複素数平面上の点U(u),V(v),W(w)がこの順に左回りで三角形をなし、しかも△UVWの内部には

複素数平面上の点U(u),V(v),W(w)がこの順に左回りで三角形をなし、しかも△UVWの内部には原点O(0)があるとします。
任意の複素数zに対してある0以上の実数p,q,rが存在し、z=pu+qv+rwとなりますか？

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/08/01 16:43

最初の条件からwをu,vと2実数s,tを使い

w=su+tv
と表すとs<0,t<0となります。

z=pu+qv+rw=(p+sr)u+(q+tr)v　　s<0,t<0
と変形できます。
質問は任意のs<0,t<0に対して(p+sr,q+tr)がr>0,s>0,t>0を選べば任意の実数の組(a,b)となり得るか、という問題に帰着します。

これは簡単で、
sr<a -> r>a/s
tr<b -> r>b/t
となるrを選べば(このようなrは必ず存在する(例)max(a/s,b/t,0)+1)
p=a-sr>0
q=b-tr>0
とすることができます。

以上のことから任意の複素数zに対してz=pu+qv+rwとしたときp>0,q>0,r>0となる実数p,q,rは必ず存在することが言えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
はじめは意味不明だったのですが、何度か読んでいるうちにしだいに理解してきました。

お礼日時：2024/08/03 08:58

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/02 11:44

[1]z=0の場合はp=q=r=0。

z≠0の場合、Oを端点としZを通る半直線は⊿UVWの辺（か頂点）と交わる。その交点をK(k)とすると
　　z = ak
となる実数aが存在してa≧0であるのは明らか。で、Kが辺ST (S(s), T(t)はそれぞれU(u), V(v), W(w)のどれか）上にあるとき、
k = bs + (1-b)t
となる実数bが存在して0≦b≦1であるのも明らか。あわせて
　　z = abs + a(1-b)t
ただし、s, tはu,v,wのどれかで、ab≧0, a(1-b)≧0。というわけで、ご質問は肯定的に解決。

[2]さらに。Oを原点とする直交座標系(x,y)を定めて、zが点(1,0), (0,1),(-1,0),(0,-1)である場合それぞれについて[1]をやれば、x軸の正方向、x軸の負方向、y軸の正方向、y軸の負方向、都合4つの単位ベクトルがそれぞれ「0以上の実数p,q,rが存在し、z=pu+qv+rw」という形で表せる。
　この準備をしておけば、任意のzについて、zがこの直交座標系の4つの象限のどれに入るかに応じて、x軸について正方向か負方向のどっちか、y軸について正方向か負方向のどっちか、を適切に選んで基底を構成し、zを成分表示すればよし。

※ ところでフラフープねずみのご質問をオソルオソル検討してみたら結構スッキリした形になったのだけれども、ご質問を閉じられてしまって残念。

この回答へのお礼

えっ！あれ計算出来るんですかね？
また質問しましたのでよろしくお願いします。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/13881841.html

お礼日時：2024/08/03 09:26

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/02 10:00

No.5 訂正

>△UVW内部の点
△UVWの辺上とその内部の点
>p>0,q>0,r>0
p≧0,q≧0,r≧0
ですね。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/08/04 12:52

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/02 09:52

>p,q,rを非負でとれるでしょうか？

忘れてました(^^;

△UVW内部の点はUVの内分点とWとの内分点なので
p>0,q>0,r>0 で表せることになります。

△UVW内部に原点があるなら、
△UVW外部の点は△UVW内部の点の正の実数倍で
表せるので
p>0,q>0,r>0 で表せることになります。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/08/04 12:52

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/01 17:14

#2です間違えました取り消します

この回答へのお礼

お礼日時：2024/08/04 12:52

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/01 16:32

z≠0のとき

p=z|u|^2/{u(|u|^2+|v|^2+|w|^2)}
q=z|v|^2/{v(|u|^2+|v|^2+|w|^2)}
r=z|w|^2/{w(|u|^2+|v|^2+|w|^2)}
とすると

pu=z|u|^2/{(|u|^2+|v|^2+|w|^2)
qv=z|v|^2/{(|u|^2+|v|^2+|w|^2)
rw=z|w|^2/{(|u|^2+|v|^2+|w|^2)

pu+qv+rw
=z(|u|^2+|v|^2+|w|^2)/(|u|^2+|v|^2+|w|^2)
=z

------------------
z=0のとき

p=w|u|^2/{u(|u|^2+|v|^2)}
q=w|v|^2/{v(|u|^2+|v|^2)}
r=-1
とすると
pu+qv=w
pu+qv-w=0=z

この回答へのお礼

お礼日時：2024/08/04 12:52

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/01 16:12

これは複素数というより線形代数の問題ですね。

u、v・wを2次元ベクトルと見た場合、uとv、vとw、uとwのいずれかが―次独立ならp、q、rは必ず存在します。

左回りで三角形をなすならどれかが必ず一次独立になりますね。

この回答へのお礼

p,q,rを非負でとれるでしょうか？

お礼日時：2024/08/01 21:43