フーリへ級数転移解

いつも展開はこの式を覚えてしてるんですけど（黄色の範囲で展開して）
緑でもできますか？
もっというと∫[t0, t0+T]Tは周期としたら
でできますか？そのばあい公式はどこがどう変わりますか？
結局積分して生理したら同じことですか？

https://imgur.com/a/mgBWFGr

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/08 09:46

フーリエ級数展開の式

f(t) = (a₀)/2 + Σ[k=1→∞]{ (ak)cos((kπ/L)t) + (bk)sin((kπ/L)t) } は、
黄色の範囲(-L≦t≦L)だけで成り立ったり、緑の範囲(0≦t≦2L)だけで成り立ったり
するわけではありません。任意の実数 t で成り立つことを目指しています。

...「目指している」という微妙な表現を使ったのは、f(t) の内容によっては
式が全く成り立たなかったり、一部の t の値については式が成り立たなかったり
する場合があるからですが、
f(t) を ∫[1周期] f(t)^2 dt が収束するような連続関数に限定すれば
上の式が全ての実数 t について成り立つような ak, bk が存在します。

黄色の範囲や緑の範囲は、単にその ak, bk を求めるための方法論にすぎません。
だから、どちらの範囲を使ったかによって ak, bk の値が変わることはありません。

冒頭の式を黄色の範囲で積分すれば ∫[-L≦t≦L] f(t) dt = ((a₀)/2)・2L,
両辺に cos((kπ/L)t) を掛けてから黄色の範囲で積分すれば
∫[-L≦t≦L] f(t) cos((kπ/L)t) dt = (ak)・L,
両辺に sin((kπ/L)t) を掛けてから黄色の範囲で積分すれば
∫[-L≦t≦L] f(t) sin((kπ/L)t) dt = (bk)・L
になりますし、

冒頭の式を緑の範囲で積分すれば ∫[0≦t≦2L] f(t) dt = ((a₀)/2)・2L,
両辺に cos((kπ/L)t) を掛けてから緑の範囲で積分すれば
∫[0≦t≦2L] f(t) cos((kπ/L)t) dt = (ak)・L,
両辺に sin((kπ/L)t) を掛けてから緑の範囲で積分すれば
∫[0≦t≦2L] f(t) sin((kπ/L)t) dt = (bk)・L
になります。

それだけの話です。どちらの求め方でも、
f(t) = (a₀)/2 + Σ[k=1→∞]{ (ak)cos((kπ/L)t) + (bk)sin((kπ/L)t) } 自体は
任意の実数 t に対して成り立ちます。
各 ak, bk の値も、共通です。

黄色の範囲で積分することが好まれ
教科書もそのように書いてある場合が多いのは、
実際の応用の場面で扱う f(x) が
偶関数だったり、奇関数だったり、偶関数と奇関数の和で簡単に表せたり
する場合が多いためでしょう。

f(x) が偶関数なら bk = 0 になりますし、
f(x) が奇関数なら ak = 0 になります。
f(x) が偶関数 g(x) と奇関数 h(x) の和で表せるなら、
f(x) のフーリエ級数は g(x) のフーリエ級数と h(x) のフーリエ級数の和になります。

全ての f(x) は偶関数と奇数関数の和で表せるのですが、g(x), h(x) が
∫[-L≦t≦L] g(t) cos((kπ/L)t) dt などを計算しやすい簡単な関数
にならなければ意味ないですからね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/08 09:06

>t0がゼロでない場合、t0に対する遇奇に分解されてしまいますね。

訂正
積分範囲のみの変更なら結果は変わりませんね。
f(x + t0) の積分を思い浮かべていました。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/08 06:54

フーリエ級数展開は周期関数を

初項成分、偶関数成分(余弦成分)、奇関数成分(正弦成分)
に分解します。
t0がゼロでない場合、t0に対する遇奇に分解されてしまいますね。
なので結果は変わります。

でも結果が回転するだけで、本質は変わりません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/07 13:41

フーリエ級数は、その黄色や緑の区間で考えているんではなく、

実数全域を定義域とした関数全体で考えているんです。

f(t) が周期 T を持つとしたら、
∫[t0,t0+T] f(t) cos(nt) dt, ∫[t0,t0+T] f(t) sin(nt) dt は
t0 の値によらず同じ値になりますから、
フーリエ級数の式は変わりません。