直線の通過範囲についての問題です。「実数tによって定まる2点P(0,-t) , Q(t , t^2 - t)がある。tがすべての正の実数を動くとき線分PQが通過する範囲を図示せよ。」
という問題についてなのですが、一行目に「実数t」という表現があるにもかかわらす、「tがすべての正の字数を動く」とはどういうことでしょうか。おかしくないでしょうか。「実数」と「正の実数」では明らかにイコールではないですよね。どう考えればよいのでしょうか。

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A 回答 (8件)

この問題は


「tは別にどんな実数値をとっても構わないのだが、tの変域を正の数に限ったら、題意の線分はどのような範囲を動きうるか」と解釈すべきでしょう。

例えば
「自然数nに対して2nを対応させる決まりf(n)を考える。nが「2,3,4,5」のいずれかの値を取る時、f(n)の取りうる値は何と何があるか」
という問題を考えてみれば分かると思います。この問題の答えは「4,6,8,10」であって、「総ての偶数」ではないはずです。
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この回答へのお礼

どうもお返事ありがとうございます。実例で御説明してくださって、深く理解できました。再び問題文を見直してみると、仰るように考えられました。なぜ、気づかなかったのかというと、多分少し見慣れていなかったんだと思います。

お礼日時:2001/09/20 00:52

どうやら方程式は合っているようです。

さて解説しましょう。
「直線PQの方程式は(x,y+t)・(t^2,-t)=0 」
なぜこれが求める式になるのかわからないのか。

一般に直線L:ax+by+c=0の法線ベクトルは、P=(a,b)である。
<証明>
与式⇔by=-ax-c
b=0のときは自明。
b≠0のとき、両辺をbで割って、
y=(-a/b)x+(-c/b)
このとき、直線Lの方向ベクトルQ=(-b,a)=(b,-a)(∵傾きを考えよ)
よって、(a,b)・(-b,a)=(a,b)・(b,-a)=0なので、
直線Lの法線ベクトルはP=(a,b)(∵あるベクトルとあるベクトルが垂直⇔内積=0)

<考察>直線の方程式を求めるには、次のようにすればよい。
その直線上の点(x,y)とし、その直線上のわかっている点を(p,q)とすれば、
直線の方向ベクトルL=(x-p,y-q)である。
よって法線ベクトルm=(a,b)と垂直より、
(a,b)・(x-p,y-q)=0(もうわかっていると思うが、この場合・は内積を表わしている)
⇔ax+by-ap-bq=0
⇔ax+by+c=0(c=-ap-bq)
とこのように簡単に出来る。

さてこれでご質問は簡単に理解できるだろう。ご自分でお考え下さい。

>回転曲線群と回転直線がどのような物なのかわからないので、お教えいただけますでしょうか。何度もすいません。
私の間違いです。
回転曲線群ではなく、「回転直線群」と、次に回転直線ではなく「回転直線群」と直してください。

ところで解答は合っているでしょうか。実は疲れてたので見直してないんですよね。
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。ご説明していただいたおかげで、やっとわかりました。ありがとうございました。

>求める領域は(過程省略)
1<x,0≦yのとき、0≦x^2-x≦y
x<1,y≦0のとき、y≦x^2-x≦0
但し点(1、0)はこれに含まれる。
以上これでどうだ。

解答の方なのですが、図を見てみると、「x<1,y≦0のとき、y≦x^2-x≦0 」→「0≦x<1,y≦0のとき、y≦x^2-x≦0 」です。Q(0,-t)なので。
お返事ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/22 00:27

ああやっちまった。

計算間違いです。

→PQ=(t,t^2)∴→PQの法線ベクトル=(t^2,-t)
直線PQの方程式は(x,y+t)・(t^2,-t)=0
⇔(t^2)x-t(y+t)=0
⇔(t^2)x-ty-t^2=0…☆
を実数tとしてまず解いてみよう。
<解>
t≠0のとき、☆式はtで割って、tx-y-t=0…☆この式をtについて整理すると、
t(x-1)-y=0
これは直線x=1,y=0の交点を通る回転曲線群である。
但し、tがどの値をとっても点(1,0)以外の直線x-1=0は成り立たない。
t=0のときを考えると点(0、0)のとき成り立ちこれは 上記の回転直線に含まれる。
よって、答えは
「x、y平面上のすべての領域を点(1.0)以外の直線x=1を除いて塗りつぶせばよい。」

