毎日毎日暑すぎて平方完成する気も起きません。
ギリギリの体力で実数x,yについて
2(x²+1)(y²+1)≧3(x+y)
が成り立つことを示そうとしています。
左辺-右辺をxの二次式と見て平方完成する…のでしょうか?
でもこのクソ暑いのにそんなことやってられませんよね?
残されたyの式も想像しただけで暑苦しい。
読んでいるだけで汗がひいていくような、爽やかな気分にさせてくれるような、
酷暑の真っ只中、一服の清涼剤となるような証明はございませんでしょうか?
No.10ベストアンサー
- 回答日時:
No.8のつづき、
1変数にしてもだいぶむづかしいですね、
色々考えてつぎのようにしました:
No.8から
f/2=(x²+1)²-3xにおいてx<0ならあきらかにf/2>0なので
x>0の時を考えると、次のように因数分解できる、
(x²+1)²-3x=[x²+1-√(3x)][x²+1+√(3x)]
右辺の後ろのかっこは>0だから前のかっこ内をgとし
√x=zとすれば
g=z⁴+1-√3z=z⁴-z²+z²-√3z+1=(z²-1/2)²+(z-√3/2)²>0
となってx>0でもf/2>0が証明されます。
No.8
- 回答日時:
f=2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)が最小値をとるx、yの関係は
ðf//ðx=0、ðf/ðy=0から出る。
第1式を1+x²倍、第2式を1+y²倍して辺々引いて4で割ると
(x-y)(x²y²+x²-3/4x+y²-3/4y+1)=0 となり
左辺の後ろのかっこ内はその第2項以降を平方完成すれば>0がわかるから
x-y=0、x=y なのでfの式でy=xとおいて
f=2[(x²+1)²-3x]の最小値を調べることに帰着すると思うけど
いかが?
No.7
- 回答日時:
f=2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)
とする
f
=2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)
=2(x²+1)(y-3/{4(x²+1)})²+{16(x²+1)²-9-24x(x²+1)}/{8(x²+1)}
=2(x²+1)(y-3/{4(x²+1)})²+(16x^4-24x^3+32x²-24x+7)/{8(x²+1)}
≧(16x^4-24x^3+32x²-24x+7)/{8(x²+1)}
だから
g(x)=16x^4-24x^3+32x²-24x+7
とすると
f≧g(x)/{8(x²+1)}
g'(x)=8(8x^3-9x²+8x-3)
g"(x)=16(12(x-3/8)x²+37/16)>0
だから
g'(x)は単調増加
g'(0)=-24<0<32=g'(1)
g'(a)=8(8a^3-9a²+8a-3)=0となるような0<a<1がある
a≒0.5484122…
x<a のとき g'(x)<0 だから g(x)は減少
x>a のとき g'(x)>0 だから g(x)は増加
だから
x=a のときg(x)は最小となる
g(x)≧g(a)
最小値
g(a)
=16a^4-24a^3+32a²-24a+7
=(8a^3-9a²+8a-3)(2a-3/4)+37a²/4-12a+19/4
=(37a²-48a+19)/4
>0.951
>0
だから
g(x)≧g(a)>0
だから
f≧g(x)/{8(x²+1)}>0
No.6
- 回答日時:
素朴に、2変数関数の値域で攻めてみようか。
g(x,y) = 2(x²+1)(y²+1) - 3(x+y) と置くと、
∇g(x,y) = (∂g/∂x, ∂g/∂y) = ( 2(2x)(y²+1) - 3, 2(x²+1)(2y) - 3 ).
∇g(x,y) = (0,0) ⇔ x(y²+1) = 3/4 = (x²+1)y.
この式を満たす (x,y) が g(x,y) の極値点の候補となるから...
