1+2+3+…＝？

前回、「1-1+1-1+…＝？」に対して様々なご意見をいただき、それに””勇気””付けられまして、新たに疑問というか考えを提示させていただきます。
S₁=1-1+1-1+…とし、また、S₂=1-2+3-4+5-6+…、S₃=1+2+3+4+…とします。御存知の方も多いと思いますが、S₂、S₃はS₁を使って表せるというか表せる場合があります(あくまで直観的な方法ですが)。
S₂＋S₂=2S₂=(1-2+3-4+5-6+…)+(1-2+3-4+5-6+…)=1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+…=1-1+1-1+…=S₁からS₂=S₁/2
S₃-S₂=(1+2+3+4+5+6+…)-(1-2+3-4+5-6+…)=(1-1)+(2-(-2))+(3-3)+(4-(-4))+…
=4+8+12+…=4(1+2+3+…)=4S₃から、S₃=-S₂/3=-S₁/6
そして、前回のS₁の計算順序を適当に変更する計算方法を採用した「結果」を用いれば、S₂、S₃ともに、任意の整数や、限定的ではあるが有理数にできることになります。
さらにさらに！もっと自由に計算する方法を採択できる場を許せるなら、S₂やS₃を任意の有理数にすることもできる。
NS₁=(N-M)S₁+MS₁ N,Mは自然数で M＜Nかつ２≦M　とするとき、(N-M)S₁のS₁をS₁=(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0とし、MS₂のS₂をS₂=1+(-1+1)+(-1+1)+…=1とできるなら、形の上では、
NS₁=(N-M)S₁+MS₁=(N-M)・０+M ・１=Mとできて、S₁=M/Nと任意の正の有理数と計算できることになります。また、MS₁のS₁を-１に計算すると、任意の負の有理数にもできます。そうすれば、
S₂=S₁/2、S₃=-S₁/6と表わせるS₂、S₃ともに任意の有理数と計算できることになる。
前回も注意しなければならないこととして、決して、普通にはこのような計算はしてはいけません。無限級数の総和を計算する方法として、各種の総和法が開発されていますが、そのことごとくに当てはまらないし、解析接続性も破りまくっているでしょう。S₁をより”自由に”計算する方法では、一つの計算式の途中で、二つのS₁の値を併用してしまっているし、(N-M)にかかっているS₁を０とするなら、左辺のS₁のNもMにしなければならないではないか、という指摘もあるとは思いますが、そこは目をつぶって、というより、より大きく目を開いて大目に見ることにする、できる場を設けようというのです。というか、できればなあと思うのですが、やはりだめでしょうか？
数学として厳密にするなら、上記のような計算を定義する何らかの数の体系をきちんと設定しなければならないでしょうし、とするなら、そんな体系を設定することは不可能とする意見がほぼ全てでしょう。そもそも、こんなのは数学ではない、というお叱りも受けるでしょうが、それでも、敢えて、このような計算方法を許す場を設けてやることには何某かの意味がある場合があるのではないか？と思えるのです。例えば、数学よりも、物理学の方面で何かと重宝する場面があるのではないでしょうか？それとも、もう使われているかも知れませんね。数学者に知られると怒られるから、そっと目立たないように使っているかも？

質問者からの補足コメント

• 上記の計算で、S₁=M/Nで任意の有理数とできるとしましたが、M＜Nという条件では|１|より小の有理数となります。それ以外の正の有理数を表すためには、N＜Mとし、MS₁のS₁を0としたうえで、
  (N-M)S₁のS₁を-1、負の有理数を表すには(N-M)S₁のS₁を＋1とすると、全体として任意の有理数を表すとできるでしょう（出来たら色々と面白いと思いますが、S₁の値を一つの式の中でいくつも使ってしまうことになり…ううむ）。

    補足日時：2024/06/30 14:05

• さらに補足です。(N-M)S₁のS₁を…という記述で、|1|より大の有理数を表せるためには、N＜|N-M|となる必要があります。

    補足日時：2024/06/30 14:17

• さらにさらに補足。何も(N-M)S₁に拘らなくとも、結局、NS₁=MS₁に持って行って、どちらかのS₁を1としてやれば、場合に応じて、S₁=M/Nもしくは=N/Mにできますね。しかし、そうすると、やはり、一つの等式でS₁の値を左辺と右辺で異ならせていることになるから、数学としては失格となるのか…。何とかできないか？

    補足日時：2024/06/30 14:54

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/30 20:14

ん?

1+2+3+4+... = -1/12
ですよね?

とか書いてみよっか.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%82%A7 …
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC …
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC …

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/30 21:25

交代発散級数の項を並べ替えると、

任意の値へ条件収束する級数を作ることができます。
だから、あなたのその手法で任意の「値」が作れることには、
自由すぎて意味が無い。
なんでもアリは、なにもないのと一緒です。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/07/01 09:49

リーマンの再配列定理について調べればよいでしょう。

例えば
https://mathlandscape.com/cond-conv-rearrangement/
をご覧ください。

あなたは任意の有理数としていますが、どんな実数にも収束させることが可能です。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/07 04:42

リーマンのゼータζ関数は

Re(s)>1のとき

ζ(s)=Σ{n=1～∞}1/n^s=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…

と定義される
が,
解析接続によってs=1を1位の極とし、
それ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる

s=-1のとき
Σ{n=1～∞}1/n^s=1+2+3+4+…
は
発散するけれども

s=-1のとき

解析接続によって得られた関数値は

ζ(-1)=-1/12

となる

-1/12以外の任意の値に収束させることは無意味(ナンセンス)