さて上の解はtに制限をつけない場合である。
私は多くの問題を自然に式の値を求めるのが好きなんだがこの場合は無理だ。
そこで逆の対応の概念でやると、(s-wordさんがやっているのは普通に代入するやり方)

求める領域は(過程省略)
1<x,0≦yのとき、0≦x^2-x≦y
x<1,y≦0のとき、y≦x^2-x≦0
但し点(1、0)はこれに含まれる。

以上これでどうだ。
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。

>→PQ=(t,t^2)∴→PQの法線ベクトル=(t^2,-t)
直線PQの方程式は(x,y+t)・(t^2,-t)=0
⇔(t^2)x-t(y+t)=0
⇔(t^2)x-ty-t^2=0…☆
を実数tとしてまず解いてみよう。

すいません、この部分がよくわからないのですが。まず法線ベクトルの決め方なのですが、これは無数にあるので一例を決めればよいのですよね。そこで、しての式なのですが、

「直線PQの方程式は(x,y+t)・(t^2,-t)=0 」
この(x,y+t)は何を表しているのかよくわかりません。それと、(x,y+t)とPQの法線ベクトルを掛けることで、なぜ、直線PQの方程式になるのかがわかりません。それと、回転曲線群と回転直線がどのような物なのかわからないので、お教えいただけますでしょうか。何度もすいません。

お礼日時:2001/09/21 00:02

<訂正>


線分という条件を忘れていました。
tで場合分けをしないといけませんね。

0≦tのとき、
0≦x≦t,-t≦y≦t^2-t

t<0のとき、
t≦x≦0,-t≦y≦t^2-t
ですね。
さて考えますか。しかし本当に直線ではなく線分ですか?
まだやっていませんが、かなり面倒だと思いますよ。だからt≧0に限定したのかなあ。

この回答への補足

お返事どうもありがとうございました。解答とは、違うやり方をされているようです。すいません、newtype様がやっていらっしゃることが私はよくわからないのですが。
解答では、直線PQの式を2点P,Qから、y=t(x-1) とだし、
t>0 に注意して、まず図示してから、線分を考えるために、Qのパラメーターから、座標表示になおして2次関数
y=x^2 - x を図示し、それと、点P(0,-t)を少しずつ、
t=1,2,3,・・・・・と結んでいくと、領域がができあがるようです。そのときに、どの線分PQも(1,0)を通るようになっています。線分ですから、全部の線分が、(1,0)を通るわけではなく、Qのx座標が、1より小さいときは、延長すると通るようになっている図です。こんな作図の仕方もあるんですね。ちょびちょび動かしてどんな感じか、探るっていう類の。式で決まるものだとばかり思っていましたが。

補足日時:2001/09/20 01:10
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→PQ=(t,t^2-2t)∴→PQの法線ベクトル=(t^2-2t,-t)


直線PQの方程式は(x,y+t)・(t^2-2t,-t)=0
⇔(t^2-2t)x-t(y+t)=0
⇔(t^2-2t)x-ty-t^2=0…☆
を実数tとしてまず解いてみよう。
<解>
t≠0のとき、☆式はtで割って、(t-2)x-y-t=0…☆この式をtについて整理すると、
t(x-1)-2x-y=0
これは直線x=1,-y=2xの交点を通る回転曲線群である。
但し、直線x=1のときを除く。(理由わかるね?)
t=0のときも点(1、-2)のときを除けば成り立つ。
よって、答えは
「x、y平面上のすべての領域を直線x=1を除いて塗りつぶせばよい。」

<考察>この問題を作った人は「答えがあまりにもセンスが感じられない」と編集者から文句をいわれ、仕事を干されるてはたまらんと脅えてあわてて問題を作り変えた。だから最初から「tがすべての実数のとき」と書かなかったのでしょう。
なさけない話です。
「これは直線x=1,-y=2xの交点を通る回転曲線群である。」
と書きましたがこの交点を包絡点といいます。

xやyの係数にどうしてもt^2やt^3や√(t^2+1)などがついた場合はこのような解き方はできません。その場合、求める領域は直線がある曲線に接することを用いてその曲線を求め、x=f(t)あるいはy=g(t)で接することを利用し、領域を図示する。ある曲線のことを包絡線といい、さっきの包絡点の2次元版です。
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実数 と 正の実数 はイコールではないですね。



でも問題はおかしくはありませんよ。

例えば 
実数tによって定まる t^2+t-6=0
のtが正の場合をグラフに図示せよ
という問題はみかけたことはありませんか?

