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今、有利関数を部分分数展開するところを学習しているのですが、ちょっと疑問に思ったことがあるので質問させていただきます。

参考書には例として以下のように乗っています。

P(x)/Q(x)=1/(x-1)(x+3)^3(x^2+2x+2)^2
=A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3+Ex + F/(x^2+2x+2) + Gx+H(x^2+2x+2)^2
(但し(Pの次数)<(Qの次数))

のように載っています。つまりは積分ができるように変形しているにすぎないのですが、ここで1つ疑問ができたのです。
分母の次数より分子の次数が小さくしなければならにわけですが、分母が(x+3)^2や(x^2+2x+2)の次数は2時ですので次数は定数か1次になるわけです。
部分分数展開するときは分子を文字で置くのがセオリーですが、定数か1次式でおく判断はどのようにつけたらいいのでしょうか?(分子をAとおくのかAx+Bとおくのか)

ある問題では分母が2次式で分子は定数で置いたり、ある問題では分母が2次で分子は1次で置いてたりしてます。


1/(x-1)(x^2+1)^2
=A/(x-1) + Bx+C/(x^2+1) + Dx+E/(x^2+1)^2

とおくのが正解になっています。第1項は納得なのですが
第2項は分母が2次なので2次より小さければよいので定数ではいけないのか?第3項に至っては分母が4次式になるので分子を3次式もしくは2次式、定数でなくてはいいのか?というのが質問の核となる部分です。

随分ながくなりましたがどうかご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願い致します。

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A 回答 (6件)

>P(x)/Q(x)=1/(x-1)(x+3)^3(x^2+2x+2)^2


=A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3+(Ex + F)/(x^2+2x+2) + (Gx+H)/(x^2+2x+2)^2
について言えば、

前半については
A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3
=(a x^2+ b x^+c)/(x+3)^3
の形に変形した場合、a,b,cが欠損なく存在すれば左辺の部分展開でよいことになります。a,b,cの項が1つでも欠損する展開はすべてを尽くしていないことになり不完全ということになります。

同様に後半についても
>(Ex + F)/(x^2+2x+2) + (Gx+H)/(x^2+2x+2)^2
=(e x^3+ f x^2+ g x + h)/(x^2+2x+2)^2
と変形した場合、
e,f,g,hが欠損なく存在すれば左辺の部分展開でよいことになります。e,f,g,hの項が1つでも欠損する展開はすべてを尽くしていないことになり不完全ということになります。
上記のA,B,~,Fのいづれかの係数をゼロとした場合、右辺のa,b,~,fの係数が1つでも欠損すれば正しい展開といえなくなります。確認してみてください。

例についても同様です。
>1/(x-1)(x^2+1)^2
=A/(x-1) + Bx+C/(x^2+1) + Dx+E/(x^2+1)^2

前半について
A/(x-1) これは問題なしですね。
後半について
(Bx+C)/(x^2+1) + (Dx+E)/(x^2+1)^2
=(b x^3+ c x`2 + d x + e)/(x^2+1)^2
の右辺のb,c,d,eがゼロでないA,B,C,D,Eの式で値が定まれば展開が正しい(左辺と右辺は恒等式)ことになります。
この観点から左辺のBやDをゼロとおいた場合、ゼロでないb,c,d,eの組が定まるか調べてみてください。
そうすれば部分分数の展開式の分子が一次式でないといけないこと(あるいは冗長であるか)が理解できると思います。
確認してみてください。
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この回答へのお礼

>前半について
.A/(x-1) これは問題なしですね。
>後半について
>(Bx+C)/(x^2+1) + (Dx+E)/(x^2+1)^2
>=(b x^3+ c x`2 + d x + e)/(x^2+1)^2
長い式を計算してうまくいかないから次数を変えてみるということをしてしまう前にこのように
演算して次数を決めておけばいいんですね。
わかりやすく説明していただきましてありがとうございました。

お礼日時:2005/05/08 22:44

>ある問題では分母が2次式で分子は定数で置いたり、


>ある問題では分母が2次で分子は1次で置いてたりし
>てます。

これが、「分母(x+3)^2に対する分子を定数と置くこと」に対する疑問であれば、次の式変形で納得いきませんか?

a/(x+3) + (bx+c)/(x+3)^2
= a/(x+3) + {b(x+3)+(c-3b)}/(x+3)^2
= (a+b)/(x+3) + (c-3b)/(x+3)^2
= A/(x+3) + B/(x+3)^2
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この回答へのお礼

このように式変形すれば確かに納得です。
脱帽です。ありがとございました。

お礼日時:2005/05/08 22:49

修正



FとGを互いに素な多項式とし
fgを次数がF・Gの次数未満の多項式とする
定理(ユークリッドの互除法による定理)により
適当な多項式f、gによって
fg=g・F+f・G
とおける
両辺をF・Gで割って
fg/F/G=g/G+f/F
となる
gをGで割ったあまりをg’、商をg”とし
fをFで割ったあまりをf’、商をf”とすると
fg/F/G=g’/G+f’/F+f”+g”
である
xを∞にすればわかるように当然f”+g”≡0
よって
fg/F/G=g’/G+f’/F
よって次の定理が成立する

