電子書籍の厳選無料作品が豊富!

指数関数と階乗。グラフで表したらどっちが強いですか?

A 回答 (3件)

「Starlingの公式(Starlingの近似)」を調べてみればわかると思う。

    • good
    • 1
この回答へのお礼

階乗を使わずに式を使って近似値を求められるのは凄いですね!

お礼日時:2024/04/23 21:39

n が大きいときの e^n と n! を比較するって話ですか?


n! は 1 から n までの自然数の積なので、1 から n までの相乗平均の n 乗です。
定数の n 乗より大きいのは、解るでしょう。

n^n と n! を比較するって話なら、
これも同様に考えて n^n のほうが強いって解りそうですが...
もう少し説明するなら、
n^n ÷ n! = { n・n・n・…・n・n } / { n・(n-1)・(n-2)・…・2・1 }
     = { n/n }・{ n/(n-1) }・{ n/(n-2) }・…・{ n/2 }・{ n/1 }
     > 1・1・1・…・1・n
この比は、 n→∞ のとき →∞ になりますね。
    • good
    • 1

No.1 へのコメントについて。



調べたんですね。でしたら:

[1] ある自然数n (n>0) を一つ決める。nが幾つであっても、そのnについてn! と a^n (aのn乗) が等しくなる定数aは存在し、実際
  a = (n!)^(1/n)
とすれば良い。

[2] このとき、例えば
  a^(2n) < (2n)!
であることは
  a^(2n) / (2n)!
   = (a^n)^2 / (2n)!
   = (n!)(n!) / (2n!)
   = (n!) / ((n+1)(n+2) ... (n+k) ... (2n-1)(2n))
   = (1/(n+1)) (2/(n+2)) ... (k / (n+ k)) … (n / (2n))
であり、そして1〜nの範囲のどのkについても
  (k / (n+ k)) < 1
であることから分かる。

[3] かくて、n! ≦ a^n であり続けるためには、nが大きいほどaも大きくする必要がある。言い換えれば、aは定数ではなくてnの関数 a(n)で、
  a(n) ≧ (n!)^(1/n)
でなくてはならない。このa(n)は、nが大きくなるほどa(n)もどんどん大きくなって、どんな定数をも追い抜いてしまう。
 以上から、「aがどんな定数でも、aの冪乗は階乗に"勝てない"」と分かるでしょう。

[4] さて、この関数a(n)がどんな増え方をするものであるかは、Starlingの公式を使えば考えれられる。ご自分で確かめられよ。
    • good
    • 1

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A