実際にPとQをグラフに書いてみましたか?
tが負の時については、正がわかればどうでもいいことだと
気が付くと思います。
出題者の意図を読むのも面白いですよね。

ただ、PとQはtが虚数ということはありえない
ということを言いたいだけなのでは?
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この回答へのお礼

>例えば 
実数tによって定まる t^2+t-6=0
のtが正の場合をグラフに図示せよ
という問題はみかけたことはありませんか?

なるほど、その場合と一緒に考えるんでねすね。確かに問題文はどこもおかしくないように見えてきました。

>実際にPとQをグラフに書いてみましたか?
tが負の時については、正がわかればどうでもいいことだと気が付くと思います。

定点(1 , 0)を通る直線群ですよね。それが、tの傾きにきまるという。なるほど、定点を出せば、あとは別にtが負の数をとろうと考えなくてよく、あとは線分の話に移項すればよいのですね。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/20 01:07

問題の文章は特におかしくはありません。


単に、tが負の実数を動くときの範囲は図示しないで
ください、と言っているだけですよ。
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この回答へのお礼

ご回答してくださってどうもありがとうございます。そういうことだったのですね。問題の意図をくみ取れませんでした。冷静になって考えれば確かにそう読めました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/20 00:46

多分、問題製作者が、色々と問題文を考えて書き直したりしているうちに、


前後の整合性が保てなくなったということですね。

もしこれが試験中に出題されていれば、質問することではっきりさせることが
出来ますね。

こういう問題が出されたら、いったん、実数上の範囲での答えを求めるほうが
いいかもしれません。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。はじめこの問題を見たときは、面くらってしまいました。きっちり読まなかったので少し混乱してしまいました。

お礼日時:2001/09/20 00:41

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Q直交する2直線

方程式2x^2-3xy+λy^2+5y+μ=0がxy平面上の直交する2直線を表すようにλ,μを定め、この2直線の方程式を求めよという問題なんですが、解き方、考え方が分かりません。
答は λ=μ=-2
  2x+y=2、2y-x=1 です。

直交する2直線が上方程式で表せれるということもよく分からないので、その辺りもよろしかったら教えてください。

Aベストアンサー

直線の式は ax+by+c=0 という風に表す、というのはOKですね。
与えられた式が(ax+by+c)(px+qy+r)=0 とできたとすると
ax+by+c=0 または px+qy+r=0 となり、2つの直線を表すことになります。
ここまでは、may-may-jpさんの回答の通りですが、ただ因数分解できるだけではλとμは特定できません。そこで必要になるのが「直交」の条件です。

直交する条件は2つの直線の傾きの積が-1になることです。
ax+by+c=0 を変形して y=(a/b)x+(c/b) ただし b≠0
同様に px+qy+c=0 を変形して y=(p/q)x+(r/q) ただし q≠0
とすると 傾きはそれぞれ a/b,p/qですか積が-1 すなわち
(a/b)・(p/q)=ap/bq = -1 ∴ ap = -bq が直交条件です。

なお、b=0(q=0)のときは直線はy軸に平行になります。このとき直交する直線はx軸と平行になり、xの係数が0 つまりp=0(a=0) になります。このときもap = -bq (=0)で成り立ちます。

さて(ax+by+c)(px+qy+r)=0 の左辺を展開すると
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となります。(途中の計算はご自分で確かめてください。)
ここで直交条件をみると x^2 とy^2の係数に注目すればよいことが分かります。
与式に戻って、2x^2-3xy+λy^2+5y+μ=0のx^2 とy^2の係数をみれば 2=-λ すなわちλ=-2が求められます。
これを代入して
2x^2-3xy+2y^2+5y+μ=0
これが(ax+by+c)(px+qy+r)=0 の形に因数分解できれば良いわけです。
x^2,y^2,xyの係数に注目すると
(2x+y+c)(x-2y+r)=0 --(*)という形になることは容易に分かります。
あとはx,yの係数から
2r+c=0
r-2c=5
の2式が出ますので、連立方程式を解いて
r=1, c=-2 よってμ=cr=-2
となります。
このrとcを(*)に代入すれば
(2x+y-2)(x-2y+1)=0 となり、直線の式は 2x+y-2=0,x-2y+1=0
と求まります。
答えの2x+y=2、2y-x=1 は上記の式の定数項を移行した形ですね。

