累積密度関数および確率密度関数から同時確率密度関数を求める

東京書籍「日本統計学会公式認定　統計検定１級対応　統計学」の練習問題　問1.1を解きたいです。
初歩的なところで理解できず、教えてください。

累積密度関数が、
G1(x)=x^2
G2(y)=1-(1-y)^2

確率密度関数が、
g1(x)=2x
g2(y)=2(1-y)

のとき、XとYの同時分布関数はG(x,y)=y(2x-y)である、と突然出てくるのですが、
どういう計算で　y(2x-y)　が導出できるのでしょうか。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/26 00:07

怖くて踏めないリンク先についてのNo.3によるご説明：

　　x = max(U,V), y = min(U,V)
　　U,Vは互いに独立で[0,1] の一様分布に従う。
ということから、ご質問の問題では(x, y)の確率密度が図のように与えられていることがわかります。図の緑色の所では確率密度がどこも2、他の所はどこも0です。
　なので、G1,G2,g1,g2がどうなるかは（ご質問に書くまでもなく）一目瞭然。（なお、ご質問に書いてある式は合っている。）

　で、G(x,y)というのは、図の赤枠内の確率密度の積分。すなわち、
　「図の緑の三角形と赤枠が重なる部分の面積の2倍はいくらですか」
という小学生の問題であることがわかります。（2倍が付くのは「緑色の所では確率密度がどこも2」だから。）

　こんなもん、「突然出て」来てもちっともおかしくないですね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/19 12:44

#1さんへの「お礼」に書かれたリンク先などを見ると、

　X = max(U, V)
　Y = min(U, V)
　U, V は区間 [0, 1] の一様分布
という条件があるみたいですね。
つまり
　0≦y≦x≦1
という定義域になります。

それを抜きにして「質問文」だけからはきちんとした回答はできませんよ。

X と Y は独立ではありませんから、それぞれの確率密度関数をかけ合わせて「同時確率密度関数」にすることはできません。

＞どういう計算で　y(2x-y)　が導出できるのでしょうか。

上記の条件での「同時確率とはどういう事象の確率か」を考えて導出する必要があります。
リンク先の「サイコロの例」は分かりやすいですね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/18 17:42

> 質問文がそもそも必要な情報が不足

勝手に色々端折ったんでしょう。本来の問題文を丸ごとupなさってはいかが？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/18 14:11

G1, G2が累積密度関数になってるかどうかはx, yの定義域をはっきりしなきゃ話にならん、ということと、xとyの関係が分からなくちゃ同時分布がどうなるか分からない、ということを、まずは理解してなくちゃいけないでしょう。

　ま、G1, G2が累積密度関数なんだと主張する以上は、式から見て定義域は x∈[0,1]、y∈[0,1] なのだろう。g1, g2は確かにG1, G2の導関数である上にこの定義域で非負なので、ここまでは話の辻褄が合う。
　さて、ご質問のG(x,y)は、たとえばG(0,1) = -1 ＜ 0 になるから、分布関数（累積密度関数）でも確率密度関数でもありえないのは明らか。つまり、ご質問は辻褄が合っていないということです。

　なお、仮にxとyが独立だとすれば、同時確率密度関数はg1(x)とg2(y)の積
　　g(x,y) = g1(x) g2(y) = 4x(1 - y)
になる。

この回答へのお礼

私の質問文がそもそも必要な情報が不足しているとのことですね。理解不足すぎますね、、回答とご指摘にお礼申し上げます。

有名な書籍なのでネット上に模範解答があるだろうと思い探しまして、幸い、解説しているサイトを見つけました。一歩ずつ、理解したいとおもいます。。

https://note.com/sandstics/n/nda5c14bd6c87

お礼日時：2024/02/18 14:37