拡大 縮小 濃度は変わらない

sinx と sin100x
定義域の数は同じだと思います
でも出てくる値は直感的に100xのほうが多そう（ぐるぐる回るから）
なんでですか？

アレフ１

No.11 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/06 10:26

落ち着いてゆっくり考えようや。

依然として、定義域の濃度の話をしているのか
値域の濃度の話をしているのか
がハッキリしないが、
sin x (定義域は x∈実数) と sin 100x (定義域は x∈実数)
を比べているのなら、どちらも
定義域は実数
値域は -1 以上 1 以下の実数
で、集合が共通している。
濃度の定義を復習しなくても、
同じ集合の濃度が同じであることは解りそうなもんだ。

「出てくる値は直感的に100xのほうが多そう」については、
その直感が歪んでいるとしか言いようがない。
論理じゃなく気持ちの話なんで、明確な説明はつけようもないが。
「わたしもぐるぐる回るとかの話はしてないです」
とのことなんで、この点はもういいのかな？

No.6 への返事にある自転車の話は、
A = { vt ｜ 0≦t≦10 } と
B = { (2v)t ｜ 0≦t≦10 } が
等濃度なのはなんとなくふしぎだねという話なのだろう。
自分で書いているとおり、
A も B も T = { t ｜ 0≦t≦10 } と等濃度だから等濃度になる。
慣れるとむしろ自然な話で、
これを不思議と思う気持ちのほうが不思議ではある。

A は B の真部分集合なので、これが等濃度なら
B - A の要素はどうなっちゃうの？ という気持ちは
やや解らんでもないが、無限集合ではあたりまえの現象だ。

その素朴な例のひとつが「ヒルベルトのホテル」。
集合 N0 = { 0 以上の整数 } と
N1 = { 自然数 } は
写像 f：N0→N1, f(x) = x+1 で一対一に対応する。
N0 = { 0 } ∪ N1 だが、{ 0 } のぶんの「多さ」は
どうなってしまったのか？ という話。
(AくんBくんの自転車の話と似ているね？)

これは、自転車の話やヒルベルトのホテルを
不思議と感じる立場での「多さ」という直感が
有限集合の要素数の性質を引きずっていて、
無限集合の濃度はそういうものじゃないんだよ
ということに尽きる。

慣れて、濃度に通用する直感を育てるしかないんじゃないの？
無限集合が有限集合でないことは、変えられないんだから。

この回答へのお礼

すごいわかりやすかたです。調べてもぜんぜんいみわからなかってけどありものがたりくんの読んだらすごいわかったしなるほどってふにおりる感覚がありました～。私は数学すごい頭いいひとがまわりにいた環境だからそういうちょっとした疑問持つことはよくあるけど私自体はそんなに無学だからぜんぜんちゃんともっとちゃんと勉強しなきゃいけないことがいっぱいありますけど、第１段階として感覚とかはちょっとわかったきがしました。ありものがたりくんもややわからんでもないって共感したのが面白いです。

お礼日時：2024/06/06 12:54

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/05 22:25

＞ つまり写像のしゅういきにはBのしゅういきの２倍の元があるはず

＞ なんでそういうことがおきますか？

sin x や sin 100x の定義域、値域を無限集合で考えているから。
自分自身の真部分集合と一対一対応が作れることは、
無限集合の特徴のひとつ。
「ヒルベルトのホテル」で検索検索ぅ〜

この回答へのお礼

検索したけど、あんまり難しくてながいのは読んでもわかりません。
ありものがたりくんでもわからないことあるの？？

お礼日時：2024/06/06 08:54

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/05 20:46

集合Xから集合Yへの写像

f:X→Y
に対して
x,a∈X
f(x)=f(a)ならばx=a
が成り立つとき
fを単射という
任意のy∈Yに対して
y=f(x)となるx∈Xが存在する
ときfを全射という
fが単射かつ全射であるとき
fは全単射という
全単射であるようなfが存在するとき
XとYの濃度は等しいという

f(x)=sinx
で全実数を定義域とすると
sin(π)=sin(0)だから
fは単射ではない

X=[-π/2,π/2]={x|-π/2≦x≦π/2]
Y=[-1,1]={y|-1≦y≦1}
とすると
f(x)=sinxは
[-π/2,π/2]から[-1,1]への全単射になるから

[-π/2,π/2]と[-1,1]の濃度は等しい

f(x)=sin(100x)
で全実数を定義域とすると
sin(100π/100)=sin(100*0)だから
fは単射ではない

X=[-π/200,π/200]={x|-π/200≦x≦π/200]
Y=[-1,1]={y|-1≦y≦1}
とすると
f(x)=sin(100x)は
[-π/200,π/200]から[-1,1]への全単射になるから