直線の式は ax+by+c=0 という風に表す、というのはOKですね。
与えられた式が(ax+by+c)(px+qy+r)=0 とできたとすると
ax+by+c=0 または px+qy+r=0 となり、2つの直線を表すことになります。
ここまでは、may-may-jpさんの回答の通りですが、ただ因数分解できるだけではλとμは特定できません。そこで必要になるのが「直交」の条件です。

直交する条件は2つの直線の傾きの積が-1になることです。
ax+by+c=0 を変形して y=(a/b)x+(c/b) ただし b≠0
同様に px+qy+c=0 を変形して y=(p/q)x+(r/q) ただし...続きを読む

Qx,y,z,t∈R(実数)のとき,解を求めよ。

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どういう風にしたらいいか分からないので教えてください。

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>どういう風にしたらいいか分からないので教えてください。
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3x+4y+z=2  …(3)
-x-2y+z+4t=-1 …(4)

(2)-(1)   y+2z+3t=4 …(5)
(3)-(1)×3  y-2z-3t=-1 …(6)
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原点Oを通り互いに直交する2直線をm,nとしましょうか。交点は4つある。
A: mとx=-1との交点
B: mとx=3√3との交点
C: nとx=-1との交点
D: nとx=3√3との交点
P, Qってどれだよ?というのがソモソモの疑問デスヨネ?
(1) OP+OQがOA+OBのことなのだとすると(直線nには出番がありませんが)、OA+OBの最小値が1+3√3であることは自明。
(2) OP+OQがOC+ODでも同じです。(直線mには出番がありませんで)最小値は1+3√3。
(3) OP+OQがOA+OCのことなのだとすると(直線x=3√3には出番がありませんで)、△OACは直角三角形である。明らかに、直角二等辺三角形の場合にOA+OCが最小になるんで、2√2が答。
(4) OP+OQがOB+OCのことだったら(直線x=-1には出番がありませんで)、(3)と比べて、直角三角形の各辺の長さが3√3倍になるだけなので、(2√2)×(3√3)が答である。
 残る問題は、
(5) OP+OQがOA+ODであるとき。(ま、出題者の意図は専らこれなんでしょうけど、はっきり書いてないと(1)~(4)も省けません。)
 交差する相手の直線を x=-1とx=3√3じゃなくて一般にx=a, x=b (a≠0, b≠0)だとしてみましょう。
 そして、mの方程式を ux + vy = 0 とすると、v=0の場合にはmはx=aともx=bとも交点を持たない。また、u=0の場合にはnがaともx=bとも交点を持たない。だから(5)においては、これらの場合は除外してよろしい。というわけで、mの方程式を
   y = αx (α≠0)
と書いても差し支えない。このときnの方程式は
  y = x/α
です。
  A= (a, aα)
  D= (b, b/α)
であり、原点からの距離は
  OA = |A| = |a|√(1+α^2)
  OD = |D| = |b|√(1+1/(α^2))
である。
OA+OD をfと書くことにすると、
  f = |A|+|D| = |a|√(1+α^2) + |b|√(1+1/(α^2))
である。ここで
  z = α^2
とおくと zは正の実数 (z>0)です。zを使って
  f = |a|√(1+z) +|b|√(1+1/z)
と書き直します。さて、fの極小値を計算する。つまり方程式
  df/dz = 0
を満たすzを計算するわけで、df/dzを計算して方程式に代入すると
  |a|/(2√(1+z)) - |b|/(z^2)/(2√(1+1/z)) = 0
移項して分母を払うと
  |a|(z^2)√(1+1/z) = |b|√(1+z)
両辺を2乗して
  (a^2)(z^4)(1+1/z) = (b^2)(z+1)
つまり
  (a^2)(z^3)(z+1) = (b^2)(z+1)
z>0なので(z+1)で割って
  (a^2)(z^3) = (b^2)
a≠0なので
  z^3 = (b/a)^2
である。ただし、zは正の実数でなくてはならないのでした。
 ところで、aとbは0でない実数でした。なので、a,bを決めるとこの方程式を満たすzはいつも丁度ひとつ存在して、それは
z = ((b/a)^2)の立方根
です。これを
  f = |a|√(1+z) +|b|√(1+1/z)
に代入するとfの極値、つまりfの極小値あるいはfの極大値が得られる。
 ですが、fの極値を与えるzがただ一つしかなくて、しかもz→0やz→+∞のときにfが+∞に発散するんですから、極大なんてそもそも存在しないのは明らか。なので、この計算でfの極小値が得られ、これがfの最小値でもある。

