数学II 点(0,-2)との距離と、直線y=2との距離が等しい点の軌跡を求めよ。 という問題の解説で

数学II

点(0,-2)との距離と、直線y=2との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
という問題の解説ですが点Pと点(0,-2)との距離と〜〜
のところで‪√‬｛x^2+(y+2)^2｝=|2-y|となっていますが
なぜ右辺で出てくる点と直線の距離が|2-y|なんですか？
点と直線の距離の公式通りにやると|y-2|と出てしまうのですが方法が違うのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/21 12:25

点と直線の距離の公式通りにやると|y-2|と出てしまうってどのような計算でしょうか？

点Pから(0,-2)までの距離が√x^2+(y-(-2))^2=√x^2+(y+2)^2
また
(x,2)から点Pまでの距離が(x,2)から(x,0)までが　2　と
(x,0)から点Pまでの距離は　0-y=-y なので合計は　2-y
となるので　幾何的に感覚で　2-y としてあるだけですね！貴方のように
点と距離の公式から求めてないと思います。でも　結果的に
|y-|=|2-y|と同じ値にはなりますが！

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/20 19:29

y-2≧0のとき　|y-2|=y-2=|2-y|

y-2<0のとき　|y-2|=2-y=|2-y|
だから

|y-2|=|2-y|

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/19 21:54

水平な直線の方程式は

0x+y-2＝0…①
または、両辺-１倍した
0x-y+2＝0…2ですよね
①に対して距離の公式を適用すれば
距離＝│y-2│
ですし
2式に対して適用すれば
距離＝│2-y│
です
①、②とも同じ水平線の式なので
二通りに表した距離の式は、全く同等です

ただし、解答作成者は、点と直線の公式は意識していないと思います
というのも、Pとy＝2の距離を表す線分は、図を見てわかる通り、y軸に平行です
だから、距離は、y＝2とPのy座標の差で求まるのです
ゆえに、差を取って
距離＝2-yです！
万が一、Pのy座標が2より大きいときは、距離＝y-2なので
どちらのケースでも矛盾がないようにしてひとまとめにすると
距離＝│2-y│となりますよね

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/19 21:07

＞点と直線の距離の公式通りにやると|y-2|と出てしまうのですが

|y - 2| = |2 - y|

ですよね。

y≧2 のとき y - 2
y<2 のとき 2 - y
ですね。
「距離」は常に「正または 0」だから。