ああ、これはやはり、 x = u + v, y = u - v の置換が有効そうだな。
代入して
∇g(x,y) = (0,0) ⇔ (u²-v²)(u-v) + (u+v) = 3/4, ←[3]
(u²-v²)(u+v) + (u-v) = 3/4. ←[4]
辺々 [3] - [4] して、 (u²-v²)(-2v) + (2v) = 0 から
2v{ 1 - (u²-v²) } = 0 より
v = 0 または u²-v² = 1.
v = 0 の場合は、[3], [4] へ代入して
u³ + u = 3/4. ←[5]
h(u) = u³ + u - 3/4 置くと、
h’(u) = 3u² + 1 ≧ 0 + 1 > 0 より h(u) は狭義単調増加。
lim[u→-∞] h(u) = -∞, lim[u→+∞] h(u) = +∞ と合わせると、
h(u) はただひとつの零点を持つことが判る。
[5] ⇔ h(u) = 0 ⇔ u = u₀ と置く。
u²-v² = 1 の場合は、[3], [4] へ代入して
2u = 3/4. ←[6]
[6] を u²-v² = 1 へ代入すると、 v が実数でなく、不適である。
さて、g(x,y) は唯一の停留点 (x,y) = (u₀ + 0, u₀ - 0) を持つことが判ったが、
この点は極値点だろうか?
ヘッセ行列を計算してみると、
Hess[ g(x,y) ] =
4(y²+1) 8xy
8xy 4(x²+1)
となるから、
Hess[ g(u₀,u₀) ] =
4(u₀²+1) 8u₀²
8u₀² 4(u₀²+1)
より
det Hess[ g(u₀,u₀) ] = { 4(u₀²+1) }² - { 8u₀² }²
= -48u₀⁴ + 32u₀² + 16
= -16(u₀ + 1)(u₀ - 1)(3u₀² + 1).
h(u) の単調増加と
h(-1) = -11/4 < 0,
h(1) = 5/4 > 0
より、
-1 < u₀ < 1.
よって、
det Hess[ g(u₀,u₀) ] > 0.
g(u₀,u₀) は g(x,y) の極値点であることが判る。
Hess[ g(u₀,u₀) ] の 第1行1列成分が 4(u₀²+1) > 0 であることから、
g(u₀,u₀) は極小値である。
開領域 (x,y) ∈ 実数² で定義された g(x,y) の
唯一の極小値であることから、g(u₀,u₀) は g(x,y) の最小値である。
g(x,y) ≧ g(u₀,u₀) = 2(u₀²+1)(u₀²+1) - 3(u₀+u₀)
= 2u₀⁴ + 4u₀² - 6u₀² + 2.
u₀³ + u₀ = 3/4 のとき 2u₀⁴ + 4u₀² - 6u₀² + 2 ≧ 0
であることを示せば目的を達したことになるが、これは成り立つだろうか?
F₁(u) = 2u⁴ + 4u² - 6u² + 2 と置く。
F₁(u) = (u³ + u - 3/4)(2u) + (-4u² - (3/2)u + 2) より
F₁(u₀) = -4u₀² - (3/2)u₀ + 2.
u₀³ + u₀ = 3/4 のとき -4u₀² - (3/2)u₀ + 2 ≧ 0 が示せればよい。
F₂(u) = -4u² - (3/2)u + 2 と置と、
F₂(u) = -4(u + 3/16)² + 137/64.
= -4(u + 3/16 + √134/8)(u + 3/16 - √134/8)
より
F₂(u) ≧ 0 ⇔ -3/16 - √134/8 ≦ u ≦ -3/16 + √134/8.
h( -3/16 - √134/8 ) = (-8691 - 819√67)/4096 < 0,
h( -3/16 + √134/8 ) = (-8691 - 819√67)/4096 > 0
と h(u) の単調性より。
h(u) = 0 となる唯一の u である u = u₀ は、
-3/16 - √134/8 < u₀ < -3/16 + √134/8 の範囲にある。
よって、F₂(u₀) ≧ 0.
これで題意は示されたことになるのだが、
熱帯夜の暑さを倍増する熱苦しい計算だったな。
なんか、チャラい解法は無いの?
No.5
- 回答日時:
これは、真面目に微分しないとアカンやつかなあ...