原点Oを通り互いに直交する2直線をm,nとしましょうか。交点は4つある。
A: mとx=-1との交点
B: mとx=3√3との交点
C: nとx=-1との交点
D: nとx=3√3との交点
P, Qってどれだよ?というのがソモソモの疑問デスヨネ?
(1) OP+OQがOA+OBのことなのだとすると(直線nには出番がありませんが)、OA+OBの最小値が1+3√3であることは自明。
(2) OP+OQがOC+ODでも同じです。(直線mには出番がありませんで)最小値は1+3√3。
(3) OP+OQがOA+OCのことなのだとすると(直線x=3√3には出番がありませんで)、△OACは直角三角形であ...続きを読む

Qα_1,α_2,…,α_n が非零の時,e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt)が一次独立を示す問題です

Let α_1,α_2,…,α_n be distinct numbers, ≠0. Show that the functions
e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt) are lineraly independent over the complex numbers.
[Hint: Suppose we have a linear relation
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
with constants c_i,valid for all t. If not all c_i are 0,without loss of generality,we may assume that none of them is 0.Differentiate the above relation n-1 times. You get a system of linear equations. The determinant of its coefficients must be zero.(Why?) Get a contradiction from this.]

と言うe^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt)が一次独立を示す問題です。
(もし,c_iの一つでも非零なら全c_iも非零である事を使ってよいようです)
n-1回微分して得られる一次連立方程式の係数行列の行列式は

とりあえずn-1回微分してみましたらその係数行列の行列式が0でなければならない事から
矛盾を引き出せと述べてあります。

係数行列Aは
A:=
(c_1,c_2,…,c_n)
(c_1α_1,c_2α_2,…,c_2α_n)
(c_1α_1^2,c_2α_2^2,…,c_nα_n^2)
:
(c_1α_1^(n-1),c_2α_2^(n-1),…,c_nα_n^(n-1))

と書けると思います。

そして,その一次連立方程式は
At^(e^α_1t,e^α_2t,…,e^α_nt)=0
と書けます。
(但しtは転置行列を表す)

このdet(A)=0でなければならないのは何故なのでしょうか?

そしてdet(A)=0ならどうして矛盾なのでしょうか?

Let α_1,α_2,…,α_n be distinct numbers, ≠0. Show that the functions
e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt) are lineraly independent over the complex numbers.
[Hint: Suppose we have a linear relation
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
with constants c_i,valid for all t. If not all c_i are 0,without loss of generality,we may assume that none of them is 0.Differentiate the above relation n-1 times. You get a system of linear equations. The determinant of its coefficients must ...続きを読む

Aベストアンサー

この「ヒント」が・・・あんまりよくない気がする

・微分を繰り返して,方程式を作る
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
c_1α_1e^(α_1t)+c_2α_2e^(α_2t)+…+c_nα_ne^(α_nt)=0
・・・
c_1α_1^{n-1}e^(α_1t)+c_2α_2^{n-1}e^(α_2t)+…+c_nα_n^{n-1}e^(α_nt)=0
・t=0を代入する
c_1+c_2+…+c_n=0
c_1α_1+c_2α_2+…+c_nα_n=0
・・・
c_1α_1^{n-1}+c_2α_2^{n-1}+…+c_nα_n^{n-1}=0
これをcjについての連立方程式だとして整理すると,
係数の行列の行列式は
「ファンデルモンドの行列式」ってやつで
すぐ計算できる.
そうすると「αi」が全部違うから0ではない
つまり,係数が全部0になり一次独立.

ヒントの通りにするなら
without loss of generality,we may assume that none of them is 0.
の意味を理解して,やっぱりファンデルモンドで矛盾

この「ヒント」が・・・あんまりよくない気がする

・微分を繰り返して,方程式を作る
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
c_1α_1e^(α_1t)+c_2α_2e^(α_2t)+…+c_nα_ne^(α_nt)=0
・・・
c_1α_1^{n-1}e^(α_1t)+c_2α_2^{n-1}e^(α_2t)+…+c_nα_n^{n-1}e^(α_nt)=0
・t=0を代入する
c_1+c_2+…+c_n=0
c_1α_1+c_2α_2+…+c_nα_n=0
・・・
c_1α_1^{n-1}+c_2α_2^{n-1}+…+c_nα_n^{n-1}=0
これをcjについての連立方程式だとして整理すると,
係数の行列の行列式は
「ファンデルモンドの行列式」ってやつで
す...続きを読む