定理
F、Gを互いに素な多項式とし
fgを次数がF・Gの次数未満の多項式とすると
Gの次数未満の適当な多項式gと
Fの次数未満の適当な多項式fにより
fg/F/G=f/F+g/G
となる

F,G,Hが互いに素な多項式ならば定理を使って
fgh/F/(G・H)=f/F+gh/(G・H)
となりさらにこの式の右辺第2項に定理を使って
fgh/F/G/H=f/F+g/G+h/H
がわかる
fgh、f、g、h、ghの定義はいわずもがな

注意
fgはf×gではなくひとつの多項式
gh、fghも同じ


なお
hの次数がF^2の次数未満であるとき
hをFで割ったあまりをh’、商をh”とすると
h/F^2=h’/F^2+h”/F

h/F^nの場合もこのようにして
/F、/F^2、/F^3、・・・
の項に分解していく



例えば
fg2h3を次数がF・G^2・H^3の次数未満の多項式とすると
fg2h3/F/G^2/H^3
=f/F+g/G+g2/G^2+h/H+h2/H^2+h3/H^3
とおける
ただし
fは次数がFの次数未満の多項式
g、g2は次数がGの次数未満の多項式
h、h2、h3は次数がHの次数未満の多項式
である
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この回答へのお礼

長文ありがとうございました。

しかし私には少し内容が難しくてハードルが
高かったようです。もう少し勉強してから
この文章を理解しようと思います。

ありがとうございました。

お礼日時:2005/05/08 22:48

No.2で、「最初から m 次式と仮定」を「最初から m-1 次式と仮定」に訂正します。


------------------------
なお、3乗の場合も同様です。

n=3m-1 とし、n次の任意の整式 P(x) と、m次の任意の整式 K(x) を考えます。

P(x)を K(x)^2 で割り、商の m-1 次式 Q(x)と、余りの 2m-1 次式 R(x)を求めます。
さらに、R(x)を K(x)で割り、商の m-1 次式 S(x)と、余りの m-1 次式 T(x)を求めます。
すると、
 P(x) = {K(x)^2} Q(x) + K(x) S(x) + T(x)
両辺を K(x)^3 で割ると、
 P(x)/{K(x)^3} = Q(x)/K(x) + S(x)/{K(x)^2} + T(x)/{K(x)^3}

これを逆に使いますと、P(x)/{K(x)^3}という分数式があって、これを
 P(x)/{K(x)^3} = Q(x)/K(x) + S(x)/{K(x)^2} + T(x)/{K(x)^3}
と分解したいとき、Q(x)とS(x)とT(x)は最初から m-1 次式と仮定することができます。
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この回答へのお礼

このようなやり方もあるのですね。
非常に勉強になりました。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2005/05/08 22:46

FとGを互いに素な多項式とし


fgを次数がF・Gの次数未満の多項式とする
定理により
適当な多項式f、gによって
fg=f・F+g・G
とおける
両辺をF・Gで割って
fg/F/G=f/G+g/F
となる
fをGで割ったあまりをf’、商をf”とし
gをFで割ったあまりをg’、商をg”とすると
fg/F/G=f’/G+g’/F+f”+g”
である
xを∞にすればわかるように当然f”+g”≡0
よって
fg/F/G=f’/G+g’/F
よって次の定理が成立する

定理
F、Gを互いに素な多項式とし
fgを次数がF・Gの次数未満の多項式とすると
Gの次数未満の適当な多項式gと
Fの次数未満の適当な多項式fにより
fg/F/G=f/F+g/G
となる

F,G,Hが互いに素な多項式ならば定理を使って
fgh/F/(G・H)=f/F+g/(G・H)
となりさらにこの式の右辺第2項に定理を使って
fgh/F/G/H=f/F+g/G+h/H
がわかる

注意
fgはf×gではなくひとつの多項式
fghも同じ


なお
hの次数がF^2の次数未満であるとき
hをFで割ったあまりをh’、商をh”とすると
h/F^2=h’/F^2+h”/F

h/F^nの場合もこのようにして
/F、/F^2、F^3、・・・
の項に分解していく
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n=2m-1 とし、n次の任意の整式 P(x) と、m次の任意の整式 K(x) を考えます。



P(x)をK(x) で割り、商の m-1 次式 Q(x)と、余りの m-1 次式 R(x)を求めます。
すると、
 P(x) = K(x) Q(x) + R(x)
両辺を K(x)^2 で割ると、
 P(x)/{K(x)^2} = Q(x)/K(x) + R(x)/{K(x)^2}

これを逆に使いますと、P(x)/{K(x)^2}という分数式があって、これを
 P(x)/{K(x)^2} = Q(x)/K(x) + R(x)/{K(x)^2}
と分解したいとき、Q(x)とR(x)は最初から m 次式と仮定することができます。

これでどうでしょう。わかりにくければ補足してください。
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