暑くてダルいんで、なるたけチャチャっと済ませたかったんだけど。
No.2 の間違い訂正としては、
-2 ≦ s ≦ 2 のとき s⁴/8 + s² - 3s + 2 ≧ 0 であることを
(前のような間違った理由ではなく)きちんと示せばよくて、
Mathematica先生によると
全実数 s に対して s⁴/8 + s² - 3s + 2 ≧ 0 であるらしい。 ←[1]
やってみよう。
f(s) = s⁴/8 + s² - 3s + 2 と置く。
f’(s) = s³/2 + 2s - 3,
f”(s) = (3/2)s² + 2 である。
全ての実数 s に対して f”(s) ≧ 0 + 2 > 0 であるから、
f’(s) は狭義単調増加。
lim[s→-∞] f’(s) = -∞, lim[s→+∞] f’(s) = +∞ と合わせると、
f’(s) はただひとつの零点を持つことが判る。
f’(s) = 0 ⇔ s = s₀ と置く。
f(s₀) は、f(s) の唯一の極小値であり、よって最小値である。
さて、f(s₀) ≧ 0 が成り立てば、[*] が示されたことになる。
f’(s₀) = s₀³/2 + 2s₀ - 3 = 0 の条件下に
f(s₀) = s₀⁴/8 + s₀² - 3s₀ + 2 ≧ 0 は言えるか?
f(s₀) = s₀⁴/8 + s₀² - 3s₀ + 2
= (s₀/4) (s₀³/2 + 2s₀ - 3) + (s₀²/2 - (9/4)s₀ + 2)
= (s₀/4) f’(s₀) + (1/2){ (s₀ - 9/4)² - 17/16 }
= (1/2){ s₀ - (9 - √17)/4 }{ s₀ - (9 + √17)/4 }
だから、
s₀ ≦ (9 - √17)/4 または s₀ ≧ (9 + √17)/4 であればよい。
f’( (9 - √17)/4 ) = (345 - 81√17)/32 > 0, ←[2]
f’(s) は単調増加だから、 f’(s) = 0 となる s = s₀ は
s₀ < (9 - √17)/4 である。
...できた。
こんどは真面目にきちんと示したけど、ちょっと息切れしたよ。
もっとサラっとやる方法が別にあるんだろうな...
[2] のところで、実際に代入せずに
f’(s) を (s²/2 - (9/4)s + 2) で割るくらいじゃあ
たいして楽にならないし。
No.4
- 回答日時:
> F(1.1,V)の極小ってV=0ではないのでは?
あらら、たしかに。って…うっかりツラレたけれども、
(x²+1)(y²+1)= x²y² + x² + y² + 1 ≧ x² + y² + 1
なんだから
x² + y² + 1≧ 3(x+y)/2
だけで足りるんじゃん。
F(U,V) = (U+V)² + (U-V)² + 1 - (3/2)U
= 2(U² + V²) + 1 - (3/2)U
と書けば極小がF(U,0)上にあるのは(今度は)間違いなしで
F(U,0) = 2U² - (3/2)U + 1
は判別式Dが負、そして
F(0,0)>0
No.3
- 回答日時:
[1] おなじみの変数変換
(x,y) = ((U + V), (U - V))
で
F(U,V) = ((U + V)²+1)((U - V)²+1) - (3/2)U
と書き換える。F(U,V)の極小がF(U,0)上にあることはすぐわかるから、
∀U(F(U,0) ≧ 0)
を示せばよし。
[2] 改めて
S(U) = (U²+1)²
T(U) = (3/2)U
とすると、明らかに
∀U(S(U) ≧ 1)
より
∀U(U < 2/3 ⇒ T(U) < S(U))
[3] 次に
S'(U) = dS/dU = 4(U²+1)U
T'(U) = dT/dU = 3/2
とおけば
S'(2/3) = 4((2/3)²+1)(2/3) > 4(2/3) > T'(2/3) = 3/2
S''(U) = dS'/dU > 0
より
∀U(U ≧ 2/3 ⇒ S'(U) > T'(U))
しかも
S(2/3) > T(2/3)
なので
∀U(U ≧ 2/3 ⇒ S(U) > T(U))
私の勘違いでしたら申し訳ありませんが、
F(1.1,V)の極小ってV=0ではないのでは?
https://www.wolframalpha.com/input?i=%28%281.1%2 …
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
推しミネラルウォーターはありますか?