Q2直線が直交するように、A,Bと交点の途中式を教えてください

2直線が直交するように、A,Bと交点の途中式を教えてください

(1) (x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/A , (x+5)/3 = (y+6)/4 = z+B
A.A=6 B=4 交点(1,2,2)

(2) x+3 = (y-1)/2 = (z-7)/A , x/2 = (y-B)/5 = (z+2)/4
A.A=-3 B=7 交点(0,7,-2)

全く分かりません。例が参考にならないのでよろしくお願いします

Aベストアンサー

(1)
(x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/A
の方向ベクトルは(2,-3,A)

(x+5)/3 = (y+6)/4 = (z+B)/1
の方向ベクトルは(3,4,1)
2つの方向ベクトルが直交するから内積=0
(2,-3,A)・(3,4,1)=6-12+A=0 ∴A=6

この時前半の直線は
(x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/6(=kとおく)
媒介変数表現で
x=2k+3,y=-3k-1,z=6k+4…(1)

後半の直線は
(x+5)/3 = (y+6)/4 = (z+B)/1=h
とおけば媒介変数表現で
x=3h-5,y=4h-6,z=h-B…(2)

(1),(2)を連立方程式として解けば交点の座標(x,y,z)とBが求まります。
x=1,y=2,z=-2,B=4,k=-1,h=2
答えのA=6,B=4は合っていますが、交点の座標が正しくないようです。
正しい交点は(1,2,-2)です。
確認してみて下さい(元の直線の方程式に代入して式が成り立つかで分かります)。

(2)も同様の方法で出来ますのでやってみて下さい。

(1)
(x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/A
の方向ベクトルは(2,-3,A)

(x+5)/3 = (y+6)/4 = (z+B)/1
の方向ベクトルは(3,4,1)
2つの方向ベクトルが直交するから内積=0
(2,-3,A)・(3,4,1)=6-12+A=0 ∴A=6

この時前半の直線は
(x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/6(=kとおく)
媒介変数表現で
x=2k+3,y=-3k-1,z=6k+4…(1)

後半の直線は
(x+5)/3 = (y+6)/4 = (z+B)/1=h
とおけば媒介変数表現で
x=3h-5,y=4h-6,z=h-B…(2)

(1),(2)を連立方程式として解けば交点の座標(x,y,z)とBが求まります。
x=1,y=2,z=-2,B=4,k=-1,h=2
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Q新しい実数の構成:自然数→正の実数→実数

次のような実数の構成はあるのでしょうか?

まず、10進法の表記により自然数を構成します。
0を含めます。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11、12、・・・

といった数を考えます。
ケタ数は有限です。
順序関係は、まず、ケタの大小を比べ、ケタが同じであれば、最大ケタの数字を比べます。
0~9までの加法と乗法を九九として決め、一般の自然数の加法と乗法は筆算により定めます。

つぎに、小数点以下を考えます。
まず、小数点以下のケタ数が有限なる数を考えても、順序関係と加法・乗法はいままでと同様です。

そして、小数点以下のケタ数が無限なる数を考えます。
順序関係はいままでに追加して、
1=1.000・・・=0.999・・・
といったことなどを考えます。
加法と乗法の筆算も、「左から計算」していけばいいと思います。
このとき、新しく除法も考えられます。

これで、正の実数が構成できたと思いますが、
最後に、小数点以上のケタ数が無限なる数を考えます。
たとえば、
・・・1212.12 
とか
・・・333.333・・・

順序関係はうまくいきませんが、
・・・999+1=・・・000=0
と考えると、
・・・999=-1
といった意味になり、
3をかけることで、
・・・997=-3
といった意味になったり、
3でわることで、
・・・333=-1/3
といった意味になったりします。
また、加法と乗法の筆算は、「小数点を中心に左右へ計算」していけば整合性が得られると思われます。
そして、減法・除法も考えられると思います。
つまり、負の実数が構成されたと思います。

結局、左右に無限に続く10進法表記で、実数とその加減乗除が構成されたと思います。

このような、実数の構成はあるのでしょうか?
また、不備がありましたら指摘ください。

次のような実数の構成はあるのでしょうか?

