベストアンサー

n→≠0 なので、x₀→=-(d/n²)n→ (nはn→の大きさ)とおくと、n→・x₀→+d=0
はわかりますね。
このx₀→を位置ベクトルとする点をA、Aからn→を立ててその終点をB、ベクトル方程式の
x→を位置ベクトルとする点をPとすれば、
n→・x→+d=0 n→・x₀→+d=0を辺々引いてn→・(x→-x₀→)=0で、n→=ABベクトル
x→-x₀→=APベクトルだから、APベクトルがABベクトルに直角すなわち∠BAP=90°となるので
もとのベクトル方程式はある平面をあらわしています。


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