雪江代数学1の120ページの赤線の部分が分かりません。 |H×L| = |G|からどうして、赤線のよ

雪江代数学1の120ページの赤線の部分が分かりません。
|H×L| = |G|からどうして、赤線のような同型が成り立つのですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/22 18:41

群Gとその正規部分群Hに対して

LはGの正規部分群
L∩H={0}
L～G/H

となるようなLが存在するとき

G ～ H×L

となるのです

例えば
G={0,1,2,3}
H={0,2}
とすると
G/H の位数は2だから
G/H～H
だけれども
H∩H={0,2}≠{0}
だから
LはGの正規部分群
L∩H={0}
L～G/H
となるようなLは存在しません

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解出来ました。

お礼日時：2024/07/22 19:08

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/22 16:46

一般の群G,とその正規部分群Hに対して

L～G/H
となるような
Gの部分群
L
が存在するとはいえないのです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/22 16:29

GとH×G/Hが同型になることは、任意のG、任意のHに対して言えるなんていっていません

したがって|G|はpべきと仮定してよい,
Gが巡回群の直積になることを
|G|に関する帰納法により証明する
h∈GをGの位数最大の元
p^cをその位数とする
Gはアーベル群なので
H=<h>は正規部分群である
G/Hは有限アーベル群で
|G/H|<|G|
…
と書いてある通り

L～G/H
となるような
Gの部分群
L
が存在するから

L～G/H

|H×L| = |G|

だから

G ～　H×L

となるのです

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/22 09:41

L=G/H

|H×L| = |G|

だから

G ～　H×L

この回答へのお礼

Gを群、Hをその部分群とすると、|H×G/H| = |G|は一般に言えることだと思うのですが、と言うことはGとH×G/Hが同型になることは、任意のG、任意のHに対して言えるということなんですか？またどの様な同型写像があるのですか？

お礼日時：2024/07/22 12:13

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/20 20:32

画像の通り

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あと最初のGとH×Lの同型はなぜ成り立つのですか？

お礼日時：2024/07/22 08:06