まず、10進法の表記により自然数を構成します。
0を含めます。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11、12、・・・

といった数を考えます。
ケタ数は有限です。
順序関係は、まず、ケタの大小を比べ、ケタが同じであれば、最大ケタの数字を比べます。
0~9までの加法と乗法を九九として決め、一般の自然数の加法と乗法は筆算により定めます。

つぎに、小数点以下を考えます。
まず、小数点以下のケタ数が有限なる数を考えても...続きを読む

Aベストアンサー

アイデアは買うが、それでは無理。要するに有理数体の完備拡大体を考えたいわけだが、それには通常のユークリッドメトリックによる完備化(実数体R)と、素数pに対するp進メトリックによるp進完備化(p進体Q_p)というのがあって、それ以外はないことになってます。

10は残念ながら素数じゃないので、そのような方法ではうまく体が構成できない。たとえば、
(・・・・・・59918212890625)^2=・・・・・59918212890625
(・・・・・・40081787109376)^2=・・・・・40081787109376
となって、x^2=xの解が、x=・・・・・・0000、x=・・・・・・0001以外にもx=・・・・・59918212890625、x=・・・・・40081787109376というものが存在することになる。ここであげた・・・・・59918212890625と・・・・・40081787109376という組み合わせはなかなか面白くて、足して1、かけて0になる(左に無限に続く)2数となっている。要するに有理数の10進完備化は体にはなっていないのです(体ならば特に整域であって、因数分解は一意的でなくてはならない。したがって2次方程式に解が3個以上存在していはいけない。)

以下、おまけ。・・・・・59918212890625をどうやって求めるか。ようするにx^2=xとなるxを見つけたい。
0~9の中で2乗しても1の位が変わらないものは、0,1のほかに5と6がある。そこでまず5に注目する。5を2乗すると25になる。したがって25を2乗したものは下二桁が必ず25と変わらない。そこで25を2乗する。すると625になる。よって625を2乗したものは下三桁が必ず625となって変わらない(ただの中学数学で簡単に証明できる)。625の2乗は390625だから、この下四桁0625はやはり2乗して同じ下四桁を持つ。そこで0625を2乗して390625だから、下五桁90625は2乗して同じ下五桁を持つ。あとはこれを延々と繰り替えすことができるから、無限に左に続く、べき等元が得られる。通常の実数なら、0と1以外にそんな数はないが、左に無限に続いてもよい(これは要するに左に行けば行くほどその数がある値に収束するという意味であって、普通のユークリッドの距離とは異なる距離概念)から可能になってしまう。

このアイデア自体はちゃんと数学になっていて、Z/10Z、Z/10^2Z、…の逆極限という環として10進整数と呼ばれる、左に無限に続く数が定義可能。だけど素数じゃないとうまく整域にならないのです。したがってうまく商体を考えられない。整域だったら、p進整数から、p進体が出来ます。興味があれば、p進体などを勉強されてみるとよいと思います。参考URLの『p-進数の世界(pdf)』が秀逸な記事だと思います。

参考URL:http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/

アイデアは買うが、それでは無理。要するに有理数体の完備拡大体を考えたいわけだが、それには通常のユークリッドメトリックによる完備化(実数体R)と、素数pに対するp進メトリックによるp進完備化(p進体Q_p)というのがあって、それ以外はないことになってます。

10は残念ながら素数じゃないので、そのような方法ではうまく体が構成できない。たとえば、
(・・・・・・59918212890625)^2=・・・・・59918212890625
(・・・・・・40081787109376)^2=・・・・・40081787109376
となって、x^2=xの解が、x=・...続きを読む

QFortranで直交座標から極座標変換のプログラム

Fortranで直交座標から極座標変換のプログラム

FDTD法を用いて、散乱電場を求める際、最初Ex(i,j,k), Ey(i,j,k), Ez(i,j,k)を求めましたが、
それから座標をr方向に座標変換したく、プログラムを作ろうと思っているのですが、どのように書いてよいのか悩んでいます。
単位ベクトル r = (x,y,z)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)と定義できるのですが、これを
どのように極座標のプログラムとして書いてよいのかわかりません。
どなたかわかる方がいらっしゃたら教えて下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

座標変換(デカルト座標から極座標)に伴う単位ベクトルの変換またはベクトル成分の変換を行おうということなら下記URL参照。

参考URL:http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/math/pm6.ssi

Qgcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#=p,#=qならばGは巡回群

gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。
aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時,
(G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。
また,このような群Gの例を挙げよ。

という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。

是非,ご教示ください。m(_ _)m

Aベストアンサー

問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。
また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。