[-π/200,π/200]と[-1,1]の濃度は等しい

この回答へのお礼

めちゃすきです。。
ありがとうございます(´；ω；｀)

お礼日時：2024/06/05 21:13

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/05 19:32

>ありものがたりくんのおれいに書いたようなことについて

>考えてみてください。

う～ん、連続体を数えられると思っているのかな？

この回答へのお礼

そういうことですか？？

お礼日時：2024/06/06 08:55

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/05 18:43

>そです。

たとえばいそうをXを時間tで考えると速さが
>2倍という意味になるけどそれは後付けじゃないですか？？？？

それは出来上がった集合の濃度とは全く関係のない話。
[-1, 1] という閉区間だけが濃度を考える対象です。
どう作ったかは関係ないんです。

この回答へのお礼

ありものがたりくんのおれいに書いたようなことについて考えてみてください。

お礼日時：2024/06/05 18:56

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/05 18:35

「出力を増やす」って、何や？

それを定義せにゃ、質問にならへん。

sin x (定義域は x∈実数) と sin 100x (定義域は x∈実数)
の値域なら、どちらも -1 以上 1 以下で、何も増えてへんがな。

この回答へのお礼

えと、落ち着いてゆっくりかんがえてください。
例えば自転車が直進します。
AはBのに倍の速さではしり、１０秒間一緒に走り出します。
時刻 t での自転車のいちを返すような写像ｆ（ｔ）
を考えます。明らかにレースの上の位置と1:1対応してます
じゃあ問題は、
１０秒後にAはBのに倍の位置に居ます
つまり写像のしゅういきにはBのしゅういきの２倍の元があるはず
でも元のしいきの元は同じ１０秒間なので同じ数しかないです
速さに倍にしても、それはt -> 2tの全単射なので濃さは変わらないはずです
。なんでそういうことがおきますか？？？？
そういう難しい質問はわたしは最初からずっとひとりでしてます。

お礼日時：2024/06/05 18:56

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/05 16:13

＞ 私が聞きたかったのは定義開きじゃなくて値域の方の話です。

＞ わたしもぐるぐる回るとかの話はしてないです。

例によっていつものように、途中で話が変わっているなあ...
これも、sin x と sin 100x の定義域しだいではあるが、
sin x (定義域は x∈実数) と sin 100x (定義域は x∈実数) の
値域を比べているのなら、どちらの値域も -1 以上 1 以下だから、
濃度以前に値域の集合が同じなんだよ。濃度が違うわけないでしょ。

この回答へのお礼

私はずっとその話をしてます。定義域は同じだけど、なんで定数倍の演算で、出力を増やせるの？って思いませんか？
定数倍にするところではもう上への一対一になってないからですか？

お礼日時：2024/06/05 17:12

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/05 15:57

sinx、 sin100x を写像ととらえると、 x ∈ R なら

値域はどちらも 閉区間[-1, 1] になると思うけど
そういう話？？？

この回答へのお礼

そです。たとえばいそうをXを時間tで考えると速さが2倍という意味になるけどそれは後付けじゃないですか？？？？

お礼日時：2024/06/05 17:10

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/05 15:02

「定義域の数」って何や？

ソレの定義を書かねば、質問にゃならんよ。

定義域の濃度って意味で言っているのなら、
sin x や sin 100x や「ぐるぐる回る」は何の関係もなくて、
sin x (定義域は x∈S) と sin 100x (定義域は x∈S) の
定義域は共通の集合 S なんだから、
その濃度が同じなのは自明でしょう？

これが、例えば
sin x (定義域は x∈{1,2,3}) と sin 100x (定義域は x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})
で定義域の濃度を比べているのなら、当然
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} のほうが {1,2,3} よりも濃度は高い。
依然として、「ぐるぐる回る」は何の関係もないけれど。

この回答へのお礼

そですそです。そういう話をしてるんですけど、私が聞きたかったのは定義開きじゃなくて値域の方の話です。わたしもぐるぐる回るとかの話はしてないです。

お礼日時：2024/06/05 15:18

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/06/05 13:38

xの値が1個決まると100xの値も1個決まる。

それに対する関数値も1個決まる。

逆に100xの値が1個決まるとxの値も1個決まる。
それに対する関数値も1個決まる。

つまり全く同じ。

この回答へのお礼

写像の対応関係がおかしいとおもいます。

お礼日時：2024/06/05 14:10