推しミネラルウォーターがあったら教えてください
-
フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
あなたが普段思っている「これまだ誰も言ってなかったけど共感されるだろうな」というあるあるを教えてください
-
映画のエンドロール観る派?観ない派?
映画が終わった後、すぐに席を立って帰る方もちらほら見かけます。皆さんはエンドロールの最後まで観ていきますか?
-
海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
帰国して1番食べたくなるもの、食べたくなるだろうなと思うもの、皆さんはありますか?
-
天使と悪魔選手権
悪魔がこんなささやきをしていたら、天使のあなたはなんと言って止めますか?
-
仕事をクビになり会社の門で憔悴していたらババアがいきなり話しかけてきました。 「この大きい袋に7で割
数学
-
隣り合う平方数の大きい数から小さい数を引いた差は必ず奇数の数列になるのですか? たまたま見つけたので
数学
-
こうなる理由が分かりません
数学
-
-
4
下の画像の中の三角形は正方形だ、と友達が言っていたのですが、その根拠のようなものはありますか? 二等
数学
-
5
おしえてgooに図形の問題を投稿したら、削除されました。なぜでしょう?
数学
-
6
以下の問題で理解できないところがあります
数学
-
7
大変!!またまた我が家の新築の豪邸にネズミが出ました!ちょうどエクササイズ中だったので、フラフープを
数学
-
8
1の問題ですがBD直径より、角DABが90度になるのはわかるのですが、なぜ角CEBが90度になるかわ
数学
-
9
数学 算数の通分について 分数を約分するときって 例えば分母が 8と6だったら8×6をして48 だか
数学
-
10
図形について
数学
-
11
√2が無理数であることの証明では、背理法以外には方法はないのでしょうか?
数学
-
12
数学で、alphabetのxを、かけ算のマークとして利用できますか
数学
-
13
数学Aの平面図形の質問です。 他は自分で解けて解説を作りましたが、 二番目が解けないです。
数学
-
14
数学の約束記号の問題について教えてください。
数学
-
15
4で割った余りが3でないときは図のように書いてもいいんですか?できればその根拠となるサイトを載せてい
数学
-
16
2の810乗はいくつですか?
数学
-
17
数学I アホらしい質問なのでそんなこと考えることは無駄などの解答は受け付けておりません。 また自分的
数学
-
18
確率の問題 数学と実生活と
数学
-
19
(2)の問題なのですが、解答には3列目に書かれた数が7m-4、5列目に書かれた数が7n-2と表す、と
数学
-
20
他のスレだとだいたいいるのに数学カテには「そんな中学生レヴェルの質問はするな」とかいうへそ曲がりがい
数学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・【お題】絵本のタイトル
- ・【大喜利】世界最古のコンビニについて知ってる事を教えてください【投稿~10/10(木)】
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1/∞=0は、なぜ?
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
説明変数と被説明変数とは何で...
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
数学的帰納法
-
△ABCの重心をG,任意の点をOとす...
-
方程式がわかりません x-1=3x+5...
-
sin(180-Θ)やcos(180-Θ)について
-
二次方程式x2(エックス自乗)+3x...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
「別々のセルの3つの日付が同じ...
-
二次関数y=x二乗−6x+10の最小...
-
組み合わせの公式
-
条件の与えられた式の値
-
(a+b)^n=nCr・a^n +nCr・a^n-1 ...
-
対称式の因数分解
-
2×13にk^2をかけるのはなぜです...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
1/∞=0は、なぜ?
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
並列回路の合成抵抗の出し方
-
数学的帰納法
-
中一 比例式の計算の時 少数だ...
-
数学における 等価と同値って同...
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
数2 この問題で、この3つの辺...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
1/7=1/m+1/nを満たすmとnの求め方
-
組み合わせの公式
-
質問です。 a+b+c=0のとき、...
-
楕円体の内側かどうかの判別
-
VBAでセルの右下をいちばん下ま...
-
等式記号に似た三本線
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
数学B 数列
おすすめ情報