Q直線を描画するプログラム

初歩的ですみません。
マウスで始点と終点を決めて直線を書くプログラムを知っている方がおりましたら教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

WinTKというのは良く分からないんで、MFCの方を……
とりあえずダイアログアプリケーションで説明すると、

1.
 ダイアログベースのスケルトンを作ります
2.
 xxxDlg.h に座標を保持るためメンバを追加します。
class CxxxDlg : public CDialog
 {
   CPoint m_ptBegin, m_ptEnd;

3.
クラスウィザードで WM_LBUTTONUP, WM_RBUTTONUP を選択します。

4.
 void CxxxDlg::OnLButtonUp(UINT nFlags, CPoint point)
 {
   // ここの point に左ボタンが離された座標が入ってますので保持しておきます(始点)
   m_ptBegin = point;
   CDialog::OnLButtonUp(nFlags, point);
 }
5.
 void CxxxDlg::OnRButtonUp(UINT nFlags, CPoint point)
 {
   // ここの point に右ボタンが離された座標が入ってますので保持しておきます(終点)
   m_ptEnd = point;

   // 再描画します。
   InvalidateRect( NULL );

   CDialog::OnRButtonUp(nFlags, point);
 }

6.
 CxxxDlg::OnPaint()関数の以下の部分を変更します。

 else
 {
   CDialog::OnPaint();
 }
      ↓
 else
 {
   CPaintDC dc( this );

   dc.MoveTo( m_ptBegin );
   dc.LineTo( m_ptEnd );

   CDialog::OnPaint();
 }

と、大体こんな感じです。m_ptBegin, m_ptEndはコンストラクタで初期化してやっておいて
ください。説明が大雑把なんでわかりにくかったら言ってくださいね。

ほな。

WinTKというのは良く分からないんで、MFCの方を……
とりあえずダイアログアプリケーションで説明すると、

1.
 ダイアログベースのスケルトンを作ります
2.
 xxxDlg.h に座標を保持るためメンバを追加します。
class CxxxDlg : public CDialog
 {
   CPoint m_ptBegin, m_ptEnd;

3.
クラスウィザードで WM_LBUTTONUP, WM_RBUTTONUP を選択します。

4.
 void CxxxDlg::OnLButtonUp(UINT nFlags, CPoint point)
 {
   // ここの point に左ボタンが離された座標が入ってますので保...続きを読む

Q実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係は?

超実数なるものを知りました。

「公理:Rは完備順序体である
公理:R*はRの真拡大順序体である
Rを実数体,R*を超実数体と言い、それぞれの元を実数,超実数と言う」

といったものですが
実数全体の集合,超実数全体の集合,複素数全体の集合の包含関係はどうなっているのでしょうか?

また、実数は直線,複素数は縦軸を書き足して平面として表す事が出来ますよね。超実数はこれらに何を書き足して表されるのでしょうか?

Aベストアンサー

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、st(f(dx)) は 超実数 f(dx) の標準部分を表す)

>> 集合の濃度と直感との間には隔たりがありますが、
>> (実数と1:1の)直線の濃度は超実数体の濃度には足りず、
>> 実数直線に何かを足しても直感は満足できないような気がします。

これについては、#3さんと同意見です。
もし直線が実数と1:1なら、#5さんの言うとおりだと思いますが、
直線を超実数と関連付けるような定義があっても不思議ではないと思います。

(質問者さんへ)

>> 単集合A:={L∈R*;0<∀r∈R,0<∃s∈R such that 0<Δx-0<s⇒|L-Δx|<r}≠φの時,Aのたった一つの元を

{}の中の詳細は議論しないことにしますが、
たった一つの元、ということではなさそうです。
上記(#5さんへ)で書いたように、
正の無限小超実数を1つ選び、dx とおくことになると思います。
正の無限小超実数はたくさんありますが、
そのうちのどれを選んでも議論が成り立つと思います。

>> 「あらゆる正の実数 r に対して,|ε| < r が成り立つとき,εを無限小超実数と呼ぶ.
>> 注)ある実数 r に対して |ε| < r が成り立つとき,εを有限超実数と呼ぶ.」
>> は無限小超実数ならば有限超実数と解釈できるのですが私の解釈で間違いないでしょうか?

間違いないです。無限小超実数は0に無限に近い超実数のことですし、
有限超実数は有限の実数に無限に近い超実数になりますから、
無限小超実数の集合⊂有限超実数の集合 になります。

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、s...続きを読む


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