空気抵抗がかかるときの落下運動、もしくは放物運動に
関しての質問です。

抵抗力が速度に比例する場合は、変数分離法を用いて微分
方程式を解くことができるのですが、
抵抗力が速度の2乗に比例する場合の微分方程式が解けませ
ん。具体的には次の式です。

ma = -kv^2 + mg
a:加速度 v:速度

この式の解法をよろしくお願いします。

A 回答 (4件)

変形分離法でも出来ると思います。



mv' = mg - kv^2
m(dv/dt) = mg - kv^2
{1/(mg - kv^2)}dv = (1/m)dt
∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dt

左辺は部分分数分解を使って、積分すると、

log[{(√mg) + v(√k)} / {(√mg) - v(√k)}] = t/m + C (Cは積分定数)

これをvについて解くと、

v = (√mg/k)[(-1 + Aexp{2(√kg/m)t) / (1 + Aexp{2(√kg/m)t})] (A = exp(C))

となります。あとは初速度などの条件を入れて、Aを求めればvが求まります。
ちょっと積分の計算は自信がありませんので、答えは自分で求めてみてください。
こんなんでよろしいでしょうか?あまり得意な方でないので自信がありませんが…。
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この回答へのお礼

この方法でできました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/24 16:13

真面目にやると、そうか、ベルヌーイの方程式に帰着されるんですね。



stomachmanの場合、ズルしてます。
f' =1- f^2
の解は
f(t)=tanh(t)
あとは係数と初期値の辻褄を合わせます。つまり
v(t) = A f(Bt)+C
として、もとの方程式および初期値に合うようにA,B,Cを決める。
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morisusu さんの書かれているように


ベルヌイの微分方程式を使えば解けます。
まず、
 v = y + √(mg/k)
 v' = y'
のようにシフトしましょう。
すると
 mv' = mg - kv^2
⇒my' = -ky^2 -2k√(mg/k)y
のようになり、定数項が消えますね。

あとは、やってみて下さい。
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これは、ベルヌイの微分方程式を使います。


y'+P(x)y=Q(x)y^n・・・・・・(1)
という式で考えます。
y^(1-n)=u・・・・・(2)
とおく。
(2)を両辺微分してy'=(u'・y^n)/(1-n)・・・・・(3)
(3)を(1)に代入。
(u'・y^n)/(1-n)+P(x)y=Q(x)y^n・・・・・・(4)
(4)の両辺をy^nで割って、1-nをかけると、
u'+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)・・・・・・(5)
これで線形になり解けるようになります。

問題では加速度は速度の微分よりa=v'とおいて
(5)式においてP(x)=0、Q(x)=-k/m、
n=2よりv^(-1)=uとおけば解けます。

詳しくは微分方程式関係の本の中にベルヌイの微分方程式の解法が載っていると思うので参考にしてください。

この回答への補足

おそれいりますが、式の形が違うのではないかと思います。
与式は
mv' = mg - kv^2
<-> v' = g - (k/m)v^2
で、定数項gが余計なんです。
ベルヌーイ方程式の解法を試してみますと、最後に-v^2で
両辺を割るところで、
gがあるためにv^2が復活してきてしまいます。
このあたりの処理方法をご教授下さい。

補足日時:2001/09/20 14:24
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-------------------------------------------------------

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-------------------------------------------------------

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こんばんは。

鉛直方向の式で、1箇所、-が*になっちゃってますね。

さて、本題。


(1)

dVx/dt = -γVx   ・・・(あ)
dVy/dt = -γVy - g   ・・・(い)

(あ)は、
dVx/Vx = -γdt
∫1/Vx・dVx = -γ∫1・dt
左辺は積分すると、log になります。


(い)は、まず、事前準備。
a = -γVy - g
と置けば、
da/dt = -γ・dVy/dt
dVy/dt = -1/γ・da/dt

(い)は、
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を代入してaを消去すればできあがり。


(2)
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dVy/dt = 0
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<<4:でT=2V0sinα/gはどこから出てきたのですか
これは、鉛直投げ上げにおいて、質点が、投げ上げてから最高点に達するまでの時間が、初速度をVoとして
t=V0/gという"公式"を使わせていただきました。
ご質問の場合、斜めに投げ上げていますけど、鉛直方向と水平方向に分解して、鉛直方向の速度のみ考えれば上のVoをV0sinαと置き換えるだけです。2倍しているのは、最高点に達し、さらに戻ってくるからです。
行きと帰りで時間は全く同じです。最高点に達する時間t=Vo/gは、公式として覚えておくと強力ですよ...
ちなみに、最高点の高さの公式はh=Vo^2/2gです。
これも使えます.

<<αについて微分するのはなぜですか
まず、物理において微分をしたものを=0とおくのは、
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今の場合、時間についての最大ではなく角度についての最大を求めたいので、速度は関係ありません。

<<4:でT=2V0sinα/gはどこから出てきたのですか
これは、鉛直投げ上げにおいて、質点が、投げ上げてから最高点に達するまでの時間が、初速度をVoとして
t=V0/gという"公式"を使わせていただきました。
ご質問の場合、斜めに投げ上げていますけど、鉛直方向と水平方向に分解して、鉛直方向の速度のみ考えれば上のVoをV0sinαと置き換えるだけです。2倍しているのは、最高点に達し、さらに戻ってくるからです。
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